Les fonctions en

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Les fonctionsen économie et en mathématiques

• Jacques BAIR
• (CDS, 9 décembre 2011)

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Sommaire

• (Historique)
• (Dans lenseignement)
• Décalage interdisciplinaire potentiel
• (Fonctions mathématiques exploitées en économie)
• Conclusion

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Historique
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Deux points de vue

• En mathématiques
• - Concept très ancien
• - Fort lente maturation
• - cfr B-H, sur Orbi
• En économie
• - Assez récent Cournot (1801-1877)
• - cfr B-H sur BibNum

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Dans lenseignement généralités
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Variété des notations
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 Pluridimensionnalité conceptuelle 

• Plusieurs facettes
• - verbale
• - numérique (tables)
• - graphique
• - analytique
• - (ensembliste)

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 Procept  (Tall, Sfard, )

• Exemple simple

Symbole Processus Concept
x2 calcul du carré dun nombre -
f(x) x2 idem fct une loi
y x2 dessiner une parabole fct équation
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Décalage interdisciplinaire potentiel
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Le procept

• Souvent objet
• Approche (souvent) hypothético-déductive
• Mention explicite de la loi f
• Variables (in)dépendantes (x, y, )
• Grandeur cardinale

• Souvent outil
• Construction (souvent) inductive
• Pas de mention explicite de la loi ex. C
  C(q)
• Grandeurs endogène et exogène (p, q, )
• Grandeur parfois ordinale

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Compétences

• Habiletés calculatoires faibles
• Savoir calculer et interpréter
• - taux dévolution (nbre décim., fraction, )
• - propension
• - élasticité

• Habiletés calculatoires importantes
• Savoir exploiter
• - taux de variation

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Compétences (suite)

• Traitement de cas typiques
• Procédé de résolution familier
• Liens avec la réalité économique

• Explorer des cas exceptionnels, contre-exemples
• Situation de résolution de problème
• La situation problématique est admise

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La représentation graphique

• Représentation graphique un départ
• Choix des axes variable
• Importance des unités sur les axes (inclinaison
  vs pente)
• Axes orthogonaux
• Segments verticaux
• Construction par points
• Parfois, plusieurs courbes

• Représentation graphique un but
• Choix des axes imposé
• Peu dimportance des unités sur les axes
• Axes pouvant être qcqs
• Pas de sgmts verticaux
• Construction daprès des propriétés
• Généralement, 1 seule courbe par graphique

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• Graphe dans le 1er quadrant
• Intensité de la pente (et élasticité)
• Rendement
• Représentation typique une droite

• Graphe complet
• Signe de la pente
• Concavite / convexité
• Représentation typique une courbe

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Analyse infinitésimale

• Souvent variations discrètes (ou entières)
• Infini actuel
• Notations dC/dq (ou D ou  del  ou  delta )
• Variation marginale C(q1) C(q) ou C(q) ou
  C(q)-C(q-1)
• Importance de lélasticité
• (sans dérivée)
• Différentielle nombre très petit

• Variations généralement continue
• Infini potentiel
• Notation f(x)
• Variation
• Peu dintérêt pour lélasticité (avec dérivée)
• Différentielle fct linéaire

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Fonctions usuelles

• Fonctions linéaires
• Importance des FAPM
• Fonctions carré, cube, puissances quelc.,
• Définition du logarithme (expo.)
• Définition de lexponentielle (continuité)

• Fonctions affines
• Peu dintérêt pour les FAPM
• Fonctions polynômes (degré quelconque)
• Définition du logarithme (primitive)
• Définition de lexponentielle (logarithme)

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Types de raisonnement

• Souvent  littéraire 
• Exemple Si le coût moyen est minimal, alors il
  est égal au coût marginal

• Souvent  formel 
• Démonstration mathématique (avec hypothèses)

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Situations particulières

• Concavité
• Fonctions surtout explicites
• Rarement courbes enveloppes
• Extrema libres
• Equations différentielles

• Quasi-concavité
• Importance des fonctions implicites
• Courbes enveloppes
• Extrema liés
• Equations récurrentes

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Fonctions mathématiques exploitées en économie
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Exemples simples (cfr SBPMef)

• Lois doffre et de demande
• Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux,
  taxes, )
• Revenu (net, brut, )
• Fonction dutilité, courbe dindifférence
• Fonction de production, isoquante
• Evolution dynamique dune grandeur

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Conclusion
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Plaidoyer pour un enseignement interdisciplinaire

• Les différents points de vue peuvent être
  utilisés pour faciliter lacquisition des
  concepts dans chacune des deux disciplines
• Une interdisciplinarité peut mettre en pratique
  le jeu de contextualisation-décontextualisation
• Permet une réflexion formatrice sur le processus
  de modélisation
• Pour les mathématiques, montre lutilité de la
  discipline, tout en renouvelant lenseignement
• Pour léconomie, peut apporter plus de rigueur,
  une motivation pour les études abstraites

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Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999)

• Les enseignants qui acceptent de sy engager y
  trouvent leur compte en décloisonnant le
  savoir, léchange permet un enrichissement mutuel
  et un nouveau regard sur sa propre discipline

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Merci pour votre attention