Fonctions num

1
Fonctions numériques usuelles
CHAPITRE 7
2
Le plan du chapitre

• La fonction exponentielle
• La fonction logarithme
• Les fonctions puissances
• Les fonctions sin et cos relations entre les
  lignes trigonométriques
• Les fonctions Arcos et Arsin
• La fonction tangente et la fonction Arctan
• Quelques relations importantes
• Les fonctions trigonométriques sinh et cosh
• Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et
  Argcosh
• La fonction tanh et son inverse

3
La fonction exponentielle
lim (ex/xn) linfini en linfini
x k
?
kn
exp (x)
????
k !
k0
lim (ex xn) 0 en - linfini
exp (x1x2) exp (x1) x exp (x2)
4
La méthode dEuler
exp exp
Étape 0 Choix dun  pas  1/N (entre 0 et x)
u0 1
Dérivée  discrète 
un1-un un 1/N
(1 x/N)N ---gt exp (x) lorsque N tend vers
linfini
5
La fonction logarithme (1)
x ? R et y exp (x)
y ???? et x log (y)
liminfini (log y /y) 0
lim0 (y log y) 0
log (y1 y2) log (y1) log (y2)
6
La fonction logarithme (2)

• log y ---gt 1/y sur y y gt 0
• (log y-a) y ---gt 1/(y-a) sur R \ a

Remarque pour tout entier n de Z différent de
-1, on a sur R \a (y-a)n1
y ---gt (y-a)n n1
7
Les fonctions puissance
a gt 0
x ? R ? ax exp (x log a)

• (ax1) x2 a x1x2
• ax1x2 ax1 x ax2
• (ab)x ax x bx
• a-x (1/a)x

x ? ax x ? log(a) x ax
8
La fonction cosinus
x ? R
x 2k
?
kn
cos (x)
????
(-1)k
(2k) !
k0
cos 0 1 cos 2 lt-1/3
(suites adjacentes)
cos sannule en au moins un point de 0,2
? 2 infxgt0, cos x0
9
La fonction sinus
x ? R
x 2k1
?
kn
sin (x)
????
(-1)k
(2k1) !
k0
(suites adjacentes)
10
Relations entre fonctions trigonométriques

• cos (x1 x2) cos (x1) cos (x2) sin (x1) sin
  (x2)
• sin (x1 x2) cos (x1) sin (x2) sin (x1) cos
  (x2)
• cos - sin
• sin cos
• cos2 x sin2 x 1
• cos (x 2?)cos x
• sin (x2?) sin x

?????
?
(cos (x), sin (x)) ( pour x ? 0, 2?)
paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et
de rayon 1
11
Fonctions trigonométriques inverses

• Arcos -1,1 --- gt 0, ?
• Arcsin -1,1 --- gt -?/2 , ?/2
• sur -1,1 Arcsin 1/(cos(Arcsin)) y ?
  (1-y2)-1/2
• sur -1,1 Arcos -1/(sin(Arcos)) y ? -
  (1-y2)-1/2

Arcsin (y) Arcos (y) ?/2 pour y ? -1,1
12
La fonction tangente
tan x sin (x) / cos (x)
??????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????
tan 1 tan2
13
La fonction Arctan (Arc-tangente)
x ? -?/2 , ?/2 et y tan (x)
y ? R et x Arctan (y)
1
1 Arctan(y) ------------------------
---------- 1 tan2 (Arctan
y) 1 y2
14
Quelques relations importantes

• cos (t) 2 cos2 (t/2) -1
  (1-u2)/(1u2)
• sin (t) 2 sin (t/2) cos (t/2)
  2u/(1u2)

t ? -?, ? u tan (t/2) , t
2 Arctan u
15
1-u2 2u --------- , ------- 1u2
1u2
(0,0)
(-1,0)
1
Un paramétrage rationnel du cercle unité privé
dun point
16
Les fonctions hyperboliques

• cosh x (exe-x)/2 , x ? R
• sinh x (ex e-x)/2 , x ? R

cosh2 x sinh2 x 1
cosh sinh sinh
cosh
17
Intersection dun plan et dun cône hyperbole,
ellipse ou parabole
hyperbole (2 branches)
ellipse
les Coniques
18
Le paramétrage de la demi-hyperbole
x cosh t , t ? R
x2 y21 , xgt0
y sinh t , t ? R
19
La fonction argsinh R ? R
x ? R et y sinh x y ? R
et xargsinh y
variable auxiliaire
argsinh (y) 1/cosh(argsinh(y)) (1y2)-1/2

X ex X2 2y X - 1 0
sinh x y
x argsinh y log y (1y2)1/2
20
La fonction argcosh y y ??1
? x x ? 0
x?0 et y cosh x y ??1 et
xargcosh y
variable auxiliaire
argcosh (y) 1/sinh(argcosh(y)) (y2 -1)-1/2
, y gt 1

X ex x ??0 (donc X ?1) X2 2y X 1 0
cosh x y
x argcosh y log y (y2 -1)1/2
21
La fonction tangente hyperbolique

• tanh x ? R ? tanh x sinh x / cosh x
• tanh x ? R ? 1 tanh2 x (cosh x)-2

x ? R et y tanh x y ?
-1,1 et x argtanh y
argtanh y 1/(1-y2) (1/2)
x 1/(y1) - (1/2) x 1/(y-1) , y ? -1,1
argtanh y log (y1/y-1)1/2 , y ?
-1,1
22
Fin du chapitre 7