3- Filtrage num

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3- Filtrage numérique

• Généralités sur les filtres numériques et sur le
  filtrage
• Forme générale dun filtre numérique
• Réponse en fréquence des systèmes discrets
• Spécification et méthodologie de calcul des
  filtres (numériques et analogiques)
• Classification des filtres
• Comparaison RIF-RII
• Structures des filtres numériques
• Structures non récursives
• Structures récursives
• Structures cascade, paralléle...
• Calcul des filtres RII
• Calcul des filtres RIF

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3-1 Généralités sur les filtres et sur le filtrage

• Forme générale dun filtre numérique

• Les coefficients a(i) et b(j) sont réels
• Fonction de transfert G(z) à P pôles pi et
• Q zéros zi réels ou en paires complexes
  conjuguées
• Réponse impulsionnelle g(k)

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Forme générale dun filtre numérique

• FILTRE RIF Si P0, le filtre na que des zéros

• Les coefficients b(k) forment la réponse
  impulsionnelle
• La Réponse Impulsionnelle est de durée Finie
  FILTRE RIF
• Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving
  Average).

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Filtre RIF

• ATTENTION G(z) a Q zéros et Q pôles situés à
  lorigine z0
• ATTENTION la forme de G(z) peut être trompeuse
• Exemple Filtre moyenneur

N zéros, N-1 pôles en z0, 1 pôle en z1
N zéros et 1 pôle
z1 est à la fois pôle et zéro
il reste N-1 zéros et N-1 pôles en z0
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Forme générale des filtres numérique

• FILTRE RII Si G(z) a des pôles (différents de
  z0)
• La Réponse Impulsionnelle est de durée Infinie
• Un pôle correspond à une réponse impulsionnelle
  exponentielle

Pôle en za Remarque série convergente pour alt1
g(k)
k
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Filtres RII

• Si le filtre RII na que des pôles (et des zéros
  en z0)
• Filtre AR (Auto-Régréssif)
• Filtre tout-pôles, (All pole filter)
• Si le filtre RII a des pôles et des zéros
  différents de z0

Modèle ARMA dordre P et Q
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Forme générale des filtres numériques

• En règle générale

• posséde Q zéros et P pôles et
• Q-P pôles en z0 si QgtP
• P-Q zéros en z0 si PgtQ

• Exemples
• 1) Voir filtre moyenneur
• 2) Filtre AR dordre 1

Pôle en za P1, Q0 donc 1 zéro en z0
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Forme générale des filtres numériques

• Filtre stable si les pôles sont à lintérieur du
  cercle unité dans le plan des z

o
x
x
1
x
o
3 pôles z -0.5 0.5 i , -0.5-0.5i , 0.5 2
zéros z -1-i , -1i

• Si les zéros sont aussi à lintérieur du
  cercle unité, le filtre est à phase minimale

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Réponse en fréquence des filtres numériques

• Evaluation de G(z) sur le cercle unité
• Evaluation de G(z)pour zexp(j2pf)
• f variant de 0 à 1
• Evaluation de G(z) pour zexp(j2pfTe)
• f variant de 0 à Fe1/Te , fréquence
  déchantillonnage réelle
• Transformée de Fourier discrète de la réponse
  impulsionnelle
• Représentation en module et en phase
• Périodique en fréquence (période 1 ou Fe)
• Réponse impulsionnelle réelle
• Module pair, phase impaire

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Réponse en fréquence des filtres numériques

• Exemple

TFD
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Réponse en fréquence des filtres numériques

• Exemple (suite)

pour a0,5 Module H(f) Pair, période 1
Phase Impaire, période 1
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Réponse en fréquence des filtres numériques

• Exemple
• Filtre de Butterworth passe-bas ordre 2
• Fréquence de coupure 0.25 (c.à.d 0.25 Fe)
• MATLAB
• gt b,abutter(2,0.5) (2 Fe)
• b 0.2929 0.5858 0.2929
• a 1.0000 0.0000 0.1716

• Pôles et zéros ( gt z,p,kbutter(2,0.5))
• z -1.0000 , -1.0000
• p 0.4142i , - 0.4142i
• Réponse en fréquence z exp(j2pf)
• f 0,1

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Réponse en fréquence des filtres numériques

• Exemple (suite)
• Module Phase

x
(2)
o
x
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Méthodologie de calcul des filtres
Application
Spécification
Calcul Approximation Réalisation Test
Sortie
Entrée
Filtre

• Spécification (Gabarit)
• Module de la réponse en fréquence
• Phase, temps de propagation de groupe
• Réponse impulsionnelle ou indicielle

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Méthodologie de calcul des filtres

• Approximation
• Spécifications H(p), H(z)
• Trouver une fonction de transfert réalisable dont
  la réponse (en fréquence, en temps et/ou en
  phase) respecte la spécification
• Fonctions bien connues (tables, abaques)
• Butterworth, Tchebysheff, Bessel
• Legendre, Cauer (filtres elliptiques)...
• Méthodes directes
• Manuelles
• Par ordinateur
• Méthodes itératives (par ordinateur!)
• Approximations optimales au sens dun certain
  critère

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Méthodologie de calcul des filtres

• Synthèse (réalisation)
• Choisir la structure, calculer les composants,
  format des calculs et des coefficients (nb de
  bits)...
• Analogique
• Filtres passifs
• Filtres actifs (SallenKey, NIC...)
• Numérique
• Circuits numériques spécifiques
• Programmation (mP, DSP...)
• FIR, IIR, récursif, non récursif, en cascade, en
  parallèle, en treillis...
• Mixte
• Capacités commutées
• Approximation et synthèse sont parfois intimement
  liées.

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Méthodologie de calcul des filtres

• Test
• La réalisation ne respecte pas toujours
  lapproximation et les spécifications
• Réglage (analogique, coûteux)
• Retour en arrière
• Modification des spécification (!)
• Autre approximation
• Choix de la structure
• Choix des composants (précision).
• Les spécifications ne doivent pas être trop
  rigoureuses, ou contradictoires.

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Spécification des filtres

• Spécification par gabarit

• Module de la réponse en fréquence
• Atténuation (inverse du gain)
• Filtre réel, donc module pair
• Simplification (ex 60dB entre 10 et 15 kHz)
• Bande de transition INDISPENSABLE
• Mais Ordre du filtre, complexité de la
  réalisation, temps de calcul...

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Classification des filtres

• Classification fréquentielle
• Passe-bas
• Atténuation des hautes fréquences
• Passe-haut
• Atténuation des basses fréquences
• Passe-bande
• Atténuation des hautes et des basses fréquences
• Coupe-bande ou réjecteur
• Atténuation dune bande de fréquences
  intermédiaires
• Autres Dérivateur, intégrateur, réseau
  déphaseur (passe-tout)

20
Classification des filtres
A(dB)

• Sélectivité
• Passe-bas

fa
fp
f
A(dB)

• Passe-haut

fa
fp
f
21
Classification des filtres

• Passe-bande

fa1 fp1 fp2 fa2
f0

• coupe-bande

fp1 fa1 fa2 fp2
f0
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Classification des filtres

• Attention cas des filtres numériques

• Le gabarit est implicitement périodisé
• La bande intéressante est 0, Fe/2
• Fe --------gt 1
• Fe/2 -------gt 0,5
• f ----------gt f/Fe

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Classification des filtres

• pour les filtres numériques
• Classification daprès la réponse impulsionnelle
• RIF (FIR) Réponse Impulsionnelle finie
• RII (IIR) Réponse impulsionnelle infinie
• Classification méthodologique
• Implantation non récursive (RIF)
• y(n)a0x(n)a1x(n-1)...akx(n-k)
• Implantation récursive (RIF et RII)
• y(k) a0x(k)a1x(k-1)...anx(k-n) -
• b1y(k-1)-...-bmy(k-m)
• Implantation par Tr. de Fourier

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Comparaison des filtres RIF et RII
25
3-2 Structures de calcul des filtres numériques

• Fonction de transfert en Z
• Equations de réalisation
• Filtre RIF

Filtre RII
Par transformée en Z inverse, on obtient
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Structure des filtres numériques

• Calcul des équations précédentes
• Par programme (C, Matlab, langage machine sur mP,
  DSP...)
• Avec une électronique spécifique
• Additionneurs, multiplieurs,
• registres (mémoires).

a
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Exemple de réalisation programmée simpliste
dun filtre numérique

• / b(0) b(1) z -1 b(2) z-2
• H(z) ------------------------------
• 1 a(1) z -1 a(2) z -2
  /
• int x3,y2, xin,yout0
• float b3, a2
• / xin contient l'echantillon d'entree /
• x0xin
• / calcul du numérateur /
• for(i0ilt3i) youtyoutxibi
• / calcul du dénominateur , partie recursive du
  filtre /
• for(i0ilt2i) youtyout-yiai
• / decalage du tampon d'entrée /
• for(i0ilt2i) xi1xi
• / decalage du tampon de sortie /
• for(i0ilt1i) yi1yi

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Structure des filtres numériques

• Structure non récursive ou
• filtre transverse

x(n-1)
x(n)
x(n-Q)
T
T
T
b(Q)
b(Q-1)
b(0)
b(1)
b(2)
y(n)

• Q mémoires (tampon, tableau à Q) élements)
• Q multiplieurs
• Q additionneurs

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Structure des filtres numériques

• Structure récursive
• forme directe de type 1

x(n-1)
x(n)
x(n-Q)
T
T
T
b(Q)
b(Q-1)
b(0)
b(1)
b(2)
y(n)
-a(P-1)
-a(P)
-a(1)
-a(P-2)
T
T
T

• QP mémoires
• QP multiplieurs
• QP additionneurs

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Structure des filtres numériques

• Structure récursive
• forme canonique directe de type 2

• Max(P,Q) mémoires
• PQ multiplieurs
• PQ additionneurs
• Variable intermédiaire mémorisée
• Variable détat ?

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Structure des filtres numériques

• Structure cascade
• Décomposition en pôles et zéros

Regroupement par paires de pôles et de zéros
Cellule 2nd ordre
Cellule 2nd ordre
Cellule 2nd ordre
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Structure des filtres numériques

• Structure paralléle
• Décomposition en fraction partielle

Cellule 2nd ordre
Cellule 2nd ordre
xn
yn
Retard et Multiplication