FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

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FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

• EN TERMINALE L SPÉCIALITÉ

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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
I - INTRODUCTION
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Certains problèmes, liés aux suites géométriques,
ne peuvent pas être résolus à laide des suites
géométriques ..
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Par exemple
La population dun village diminue de 5 par
an. Un agent de recensement passé dans le village
le 15 janvier 2003 a compté 5230
habitants. Combien comptera-t-il dhabitants
lorsquil repassera le 15 juin 2005 ?
On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000
sur un livret rapportant 3,5 dintérêts
(composés) par an. De quelle somme pourra-t-on
disposer le 1er mars 2008 ?
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Une interpolation linéaire est possible,
mais elle donne dans la plupart des cas une
approximation trop éloignée du résultat exact.
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 1,5
En noir les points représentant les valeurs
exactes des termes de la suite.
Lerreur commise devient rapidement importante
En rouge les points représentant les valeurs
des termes de dindices impairs calculés par
interpolation linéaire à partir des termes de
rangs pairs qui lencadrent.
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
7
A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
II CONSTRUCTION DUNE FONCTION EXPONENTIELLE
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Les fonctions exponentielles sont présentées
comme le prolongement des suites géométriques de
premier terme 1 et de raison q strictement
positive
La démarche est expérimentale. Elle consiste à
compléter le nuage de points représentant les
puissances entières dun réel strictement positif
q
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Considérons 3 points  consécutifs  de la
représentation graphique dune suite géométrique
Illustration
Le point  du milieu  admet
-pour abscisse, la moyenne arithmétique des
abscisses des deux points qui lentourent
-pour ordonnée, la moyenne géométrique des
ordonnées des deux points qui lentourent
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Outils tableur et grapheur
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
1ère étape Points à abscisses entières
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8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
2ème étape
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O
-1
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
3ème étape
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5
O
-1
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On utilise le même processus dichotomique pour
obtenir un nombre croissant de points
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On peut répéter le processus à linfini  pour
obtenir un nombre de plus en plus important de
points
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7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
O
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On peut répéter le processus à linfini  pour
obtenir un nombre de plus en plus important de
points
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Cet ensemble de points suggère la courbe dune
fonction.
On admet que cette fonction existe et est unique
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
II PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Les propriétés suivantes sont admises
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A DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Remarques
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
I DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
En effet
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
ou encore, en gardant la trace des courbes
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
ou encore, en gardant la trace des courbes
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
On admet lexistence et lunicité de cette
fonction, appelée fonction exponentielle et notée
exp
Limage de 1 par la fonction exp est le réel noté
e.
e
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
II PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
Les propriétés de la fonction exponentielles se
déduisent des propriétés des fonctions
exponentielles de base q. En particulier
Les images des entiers par la fonction exp sont
les termes de la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison e
On retrouve alors la notation
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
Sachant que la fonction exp est dérivable en tout
a de R, on peut écrire
La fonction exponentielle est égale à sa fonction
dérivée
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B LA FONCTION EXPONENTIELLE
Enfin
Les limites en -8 et en 8 sont admises (on
sappuie sur la représentation graphique ou la
suite géométrique)
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
I DÉFINITION DE LA FONCTION LOGARITHME
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
La fonction qui au réel a associe cette unique
solution est appelée fonction logarithme népérien
et est notée ln
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
En rouge est représentée la fonction exponentielle
La droite déquation y a coupe cette courbe en
un unique point de coordonnées (ln(a), a)
Une symétrie par rapport à la droite déquation y
x fait apparaître le point de coordonnées (a,
ln(a))
Lorsque a décrit 08, ce point décrit la
courbe représentative de la fonction ln
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
On voit apparaître la courbe en gardant la trace
des points
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
On voit apparaître la courbe en gardant la trace
des points
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
II PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Les courbes des fonctions ln et exp sont
symétriques par rapport à la droite déquation y
x
On tirera partie de cette symétrie pour mettre
en évidence les propriétés de la fonction
logarithme népérien.
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

• La fonction ln est définie et dérivable sur
  08

• ln1 0 et lne 1.

• Pour tous réels a et b strictement positifs

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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Si lon a admis la dérivabilité de la fonction
ln, il est cependant possible de donner
lexpression de sa fonction dérivée. En effet
En dérivant membre à membre, on obtient
Ce qui donne, pour tout x gt 0
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C LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Lexpression de la dérivée permet de déduire
le sens de variation et la conservation de lordre
Enfin
Les limites en -8 et en 8 sont admises (on
sappuie sur la représentation graphique ou la
suite géométrique)
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D - PROLONGEMENTS
LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL
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D - PROLONGEMENTS
La construction du logarithme décimal peut être
menée comme celle du logarithme népérien

• prolongement de la suite géométrique de raison
  10
• étude de la fonction exponentielle de base 10
• construction de la fonction logarithme décimal
• Toutefois les comportements asymptotiques, les
  formules
• de dérivation, les relations entre ln et log ne
  sont pas des
• objectifs du programme

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D - PROLONGEMENTS
Le logarithme décimal pourra conduire à des
travaux dans des domaines variés

• chimie pH, ...
• acoustique décibel,
• biologie magnitude,
• musique savart, construction des gammes,
• et bien dautres application encore