Analyse

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Analyse
Muriel Ney LaboratoireBiométrie et Biologie
Evolutive ney_at_biomserv.univ-lyon1.fr

• http//mathsv.univ-lyon1.fr

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Organisation du semestre
Affichage des groupes TT/TD et des salles
vendredi ou lundi matin.
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Objectif général du cours

• Apprendre à utiliser le langage mathématique pour
  résoudre des situations où interviennent des
  phénomènes biologiques
• Apprendre les concepts de base et se familiariser
  avec les usages et les significations de ces
  concepts en fonction de la situation biologique

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Le plan des cours danalyse Etude des
phénomènes variables

• CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction
  - fonctions usuelles
• CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et
  intégrer une fonction
• CM4-CM5 Les processus qui provoquent des
  variations poser et intégrer une équation
  différentielle

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Les cours de probabilités-statistiques Prise de
décision sur un phénomène aléatoire

• Probabilités
• Statistiques descriptives
• Estimation
• Tests dhypothèses

Dominique Mouchiroud
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Déterminisme et Hasard

• Peut-on prédire lévolution au court du temps
  dune population dorganismes vivants ?
• La croissance
• Déterminisme reproduction, mortalité, etc.
• Variabilité ( hasard ) temps et succès de
  la reproduction, etc.

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Déterminisme et Hasard

• Peut-on prédire lévolution au court du temps
  dune population ?

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Déterminisme et Hasard

• 1. Modèles du hasard
• Se décider dans une situation où le hasard
  intervient
• outils probabilités et statistiques

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Déterminisme et Hasard

• 2. Modèles déterministes
• Faire le lien entre le phénomène et les processus
  qui le provoquent
• Outils fonctions et équations différentielles

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Etude de fonction

• Modéliser le phénomène par une fonction
• Déterminer des propriétés de la fonction
• Interpréter en termes biologiques

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Un jeu de traduction

• Est-ce que le nombre dorganismes ne fait que
  croître avec le temps ?
• Quelle est vitesse daccroissement du nombre
  dorganismes ?
• Quel est le nombre moyen dorganismes produits
  entre le début de lexpérience et un temps t
  donné ?
• Est-ce que le nombre dorganismes se stabilise au
  bout dun certain temps ?

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Un jeu de traduction

• Est-ce que le nombre dorganismes ne fait que
  croître avec le temps ?
• le signe de la dérivée de g
• Quelle est vitesse daccroissement du nombre
  dorganismes?
• la dérivée seconde
• Quel est le nombre moyen dorganismes produits
  entre le début de lexpérience et un temps t
  donné ?
• lintégrale sur 0 , t
• Est-ce que le nombre dorganismes se stabilise au
  bout dun certain temps ?
• la limite quand le temps tend vers linfini,
  lasymptote

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CM1,CM2 Décrire les variations

• Definition dune fonction
• Etude de fonction en étapes (a à h)
• Fonctions usuelles fonction linéaire,
  exponentielle, logarithme, puissance

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Définition dune fonction

• Application de IR dans IR qui à un point x de IR
  fait correspondre un point UNIQUE y f(x) dans
  IR.
• x le temps (t), la température (T), etc.
• f un nombre dorganismes (N), leur taille, leur
  poids, une concentration, une intensité, etc.

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Plan détude dune fonctionMathSV Analyse
Etude de fonctions Applications à létude
des fonctions

• Tableau de variation
• Limites
• Asymptotes
• Graphe

1. Df
2. Symétrie
3. Points particuliers
4. Sens de variation

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Espérance de vie à la naissance

• Un indicateur fondé uniquement sur les données
  de la mortalité le nombre moyen d'années que
  peut espérer vivre une personne (dans les
  conditions de mortalité de la période
  considérée).
• Nous allons modéliser laugmentation de
  lespérance de vie à la naissance entre 1981 et
  2000 (des hommes et des femmes).
• Quel modèle  (quelle fonction) ?

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Espérance de vie f (temps)
t année Eespérance a et b dépendent du sexe
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A. Domaine de définition

• Définitions
• Df Domaine de définition Ensemble de départ
  (ensemble des antécédents) lensemble des x
• f(Df ) Ensemble darrivée (ou ensemble des
  images) lensemble des y

f
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B. Symétrie paire ou impaire ?

• Définitions 
• On dit que f est paire si f(-x)f(x) symétrie /
  axe y exemple f(x)x2
• On dit que f est impaire si f(-x)-f(x)
  symétrie / (0,0) exemple f(x)ax

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C. Points particuliers

• x 0 alors f(x) ?
• f(x) 0 alors x ?

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D. Sens de variation dérivéeMathSV formulaire

• Définition 
• La dérivée de f en x0 est la variation de f dans
  un voisinage infiniment petit de ce point  

Limite
Notation
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D. Sens de variation dérivée
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Equation de la tangente au point x0
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f(x) x2 Dérivable en tout point
f(x)xFonction continue mais non dérivable en 0
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Continuité

• Définition
• Une fonction est continue en un point x0 si la
  limite en ce point
• existe.

Continue en (0,0)
Pas continue en (0,0)
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D. Sens de variation

• Propriétés 
• f est constante sur a,b si la dérivée est
  nulle sur a,b
• f est croissante sur a,b si la dérivée est
  positive sur a,b
• f est décroissante sur a,b si la dérivée est
  négative sur a,b
• f admet un extremum en x si la dérivée
  sannule en x

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E. La dérivée seconde f(x)

• Définitions 
• 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée
  seconde est positive (le graphe de f est courbé
  vers le haut)

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E. La dérivée seconde f(x)

• Définitions 
• 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée
  seconde est négative

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E. La dérivée seconde f(x)

• Définitions 
• 3. f a un point dinflexion si la dérivée
  seconde sannule ET change de signe en ce point.

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F. Le tableau de variation

• Construire le tableau à partir du signe de la
  dérivée.
• Compléter ce tableau en cherchant les limites de
  f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend
  vers plus ou moins linfini.

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Calcul des limites

• Si les valeurs successivement attribuées à une
  variable s'approchent indéfiniment d'une valeur
  fixe,
• de manière à finir par en différer aussi peu que
  l'on voudra,
• alors cette dernière est appelée la limite de
  toutes les autres. Cauchy, 1821

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Calcul des limitesMathSV formulaire
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G. Asymptotes

• Si la courbe de f sapproche infiniment près
  dune droite, celle-ci sappelle une asymptote

Asymptote verticale
Asymptote oblique
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Asymptotes

• Si il y a une asymptote verticale passant par
  x x0
• Si il y a une asymptote horizontale passant par
  y l
• Si il y a une asymptote oblique déquation y
  axb

si
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H. Graphe
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Mesurer les magnitude dun tremblement de terre

• A amplitude des oscillations, T période
• M ln(A/T)
• Japon 1906 A/T3641 M ?
• Chili 1960 A/T13360 M ?

Echelle de Richter
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Léchelle logarithmique rapproche des valeurs
qui sont de plus en plus éloignées
1000
A/T
7
500
100
M ln(A/T)
6
10
5
4
3
2
1
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Propriétés

• ln (1) 0
• ln (ab) ln(a) ln(b)
• donc ln (ap) p ln(a)
• ln (a/b) ln(a) ln(b)
• donc ln(1/b) ln(b)
• Logarithme en base 10 Log10(a) ln(a)/ln(10)
• donc Log10(10n) n

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Etude de la fonction ln(x)logarithme népérien

• Tableau de variation
• Limites
• Asymptotes
• Graphe

1. Df
2. Symétrie
3. Points particuliers
4. Sens de variation

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Graphe logarithme népérien
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Croissance dune population de tourterelles

• Au début du 20ème siècle, les populations de
  tourterelles turques ont envahi lEurope dEst en
  Ouest et arrivent en Grande Bretagne 1 lieu
  recensé en 1955 501 en 1964
• On cherche un modèle de laccroissement de la
  population de ces tourterelles compatible avec
  les données en GB.
• Hypothèse le nombre de tourterelles est
  proportionnel au nombre dendroits où lespèce
  est recensée.

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Données modèle (fonction) ?
Temps Lieux
1955 1
1956 2
1957 6
1958 15
1959 29
1960 58
1961 117
1962 204
1963 342
1964 501
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Propriétés

• Notation exp(x) ex
• exp(0) 1 exp(1) e
• exp(ab) exp(a) exp(b)
• donc exp(ap) exp(a)p
• exp(a-b) exp(a) / exp(b)
• donc exp(-b) 1 / exp(b)

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La fonction exp est la fonction réciproque de la
fonction ln

• Définitions
• f admet une fonction réciproque sil existe une
  fonction g telle que f o g g o f Identité
  avec Identité(x)x
• où f o g est la fonction composée définie par
• f o g (x) f ( g (x) )

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logarithme(exponentielle) droite
46
Etude de la fonction exp

• Tableau de variation
• Limites
• Asymptotes
• Graphe

1. Df
2. Symétrie
3. Points particuliers
4. Sens de variation

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Graphe
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Autres fonctions usuelles
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Fonctions trigonométriques
50
Variations de la dureté de leau en fonction du
temps
51
Fonctions polynômes
52
Variation du taux de croissance dune population
en fonction de la température
53
Existe-t-il une relation entre le poids du corps
et le poids du cerveau chez les mammifères ?Si
oui, laquelle ?
54
a 0,7517 b -1,3279
Log10(cerveau) a Log10(corps) b donc
cerveau 10b (corps)a y c xa
55
Etude de la fonction xm

• Tableau de variation
• Limites
• Asymptotes
• Graphe

1. Df
2. Symétrie
3. Points particuliers
4. Sens de variation

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Graphe
m 0
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La semaine prochaine

• Deux cours intégration et équations
  différentielles
• Une séance de Travaux Tutorés
• Une séance de Travaux dirigés
• MathSV QCM des chapitres 1 à 4.