Chapitre 5

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Chapitre 5

• Transfert de chaleur

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Introduction

• Transfert dénergie sous forme ce chaleur
• Souvent observé dans les procédés chimiques
• Provoqué par
• Différences de température
• Chaleur migre vers les zones plus froides
• Équation simple déquivalence
• Taux de chaleur entrante Taux de génération de
  chaleur Taux de chaleur sortant taux
  daccumulation de chaleur

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Fondements du transfert de chaleur

• Il existe trois mécanismes fondamentaux
• Conduction
• Convection
• Radiation

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Conduction

• Conduction
• La chaleur peut être conduite au travers
• Solides, liquides, gaz
• Comment
• Transfert de lénergie de mouvement entre les
  molécules

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Conduction (suite)

• Dans les gaz
• Molécules les plus chaudes
• Celles qui on plus dénergie et de mouvement
• Communiquent de lénergie
• Molécules adjacentes à des niveaux dE plus bas
• Type déchange
• Existant dans les solides, liquides ou gaz
• Où il existe un gradient de température

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Conduction (suite)

• On peut aussi avoir un transfert dE
• Par transfert des électrons libres
• Particulièrement important
• Solides métalliques
• Exemple
• Transfert de chaleur
• Parois dun échangeur ou un réfrigérant

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Convection

• Transfert de chaleur
• En grande quantité
• En mélangeant des éléments plus chaud
• Avec des portions froides dun gaz ou liquide
• Souvent relaté à
• Léchange de chaleur entre une solide et un fluide

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2 types de convection

• Convection forcée
• Lorsquun fluide est forcé à passer par leffet
  dune pompe ou un ventilateur
• Convection naturelle
• Où un fluide plus chaud ou plus froid adjacent à
  une surface solide cause une circulation en
  raison de la différence de densité résultant de
  la différence de température dans le fluide.
• Exemple
• Souffler sur une tasse de café pour la refroidir

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Radiation

• Diffère des deux précédentes
• Aucun médium physique nest nécessaire pour sa
  propagation
• Transfert dénergie dans lespace
• Sous leffet de radiations électromagnétiques
• Ressemble beaucoup
• Les longueurs dondes électromagnétiques de la
  lumière
• Les solides et liquides absorberont cette
  radiation

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Radiation (suite)

• Les phénomènes de radiation
• Principalement important pour le transfert au
  travers de lespace et des gaz
• Exemple important
• Transfert dénergie du soleil vers la terre
• Aussi
• Cuisson des aliment sous un système de chauffage
  électrique (comme un four)

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Même différence

• Les trois type de transfert suivant
• Momentum
• Chaleur
• Masse
• Régit par les même types déquations
• Qui se simplifient
• Taux dun procédé de transfert Force
  conductrice / résistance

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Conduction

• Assumant que le transfert de chaleur se produits
  uniquement pas conduction
• Loi de Fourier
• qtaux de transfert de chaleur normale p/r à la
  surface (W)
• A surface (m2)
• T température mesurée normale p/r à la surface
  (K)
• k Conductivité thermique (W/mK)

Flux de chauffage (W/m2)
Gradient de température dans la direction de
laxe des x
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Intégration simple

• La loi de Fourier
• Transfert de chaleur en régime stable
• Au travers dun mur plat
• Surface de tronçon constante A
• Température T1 au point 1
• Température T2 au point 2
• Une distance de X2-X1 m entre les deux

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Problème représentatif

• Calculez la perte de chaleur par m2 de surface
  pour un mur isolant composé de fibres isolantes
  de 25.4 mm dépais où la température interne est
  de 352.7 K et la température externe est de 297.1
  K.

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Conductivité thermique

• Gaz
• Concept relativement simple
• Molécules en mouvement aléatoire constant
• Se frappent les unes aux autres
• Échanges du momentum et de lénergie
• Lors dun passage vers une région froide
• Transporte lénergie cinétique
• Par collision avec les molécules de faible
  énergie

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Pour les gaz
Température
Conductivité thermique
Masse molaire
Diamètre de collision effectif
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Pour les liquides

• Comparable à celle des gaz
• Molécule de plus haute énergie
• Frappent celles de plus faible énergie
• Toutefois
• Molécules rapprochées les unes des autres
• Champ de force affecte les échanges dénergie
• Contrairement aux gaz
• Aucune formule représentative
• Le plus souvent empirique

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Pour les liquides
Température
Conductivité thermique
Constante empirique
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Pour les solides

• Pour les solides, k varie largement
• Par exemple, aluminium et cuivre
• Ont des valeurs de k élevées
• Matériaux isolants
• Valeurs de k très faible (roche ou laine)
• Deux mécanismes dans les solides
• Utilisation des électrons libres (métalliques)
• Transmission de lénergie de vibration

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Matériaux isolants

• Conductivité thermique
• Matériaux comme roche ou laine
• Approche la conductivité thermique de lair
• En raison de la quantité dair dans ces matériaux

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Conduction en régime permanent

• En a) un réservoir à mur plat contient un
  réfrigérant tandis que lair est à température de
  la pièce
• La température chute de façon linéaire lorsque
  lon se rapproche du mur

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Autre exemple

• Dans le deuxième cas de leau bouillante perd de
  la chaleur au profit de lair
• La température croît de façon linéaire lorsque
  lon se rapproche de la parois

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Équation de Fourier
Températures correspondant aux positions x1 et x2
Taux de transfert de chaleur
Conductivité thermique
Surface de la parois
Positions p/r axe des x
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Si k nest pas constant

• Nous devons insérer léquation
• k a bT
• Dans léquation précédente

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Résistance

• Tel que mentionné précédemment
• Le rendement dun procédé de transport équivaut à
  la force conductrice divisée par la résistance

Exprimé en K/W
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Conduction dans un conduit

• Dans plusieurs situations industrielles
• Conduction à travers un tuyau cylindrique
• La température interne correspond à T1
• La température externe correspond à T2

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Reprendre léquation de Fourier
Adaptation aux longueurs exprimées en rayon
Laire (surface) en contact dans et à lextérieur
du tuyau correspond à
En combinant et en intégrant entre les deux
valeurs de r
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Pour les tuyaux
En multipliant le dénominateur et numérateur par
(r2-r1)
29
Où
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Problèmes typiques

• Une tubulure cylindre en caoutchouc dur à parois
  épaisse possédant un rayon interne de 5 mm et un
  rayon externe de 20 mm est utilisée comme système
  de refroidissement dans un bain. De leau
  glaciale sécoule rapidement à lintérieur et la
  température du mur interne est de 274.9 K. La
  température de la parois externe est de 297.1 K.
  Un total de 14.65 W doivent être enlevés du bain
  par ce réfrigérant. Quelle longueur de tube est
  nécessaire?

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Pour une sphère creuse
Adaptation aux longueurs exprimées en rayon
Laire (surface) en contact dans et à lextérieur
du tuyau correspond à
En combinant et en intégrant entre les deux
valeurs de r
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Sphère creuse
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Solides en série

• Parois planes en série
• Quand nous avons une succession de matériaux
  présents (toujours dans un seul plan)
• Comme
• Transfert de chaleur doit être équivalent entre
  chaque couche
• On utilise successivement léquation de Fourier

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Équations
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Isoler ?T
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Combiner les équations
On exprime donc le tout en fonction de la perte
de température et de la résistance totale de la
série de matériaux
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Exemple typique

• Une chambre froide est composée dune épaisseur
  interne de 12.7 mm de pin, dune couche centrale
  de panneau de liège de 101.6 mm et dune couche
  externe de 76.2 mm de béton. En utilisant les
  valeurs de conductivité respective de (0.151,
  0.0433 et 0.762 W/mK, calculez la perte de
  chaleur en W pour 1 m2 et la température à
  linterface entre le bois et le liège. La
  température à lintérieur de la chambre est de
  255.4 K tandis quelle est de 297.1 à la sortie
  du béton.

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Conduites multicouches

• Facile dassocier à une situation ou un tuyau
  sera isolé pour des raisons diverses

39
Ainsi
40
Aussi
41
Exemple typique

• Une conduite à parois épaisse en stainless ayant
  un k21.63 W/mK avec un diamètre intérieur de
  0.0254 m et un diamètre extérieur de 0.0508 m est
  couvert avec une couche de 0.0254 m dépais
  disolant (k0.2423 W/mK). La température
  interne du conduit est de 811 K et la surface
  externe de lisolation est à 310.8 K. Pour un
  tuyau dune dimension de 0.305 m, calculez la
  perte de chaleur et aussi la température à
  linterface entre le métal et lisolant.

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Transfert de chaleur avec fluides
Le liquide a condenser entre par la partie F et
sort par la partie G, la partie K sert à ventiler
la partie de vapeur qui ne pourra être condensée.
Le liquide qui doit être chauffé entrera par la
parie H, passera à travers des plaques perforées
composées de différents tubes (B2 vers B1) et
sortira à la partie J. Le liquide et la vapeur ne
seront en contact que par les tubes A.
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Fonctionnement

• Si la vapeur entrante
• Un seul composant
• Nest pas ultra-chaude
• Si le condensat
• Nest pas super-refroidit sous sa température de
  condensation
• La température sur la parois du condensateur
• Sera constante sur tout le caisson

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Schématiquement
Si on porte la température en fonction de la
longueur du condensateur Tca est la température
du fluide à lentrée et Tcb est la température du
fluide à la sortie, à une distance L de lentrée
on définit la température Tc et la différence de
température entre la condensation de la vapeur et
celle du fluide dont la température croît porte
le nom de ?T. La différence entre la température
dentrée du fluide et la température de
condensation de la vapeur est ?T1 et entre la
température de condensation de la vapeur et celle
du fluide à la sortie du condenseur est ?T2.
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Aussi

• Les deux différences de températures
• ?T1 et ?T2 porte le nom dapproches
• Le changement de température du fluide
• Tcb-Tca porte le nom de domaine de température
• Pour linstant nous posons
• ?T symbolise une différence de température
• Entre deux objets ou deux fluides
• Ne symbolise pas la différence de température au
  sein du même fluide

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Échangeur double parois
Un autre exemple commun déchangeur de chaleur
qui fonctionne un peu différemment du procédé
mentionné précédemment. Nous avons léquivalent
dun tuyau qui passe dans un autre mais les
fluides ne sont pas en contact. Habituellement le
fluide de parois sert à refroidir le fluide au
centre. Ils ne sont encore une fois en contact
que par la parois du tube les séparant.
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Écoulement en parallèle

• Se produit dans une situation où lécoulement des
  deux fluides se fait dans la même direction
• La température dentrée pour le fluide chaud est
  de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca
• La température de sortie pour le fluide chaud est
  de Thb et celle du fluide froid est de Tcb

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Écoulement contre-courant

• Se produit dans une situation où lécoulement des
  deux fluides se fait dans une direction inverse
• La température dentrée pour le fluide chaud est
  de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca
• La température de sortie pour le fluide chaud est
  de Thb et celle du fluide froid est de Tcb

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Balance dénergie

• Nous définissons la balance dénergie dans les
  échangeurs de chaleur de la façon suivante

Enthalpie par unité de masse
Écoulement massique (mass flow)
Taux de transfert de chaleur dans lécoulement
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Spécifications

• On peut cibler des valeurs de q
• Propre au fluide chaud
• Propre au fluide froid

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On rapporte en cp

• Valeur denthalpie peuvent être exprimées
• En valeur de chaleur spécifique (cp)

Chaleur spécifique (fluide chaud)
Chaleur spécifique (fluide chaud)
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Enthalpie dans le condenseur

• Pour un condenseur
• Pour avoir cette équation
• On assume que le fluide chaud quittera le
  condensateur à la température de condensation Th

Chaleur de vaporisation latente de la vapeur
Taux massique de condensation
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Toutefois

• Il arrive peu souvent que le fluide chaud
• Ressorte à la température de vaporisation
• Souvent en dessous (il condense)
• Incidemment il faut ajuster léquation

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Coefficient de transfert de chaleur généralisé

• Dans un échangeur de chaleur
• ?T est définit comme Th-Tc
• Toutefois
• Température varie au long de léchangeur
• Et incidemment
• La longueur de léchangeur aura de limportance

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Coefficient U
Taux de transfert de chaleur dans lécoulement
Coefficient de transfert de chaleur généralisé
local
Surface de léchangeur
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U

• Facteur de proportionnalité
• Entre dq/dA et ?T
• Porte le nom
• Coefficient de transfert de chaleur généralisé
  local
• Si on considère que A est la surface externe du
  tube échangeur de chaleur
• A A0
• U U0
• Si on considère que A est la surface interne du
  tube échangeur de chaleur
• A Ai
• U Ui

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Et donc

• Ou ?T et q sont indépendant du choix de surface
• A et D sont reliés logiquement

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• Pour pouvoir appliquer léquation suivante
• La surface doit être connue
• Léquation doit être intégrée
• Pour y arriver, nous assumons
• Le coefficient U est constant
• La chaleur spécifique du fluide chaud et froid
  sont constants
• Léchange de chaleur avec lair ambiant est
  négligeable
• Lécoulement est en régime stable et est soit
  parallèle ou contre-courant

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Aussi

• Parmi les hypothèses précédentes
• Le plus questionnable est le U constant (1)
• Le coefficient varie en fonction de T
• Mais le changement
• Graduel
• Intervalles de température modérés
• Donc pour un facteur U constant
• Lerreur est mince

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Aussi

• Les assomptions 2 et 4 impliquent que lorsque Tc
  et Th sont portés sur un graphique en fonction de
  q, des lignes droites seront obtenues

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Ainsi
Approches
Taux de transfert de chaleur dans tout léchangeur
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Remplacer dq
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En intégrant

• Si on intègre par la suite entre ?T1 et ?T2 et
  entre une surface nulle jusquà la valeur de AT
  qui plus les la surface totale du transfert de
  chaleur nous obtenons

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Isoler qT

• De léquation précédente
• On peut isoler la valeur de qT

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LMTD

• Différence de température moyenne logarithmique
• Quand ?T1 et ?T2 sont presque égaux leur moyenne
  arithmétique peut aussi être employée
• Mais la LMTD plus vaste

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Domaine dapplication

• Si on parle dune situation ou un des deux
  fluides est à température constante, cette
  équation sapplique aux écoulements à
  contre-courant, courant parallèle

67
Domaine dapplication

• Si on parle dune situation où les deux fluides
  sont à des températures variantes et à
  contre-courant, léquation peut être remodelée
  comme ci-haut.

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Si U varie régulièrement

• Si le coefficient de transfert de chaleur
  généralisé local varie régulièrement on utilise
  léquation suivante
• Pour y arriver on assume que U varie linéairement
  avec la tombée de température sur lensemble de
  la surface chauffante.

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LMTD non valide

• Dans des situations ou ?T1 et ?T2 ne varient pas
  linéairement par rapport à q
• Refroidir et condenser de la vapeur à haute
  température
• Refroidir une réaction exothermique

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Vapeur à haute température
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Réaction exothermique
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Coefficients individuels de transfert de chaleur

• Le coefficient de tout le système dépend
• Propriétés physiques du fluide
• Propriétés de la parois solide de léchangeur
• Lécoulement
• Les dimensions de léchangeur
• Le moyen le plus logique de gérer tout le
  système
• Cumuler les résistances individuelles

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Exemple

• Considérons le coefficient à un endroit
  spécifique dans léchangeur ci-haut

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Assumons maintenant

• Fluide chaud à lintérieur
• Fluide froid à lextérieur
• Nombre de Reynold des deux fluides
• Suffisamment grand
• Assure un écoulement turbulent
• Les surfaces de tube
• Sont propres

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Schématisation
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Coefficient de transfert

• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide
  chaud peut ainsi être défini
• Le terme sera négatif en raison de la perte de
  chaleur

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Coefficient de transfert

• Le coefficient de transfert de chaleur du fluide
  froid peut ainsi être défini
• Le terme sera positif en raison de linversion
  volontaire de Twc et Tc

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Assumons aussi

• Très souvent Twc-Twh
• Près de 0
• On utilise une valeur généralisée correspondant à
  la température à la parois
• Tw
• La réciproque de ces coefficients
• 1/hh et 1/hc
• Sont les résistances thermiques

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On ajoute leffet du solide

• Pour une parois
• Dépaisseur xw
• Conductivité thermique
• La résistance thermique devient
• xw/k
• Si on ajuste aux changements de surface
• Les résistances individuelles deviennent
  généralisées 1/U

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On assume aussi

• Les transfert de chaleur près de la parois
• Se produisent seulement par conduction
• On peut donc se référer
• Lutilisation du w souligne le fait
• Le gradient doit être déterminé à la parois

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En éliminant dq/dA
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Adaptation libre

• T est la température moyenne du fluide
• Th équivaut à T pour le côté chaud
• Tc équivaut à T pour le côté froid
• Inversion de Tw et T du côté froid pour signifier
  le gain de chaleur

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Équation sans dimension

• On a vu le Re
• Maintenant on verra le Nu
• Le nombre de Nusselt
• En modifiant le h
• On le multiplie par une distance
• Dans le cas dun tube par D
• On le divise par la conductivité thermique

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Nombre de Nusselt

• Si on parle de la partie froide
• La partie du bas est remplacée par Tw-T

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Explications du Nu

• Expliquons en fonction de léquation
• Dans la partie de droite
• (dT/dy)w Gradient de température à la parois
• T-Tw/D Gradient de température à travers le
  conduit au complet
• Nu ratio de ces deux gradients

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Sommairement
Coefficient de transfert de chaleur externe
Aire externe du tube
Coefficient de transfert de chaleur interne
Aire externe du tube
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Coefficient sommatif

• La question est à ce point
• Comment aller chercher un coefficient sommatif de
  tout léchangeur des chaleur?
• La réponse
• À partir des coefficients individuels
• Combinée à la parois de la conduite

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Pour la parois
Différence de température à la parois
Conductivité thermique de la parois
Flux local de chaleur basé sur la moyenne
logarithmique de la surface interne et externe de
la conduite
Épaisseur de la parois du tube
89
Combinons
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On solutionne pour dAo

• Le choix de dAo est arbitraire (nous aurions
  aussi bien pu prendre dAi) mais nous permettra
  daller plus loin car

91
Ainsi
Et en considérant