ASI 3 M

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ASI 3Méthodes numériquespour lingénieur

• Introduction
• vecteurs, matrices
• et applications linéaires

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Opérations sur les vecteurs
Vecteur x base (canonique) bi , i1,n espace
vectoriel V sur le corps des réels combinaison
linéaire sous espace vectoriel base, dimension
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Opérations sur les vecteurs
Somme multiplication ? Vecteur
transposé Norme produit scalaire, vecteurs
orthogonaux
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Normes et produit scalaire
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Matrices
Tableau de n lignes et k colonnes
Remarque fondamentale on
ne peut rien démontrer sans faire référence
à lapplication linéaire que la
matrice représente
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Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels
Définition
Propriétés
Noyau image Noyau et image sont des
s.e.v. resp. de E et de F image s.e.v
engendré par u(ei) rang dim(Im(u)) u injective
(ker(u) 0) u surjective Im(u) F
Par identification, on donne une signification
aux colonnes de la matrice
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Applications linéaires et matrices
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Propriétés des matrices
u, A
Img(A)

• 0

Ker(A)
Rn
Rk
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Propriété des matrices

• Soit A une matrice associée à une application
  linéaire u de E dans F
• soit k dim(E) et ndim(F)

Noyau Rang (nombre de colonnes linéairement
indépendantes) variables équivalentes équations
équivalentes systèmes liés - systèmes libres
(matrices blocs) vecteurs propres
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Opérations sur les matrices
Somme somme des applications
linéaires produit composition des
applications linéaires
AB nest pas BA (non commutatif)
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Complexité algorithmique
Quel est lalgorithme qui calcule CAB le plus
vite ?

• Définitions
• grand O
• petit o
• équivalence
• asymptotique

O(n2) lt Algorithme lt O(n3)
A, B et C sont des matrices carrées de taille n
Exemple, n2
23 8 multiplications Comme Strassen,
1969 sauriez vous faire mieux ?
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Complexité algorithmique
Quel est lalgorithme qui calcule CAB le plus
vite ?
Exemple, n2
log10(n) n3/n(log2(7)) 1
1.5 2 2.4 3
3.7 4
5.8 5 9.1 6
14.3 7 22.3
8 34.7 9
54.1 10 84.4
Strassen, 1969
o(n2) lt Algorithme lt O(nlog27)
2,807
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Opérations sur les matrices
Inverse (a.l. bijective ltgt matrice
carrée) matrice identité I Transposée (adjointe
pour les complexes)
A est symétrique ssi AA Permutation p
associé à la matrice P (changement de base de ei
à ep(i))
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Opérations sur les matrices
Changement de base déterminant dune matrice
carrée
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Quelques matrices particulières
Matrices carrées Matrices diagonales Matrices
triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices
par bandes Matrice diagonale (strictement)
dominante Matrice symétrique Matrice de
Vandermonde (déjà vu en introduction) Matrice de
Toeplitz Matrice de Hankel
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4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque lon 1.
permute 2 lignes interprétation
physique 2. permute 2 colonnes 3. divise par un
même terme non nul les éléments dune ligne 4.
ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre
de fois une autre ligne
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Question fondamentale
A quelles conditions léquation Ax b admet-elle
une solution unique ?
Théorème
Dim(Im u)dim(ker u) dim(F)
rang(u)dim(ker u) dim(F)
corollaire