Plan du cours

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Plan du cours

• Introduction
• Statistique descriptive
• Echantillonnage
• Calcul des probabilités et variables aléatoires
• Inférence statistique
• Estimation
• Tests dhypothèses
• Régression linéaire

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Inférence

• Un premier cas Moyenne dans une population
• Variable distribution dans la population.
• Exemple
• Budget annuel  transport  dun étudiant ULCO.
• Budget annuel moyen ?
• Echantillon prélevé dans la population
  (échantillon aléatoire).
• Moyenne de léchantillon.
• Erreur déchantillonnage ?
• Distribution déchantillonnage.

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Distribution déchantillonnage

• Exemple
• Expérience aléatoire lancer dun dé.
• Population (infinie) résultats de lancers du
  dé.
• Variable aléatoire X points obtenus.
• Distribution de probabilité de X

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Distribution de la population

• Normalement inconnue !
• Moyenne population
• Variance population
• Ecart-type population

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Problème

• Supposons ? inconnue.
• Comment estimer la valeur de ? à partir dun
  échantillon ?
• Exemple échantillon de 2 lancers de dé.
• n 2
• Calculer la moyenne échantillon
• Ecart entre et m ?

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Distribution déchantillonnage

• En fonction de tous les échantillons
  possibles(échantillon aléatoire simple n
  fixé).
• 36 échantillons possibles (même probabilité pour
  chacun)

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Distribution déchantillonnage

• Pour la moyenne échantillon

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Distribution déchantillonnage

• Paramètres de la distribution déchantillonnage
  pourn 2

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Distribution déchantillonnage
1
2

• Théorème central limite Plus n est grand, plus
  la distribution déchantillonnage se rapproche de
  celle dune v.a. normale !

3
4
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Distribution déchantillonnage et inférence

• Estimation dun paramètre.
• Test dune hypothèse.

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Distribution déchantillonnage pour une proportion

• Population proportion p dindividus ayant une
  certaine caractéristique.
• Problème p est inconnue !
• Echantillon de n individus
• X présentent la caractéristique parmi les n.
• Estimation de p
• Distribution déchantillonnage de X

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Inférence statistique
Individu
Population Paramètres
Distribution
Distribution déchantillonnage
Statistique
Distribution déchantillonnage
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Plan du cours

• Introduction
• Statistique descriptive
• Echantillonnage
• Calcul des probabilités et variables aléatoires
• Inférence statistique
• Estimation
• Tests dhypothèses
• Régression linéaire

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Estimation

• Quelle est la valeur dun paramètre population ?
• Utilisation dune statistique provenant dun
  échantillon.
• Estimation ponctuelle
• Calcul dune valeur unique (estimateur).
• Estimation intervalle
• Calcul dun intervalle, prenant en compte
  lerreur déchantillonnage (intervalle de
  confiance).

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Propriétés des estimateurs

• Non biais
• Si lespérance de lestimateur est égale au
  paramètre population.
• Convergence
• Si lerreur déchantillonnage tend vers 0 lorsque
  la taille de léchantillon augmente.
• Efficacité
• Si lestimateur est de variance minimum
  (distribution déchantillonnage).

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Estimation dune moyenne

• On étudie une variable définie sur une population
  X
• Distribution de X m et s
• On suppose m inconnue (et s connu).
• Echantillon aléatoire simple de n observations.
• Estimateur moyenne échantillon

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Distribution échantillonnée de la moyenne
échantillon

• Normale si la distribution de X est normale.
• Approximativement normale si n est suffisamment
  grand (n 30).
• Variable normale réduite

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Quantiles de la normale réduite
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Quantiles de la normale réduite
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Intervalle de confiance pour m
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Intervalle de confiance pour m

• Intervalle de confiance au niveau de confiance
  1?a
• Largeur de lintervalle
• Diminue lorsque n grandit,
• Augmente avec s,
• Diminue lorsque a grandit.

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Exemple lancer dun dé.

• On lance 100 fois un dé (n100).
• On connait s1,71
• On observe
• Intervalle de confiance pour m au niveau de
  confiance 95 (a0,05)

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Si s est inconnu !

• Si n est grand (n 30), on remplace s par s
  (approximation).
• Si n est petit et si la distribution de X est
  normale, on a Et lintervalle de confiance
  pour m est

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Exemple

• On sintéresse au poids de paniers de pommes.
• Un échantillon de 12 paniers donne une moyenne de
  738 g et un écart-type de 124 g.
• Trouver un intervalle de confiance, aux niveaux
  95 et 99, pour le poids moyen des paniers de
  pommes.

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Exemple

• Données
• Supposition poids distribué normalement.
• Intervalle de confiance

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Estimation dune proportion

• On sintéresse à une caractéristique présente sur
  une proportion p des individus de la population
  étudiée.
• La proportion p est inconnue.
• Echantillon aléatoire simple de n observations.
• Soit X le nombre dobservations présentant la
  caractéristique, et

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Distributions échantillonnées

• Distribution exacte de X
• Distribution approchée normale pour un grand
  échantillon

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Intervalle de confiance

• Pour p, au niveau de confiance 1?a ou

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Exemple

• Dans une enquête menée auprès de 1000 ménages, on
  constate que 340 dentre eux trient correctement
  leurs déchets. Construire un intervalle de
  confiance pour la proportion population de
  ménages qui trient correctement leurs déchets.

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Plan du cours

• Introduction
• Statistique descriptive
• Echantillonnage
• Calcul des probabilités et variables aléatoires
• Inférence statistique
• Estimation
• Tests dhypothèses
• Régression linéaire

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Test dhypothèse

• Objectif essayer de valider une hypothèse
  relative à un paramètre population, à partir dun
  échantillon.
• Exemple paniers de pommes
• Peut-on dire que le poids moyen des paniers de
  pommes est inférieur à 750g (poids annoncé) ?
• On pèse 12 paniers pris au hasard et on observe
  un poids moyen de 738g et un écart-type de 124g.

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Principe de test

• On teste une hypothèse H0 (hypothèse nulle)
  contre une hypothèse alternative H1.
• H0 est choisie de façon à connaître la
  distribution échantillonnée de la statistique
  utilisée sous H0 (si H0 est vraie).
• On définit une règle de décision
• RH0 On rejette H0 si lon dispose déléments
  suffisamment convaincants pour le faire.
• On ne rejette pas H0 dans le cas contraire.

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Exemple

• Hypothèses
• Statistique
• Distribution sous H0
• On observe
• Règle de décision ?

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Règle de décision

• Rejeter H0 si la valeur observée est peu
  vraisemblable sous H0 et plus vraisemblable si H1
  est vraie.
• Deux types derreurs peuvent être commises
• Type 1 Rejeter H0 alors quelle est vraie.
• Type 2 Ne pas rejeter H0 alors quelle est
  fausse.

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Règle de décision

• Risques derreurs
• Type 1
• Type 2
• Diminuer a ? augmenter b !
• On fixe a (car distribution connue sous H0).
  Souvent 5 ou 1.
• On établit la règle de décision en fonction de la
  distribution sous H0 et de a.

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Exemple

• Rejeter H0 (a 5) si
• Test unilatéral à gauche.
• Conclusion
• On ne peut pas rejeter H0.
• On ne peut donc pas montrer que m lt 750g.
• On ne peut pas en conclure que m 750g !

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Exemple

• En 2007, 48 étudiants de M1, parmi lesquels 36
   Lille3  et 12  ULCO , ont obtenu les notes
  suivantes en statistique.