Une incursion dans l

1
Une incursion danslunivers des jeux
combinatoires

• Éric Sopena, LaBRI
• Équipe Combinatoire et Algorithmique novembre
  2009

2
Les jeux combinatoires

• Dans le vaste univers des jeux mathématiques,
  nous allons nous intéresser aux jeux dopposition
  à deux joueurs

Dans le vaste univers des jeux dopposition à
deux joueurs, nous allons nous intéresser aux
jeux combinatoires
3
Quest-ce quun jeu combinatoire ?
Un jeu à deux joueurs, traditionnellement
désignés par A(lice) et B(ob)
4
Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob

Les deux joueurs jouent à tour de rôle et sont
contraints de jouer Alice joue toujours la
première
5
Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence

départ
Le nombre de positions possibles est fini, lune
des positions est la position initiale (position
de départ)
6
Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale

On dispose dun ensemble de règles définissant
les options possibles (passage dune position à
une autre). Ces options peuvent être identiques
ou différentes pour les deux joueurs (jeu
impartial ou jeu partisan)
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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)

Linformation sur le jeu (position courante et
options possibles) est totale pour les deux
joueurs
etc.
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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)
5. linformation est totale (position et options)

Le hasard nintervient pas en cours de partie
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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)
5. linformation est totale (position et options)
6. le hasard nintervient pas

Le joueur qui ne peut plus jouer perd la partie
(version normale). La convention opposée est
possible (version misère)
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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)
5. linformation est totale (position et options)
6. le hasard nintervient pas
7. version normale le perdant est le joueur ne
   pouvant plus jouer (autre version possible, dite
   misère)

Le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne
revient jamais sur une position déjà rencontrée)
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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)
5. linformation est totale (position et options)
6. le hasard nintervient pas
7. version normale le perdant est le joueur ne
   pouvant plus jouer (autre version possible, dite
   misère)
8. le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne
   revient jamais sur une position déjà rencontrée)

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Quest-ce quun jeu combinatoire ?

1. deux joueurs, Alice et Bob
2. les deux joueurs jouent alternativement
   (obligation), Alice commence
3. le nombre de positions est fini, lune des
   positions est la position initiale
4. ensemble de règles définissant les options
   (passage dune position à une autre), identiques
   ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou
   jeu partisan)
5. linformation est totale (position et options)
6. le hasard nintervient pas
7. version normale le perdant est le joueur ne
   pouvant plus jouer (autre version possible, dite
   misère)
8. le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne
   revient jamais sur une position déjà rencontrée)

Les jeux combinatoires sont des jeux de stratégie
pure
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Exemple 1 le jeu de NIM

• On dispose de plusieurs tas dallumettes
• À tour de rôle, chaque joueur choisit lun des
  tas et enlève un nombre quelconque dallumettes
  de ce tas
• Le joueur qui enlève la (ou les) dernière(s)
  allumette(s) gagne la partie (son adversaire ne
  pourra plus jouer).

Nim (4,3)
14
Exemple 2 le jeu de Kayles

• On dispose dune rangée de quilles
• À tour de rôle, chaque joueur peut faire tomber
  une seule quille ou bien deux quilles voisines

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Exemple 3 un jeu sur les graphes

• Un graphe non orienté (sommets reliés par des
  arêtes), un ensemble de k couleurs
• À tour de rôle, chaque joueur colorie lun des
  sommets de façon telle que deux sommets voisins
  (reliés par une arête) naient jamais la même
  couleur

• On peut montrer quun tel jeu est équivalent à un
  jeu à une seule couleur (sur un graphe différent)

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Exemple 3 un jeu sur les graphes

• Un graphe non orienté (sommets reliés par des
  arêtes)
• À tour de rôle, chaque joueur supprime un des
  sommets ainsi que lensemble de ses voisins
  (reliés par une arête)

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Quelle est la question ?...

• Les questions qui vont nous intéresser sont les
  suivantes

1. Considérons une position de jeu, initiale ou
intermédiaire. a. Le joueur qui doit jouer
peut-il gagner contre toute défense (position
gagnante) ? b. Son adversaire peut-il gagner
contre toute défense (position perdante) ?
Les jeux combinatoires, tels quon les a définis,
ont une propriété fondamentale toute position
est soit gagnante, soit perdante
2. Quelle stratégie doit-on adopter, si lon est
face à une position gagnante ?
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Positions gagnantes et positions perdantes

• Une position est gagnante si elle possède une
  option perdante (ce qui permet de mettre son
  adversaire en position perdante)

• Une position est perdante si toutes ses options
  sont gagnantes (on est contraint de mettre son
  adversaire en position gagnante)

• La stratégie gagnante consiste alors à choisir
  une option perdante lorsquon est face à une
  position gagnante

On va sintéresser maintenant aux jeux
combinatoires en version normale (le premier
joueur bloqué perd la partie)
19
Somme de jeux combinatoires

• Soient J1 et J2 deux jeux combinatoires (par abus
  de langage, on identifie un jeu avec sa position
  initiale)
• La règle utilisée pour jouer sur la somme J1 J2
  est la suivante

choisir J1 et jouer sur J1 en utilisant les
règles de J1 ou bien choisir J2 et jouer sur J2
en utilisant les règles de J2

• Le joueur ne pouvant plus jouer (ni sur J1, ni
  sur J2) est déclaré perdant (version normale)

20
Somme de jeux combinatoires

• Très souvent, une position de jeu fait apparaître
  plusieurs composantes indépendantes
• Une telle position peut ainsi être interprétée
  comme une somme de plusieurs positions

21
Somme de jeux combinatoires

• Peut-on déterminer si une somme de jeux est
  gagnante ou perdante, connaissant la réponse à
  cette question pour les composantes de la somme ?

Perdant Perdant Perdant
Gagnant Perdant Gagnant
Gagnant Gagnant Perdant ou Gagnant
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Principe de symétrie

• Une position de jeu constituée de deux
  composantes indépendantes et identiques est
  toujours perdante.

• Chaque coup joué par Alice dans lune des
  composantes peut être reproduit à lidentique par
  Bob dans lautre composante
• Ainsi, Bob ne sera jamais bloqué

23
Principe de symétrie Kayles résolu ?
Ainsi, Alice gagne toujours le jeu est-il
résolu pour autant ?
24
Positions de jeu équivalentes

• On dira que deux positions de jeu J1 et J2 sont
  équivalentes si et seulement si la position J1
  J2 est perdante
• (symétrie deux positions identiques sont
  équivalentes)

25
La fonction de Sprague-Grundy

• Dans les années 30, Sprague et Grundy ont
  introduit une fonction permettant de systématiser
  lanalyse des jeux combinatoires impartiaux (même
  règles pour les deux joueurs) en version normale
  (le premier joueur bloqué perd la partie).

• Idée
• Toute position perdante est équivalente à la
  position NIM(0)
• Toute position gagnante est équivalente à une
  position NIM(n) pour une certaine valeur de n gt 0
  (ce qui signifie que la position J NIM(k) est
  perdante).

Fonction de Sprague-Grundy, notée ? ? ( NIM(k)
) k, pour tout k ? 0 ? ( J ) k si J est
équivalente à NIM(k)
26
Calcul des  nimbers 

• La valeur ?(J) est appelée le nimber de la
  position J.

Soit J une position de jeu, et J1, J2, , Jk
lensemble de ses options (positions atteignables
en un coup). Nous avons alors ? ( J ) mex (
? ( J1 ), ? ( J2 ), , ? ( Jk ) )
Pour tout ensemble S dentiers naturels, mex ( S
) désigne le plus petit entier naturel
napparaissant pas dans lensemble S - mex (
0, 1, 3 ) 2 - mex ( 1, 2, 5, 6 ) 0 -
mex ( ? ) 0
27
Nimbers et somme de jeux

• Si J J1 J2, alors
• ? ( J ) ? ( J1 ) ? ? ( J2 )

XOR (ou exclusif des représentations binaires)
? ( Nim(3) ) 3 11 ? ( Nim(1) ) 1
01 11 ? 01 10 ? ( NIM(3,1) ) 2
28
Résolution dun jeu combinatoire

• La fonction de Sprague-Grundy nous permet de
  déterminer si une position de jeu J est gagnante
  ou perdante
• J est gagnante si et seulement si ? ( J ) gt 0

• Si J est une position gagnante, la fonction de
  Sprague-Grundy nous permet de trouver une option
  perdante J de J (stratégie)
• choisir J telle que ? ( J ) 0

• La fonction de Sprague-Grundy nous permet de
  déterminer si deux positions de jeux sont
  équivalentes
• J1 équivalent à J2
• si et seulement si J1 J2 est perdante
• si et seulement si ? (J) ? (J1) ? ? (J2) 0
• si et seulement si ? (J1) ? (J2)

29
Résolution dun jeu combinatoire

• Exemple Nim (8, 8, 7, 7, 7, 6, 4, 4, 4, 2, 1)
• Comment trouver  facilement  le coup gagnant ?

On calcule ? ? 7 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 111 ?
110 ? 100 ? 10 ? 1 101
On choisit un tas dont la taille possède un 1
en 3ème position par exemple 7 111
3ème position (de droite à gauche)
Et on calcule la somme des tailles des autres tas
? ? 7 010 4 lt 7
Ce qui donne une option perdante possible
supprimer 3 allumettes dans lun des tas de 7
30
La machine NIMROD
source http//www.goodeveca.net/nimrod/

• NIMROD une machine dédiée au jeu de NIM
  (présentée en Angleterre en mai 1951 par la
  société Ferranti).

31
Séquence de Sprague-Grundy

• Soient J(0), J(1), J(2), les différentes
  positions initiales dun jeu J, correspondant à
  des composantes de taille 0, 1, 2,

n 0 n 1 n 2 n 3
Nim (n)
Kayles (n)
32
Séquence de Sprague-Grundy

• Soient J(0), J(1), J(2), les différentes
  positions initiales dun jeu J, correspondant à
  des composantes de taille 0, 1, 2,

On définit alors la séquence de Sprague-Grundy,
donnée par la suite ? ( J(0) ), ? ( J(1) ), ? (
J(2) ),
Exemple. Le jeu de NIM
n 0 1 2 3 4 5 6 7
?(NIM(n)) 0 1 2 3 4 5 6 7
33
Le jeu de Kayles

• On peut démontrer que la séquence de
  Sprague-Grundy du jeu de Kayles a la forme
  suivante

0 0 1 2 3 1 4 3 2 1 4 2
11 6 4 1 2 7 1 4 3 2 1 4 6
23 7 4 1 2 8 5 4 7 2 1 8 6
35 7 4 1 2 3 1 4 7 2 1 8 2
47 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 4 2
59 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 6
71 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2
83 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2
95 7 4 1 2 8 1
Toutes les positions non vides sont bien
gagnantes
34
Le jeu de Kayles

• On peut démontrer que la séquence de
  Sprague-Grundy du jeu de Kayles a la forme
  suivante

0 0 1 2 3 1 4 3 2 1 4 2
11 6 4 1 2 7 1 4 3 2 1 4 6
23 7 4 1 2 8 5 4 7 2 1 8 6
35 7 4 1 2 3 1 4 7 2 1 8 2
47 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 4 2
59 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 6
71 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2
83 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2
95 7 4 1 2 8 1
Longueur de période 12 Nombre dexceptions
14 Dernière exception ?(70) il suffit de
mémoriser la période et les exceptions
Toutes les positions non vides sont bien
gagnantes
35
Jeu sur les chemins

• On peut démontrer que la séquence de
  Sprague-Grundy du jeu sur les chemins a la forme
  suivante

0 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 0 5 2 2
18 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 2 7 4 0
35 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 2
52 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8
69 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9
86 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8
103 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9
120 3 3 0 1 1 3 0 2
36
Jeu sur les chemins

• On peut démontrer que la séquence de
  Sprague-Grundy du jeu sur les chemins a la forme
  suivante

0 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 0 5 2 2
18 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 2 7 4 0
35 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 2
52 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8
69 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9
86 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8
103 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9
120 3 3 0 1 1 3 0 2
Longueur de période 34 Nombre dexceptions
7 Dernière exception ?(51)
37
En guise de conclusion
La fonction de Sprague-Grundy est un outil
fondamental pour la résolution des jeux
combinatoires impartiaux, en version normale.
Nous navons pas doutil équivalent (général)
pour létude des jeux combinatoires impartiaux en
version misère

• Une résolution complète de la version misère du
  jeu de KAYLES na été obtenue quen 1973 par
  William Sibert (et publiée en 1992)(jeu
  introduit en 1914)
• En version misère, le jeu de coloration sur les
  chemins nest toujours pas résolu ! (introduit
  en 1934, connu sous le nom de Dawsons chess)

Graphe des positions (si le temps le permet)
38
En guise dexercice
Le solitaire à deux joueurs
(le premier joueur bloqué perd la partie)
Sauriez-vous déterminer les configurations
gagnantes sur une ligne ?...
39
Bibliographie
E.R. Berlekamp, J.H. Conway, R.K. Guy Winning
Ways for your Mathematical Plays (4 vol., 1st
ed. 1982, 2nd ed. 2001-2004)
J.H. Conway, On Numbers and Games (1st ed.
1976, 2nd ed. 2001)
M.H. Albert, R.J. Nowakowski, D. Wolfe Lessons
in play (2007)
40
Merci de votre attention