RAZONAMIENTO APROXIMADO Sistemas Difusos (Fuzzy Systems)

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RAZONAMIENTO APROXIMADOSistemas Difusos (Fuzzy
Systems)
Introducción a la Inteligencia Artificial LCC
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RAZONAMIENTO APROXIMADO (RA)

• Trata como
• REPRESENTAR
• COMBINAR y
• REALIZAR INFERENCIAS
• con conocimiento impreciso y/o incierto

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RA Distintos modelos

• MODELOS PROBABILISTICOS
• MODELO EVIDENCIAL
• MODELO POSIBILISTICO

• Todos tratan la incertidumbre en un sistema
  de producción
• Sólo el modelo posibilístico puede tratar la
  imprecisión.

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RA Distintos modelos

• MODELO POSIBILISTICO

• Como representar, combinar y realizar
  inferencias con conocimiento impreciso

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CONOCIMIENTO IMPRECISO

• El conocimiento cuenta con predicados o
  cuantificadores vagos (no precisos)
• Ejemplos
• Pedro tiene entre 20 y 25 años.
• Juan es joven
• Mucha gente juega al fútbol
• El espectáculo es para gente grande.

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Lógica difusa

• Introducción
• Teoría de conjuntos difusos
• Teoría de conjuntos clásica (conjuntos nítidos)
• Conjuntos Difusos
• Funciones de pertenencia
• Etiquetas lingüísticas
• Operaciones elementales con conjuntos difusos
• Complemento
• Intersección
• Unión
• Razonamiento difuso
• Inferencia difusa
• Decodificación
• Funcionamiento de un sistema difuso
• Conclusiones

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Necesidad de razonamiento difuso

• En el mundo real existe mucho conocimiento con
  las siguientes características conocimiento
  vago, impreciso, incierto, ambiguo, inexacto, o
  probabilístico por naturaleza.
• El razonamiento y pensamiento humano
  frecuen-temente conlleva información de este
  tipo
• imprecisión inherente de los conceptos humanos y
• razonamiento basado en experiencias similares,
  pero no idéntica
• Problema Poca capacidad de expresión de la
  lógica clásica.
• Ejemplo 1. Clasificación de personas en altas o
  bajas
• Ejemplo 2. Definición del término joven

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Going Fuzzy
Examples of Fuzzy statements

• The motor is running very hot.
• Tom is a very tall guy.
• Electric cars are not very fast.
• High-performance drives require very rapid
  dynamics and precise regulation.
• Leuven is quite a short distance from Brussels.
• Leuven is a beautiful city.
• The maximum range of an electronic vehicle is
  short.

If short means 300 km or less, would 301 km be
long ?

• Want to express to what degree a property holds.

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Fuzzy sets
Are functions f domain ? 0,1
Crisp set (tall men)
Fuzzy set (tall men)
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Representing a domain
Crisp sets (mens height)
Fuzzy set (mens height)
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Razonamiento inexacto

• Es necesario cuantificar y razonar acerca de
  términos o predicados difusos que aparecen en el
  lenguaje natural.
• La lógica difusa se refiere a estos términos como
  variables lingüísticas, y la tecnología de los
  sistemas expertos, incorpora estas variables
  lingüísticas en reglas que pasan a ser reglas
  difusas.

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Lógica difusa

• En 1965, Lofti Zadeh sienta las bases de la
  lógica difusa
• Motivación inicial estudio de la vaguedad
• Relación vaguedad ? incertidumbre
• Solución definir conjuntos con grados de
  pertenencia
• Éxito de la lógica difusa
• Desde el punto de vista práctico miles de
  aplicaciones, la mayoría en sistemas de control
• Desde el punto de vista lógico lógica fuzzy como
  una lógica multivaluada.

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Características principales de la lógica difusa

• Se intenta representar la vaguedad e imprecisión
  inherentes en el lenguaje natural
• Utiliza varios elementos conjuntos difusos,
  variables difusas, relaciones difusas, reglas
  difusas (lenguaje difuso)
• Dichos elementos se combinan entre sí en el
  proceso de inferencias (fuzzy logic)
• Fuzzy control El proceso de inferencias incluye
  pasos que pasan la información precisa a difusa y
  viceversa

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Lógica difusa

• Por definición logica difusa es una rama de la
  lógica que utiliza grados de pertenencia a los
  conjuntos (grados de verdad de las fórmulas) en
  lugar de los estrictos valores verdadero o falso.
• Estos conjuntos reciben la denominación de
  conjuntos difusos.

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Lógica difusa

• La lógica difusa concierne a la cuantificación y
  razonamiento sobre términos vagos o difusos que
  aparecen en el lenguaje natural cotidiano. En la
  lógica difusa, estos términos son denominados
  variables lingüísticas.
• variables lingüísticas son términos que
  describen algún concepto que usualmente tiene
  asociados valores vagos o difusos.

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Lógica difusa
Variable lingüística Valores típicos
temperatura caliente, frío
altura baja, media, alta
velocidad lenta, normal, rápida
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Difusión de fuzzy logic

• En la actualidad es un campo de investigación muy
  importante, tanto por sus implicaciones
  matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones
  prácticas
• Revistas (Fuzzy Sets and Systems, IEEE
  Transactions on Fuzzy Systems..)
• Congresos (FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...)
• Miles de aplicaciones reales
• Control de sistemas Tráfico, vehículos,
  compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales
  térmicas, lavadoras, metros ascensores...
• Predicción y optimización Predicción de
  terremotos, optimización de horarios...
• Reconocimiento de patrones y Visión por
  ordenador Seguimiento de objetos con cámara,
  reconocimiento de escritura, reconocimiento de
  objetos, compensación de vibraciones en cámaras,
  sistemas de enfoque automático...
• Sistemas de información o conocimiento Bases de
  datos, sistemas expertos...

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Un poco de publicidad...
OLYMPUS ERGONÓMICA SRL 28-120
Poderoso lente zoom de 4.3x, 28-120 con elementos
de lentes de cristal ED Sistema de flash doble
incorporado. Ajuste de Exposición Automática
programada Sistema de Medición TTL Fuzzy logic
ESP, Promedio Balanceado al Centro
AEG Lavamat 64600
Carga 5kg Revoluciones 1400 rpm
Características energéticas A,A,B
Multi-Display Fuzzy Logic Programas
especiales Lavado a mano, Seda, Lana
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Conjuntos difusos

• Conjuntos clásicos (crisp)
• A ? U definido por su función de pertenencia
• ?A U ? 0,1 / ?A(x) 1 sii x ? A
• Conjunto difuso (Fuzzy set) A de U
• ?A U ? 0,1
• ?A(x) me define el grado de pertenencia de x a A
• Hay distintos grados de pertenencia

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Conjuntos difusos

• La sentencia Juan es alto implica la variable
  estatura que tiene como valor lingüístico
  alto. El rango de los posibles valores de la
  variable lingüística (estatura) es el universo de
  discurso X de dicha variable 0.3, 2.5m.
• La frase Juan es alto restringe los valores de
  la variable estatura y se puede representar
  mediante un conjunto difuso.

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Conjuntos difusos

• Para otras descripciones de la variable
  lingüística estatura tales como baja o media,
  se pueden obtener otros conjuntos difusos que
  reflejan la opinión popular (o de expertos).
• se pueden definir múltiples conjuntos difusos
  para un mismo universo de discurso subconjuntos
  difusos representando distintos términos vagos.

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(No Transcript)
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Funciones de pertenencia

• Algunas de las funciones de pertenencia más
  utilizadas son

• Función GAMMA (?)

• Función L

Puede definirse simplemente como 1 menos la
función GAMMA

• Función LAMBDA o triangular

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Funciones de pertenencia

• Función PI o trapezoidal

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Funciones de pertenencia

• Función S

• Función Z (opuesta de la S)

mZ(x) 1- mS(x)

• Función P

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Conjunto difuso - espacio discreto

• Considerando ahora un universo de discurso
  discreto, tal que los elementos de X sean x1,
  x2, .....xn y, siendo A un conjunto difuso
  definido en dicho universo

• La representación del vector se clarifica
  utilizando el símbolo / que asocia el valor
  de pertenencia ai con la coordenada de xi
• A ( a1 / x1, a2/x2.....an/ xn )
• Considerando el conjunto difuso alto
• ALTO (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)

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Conjunto difuso - espacio discreto

• También se expresa como
• A ( a1 /x1 a2/x2.....an/ xn )
• A ?i,1,n ?A(xi)/xi
• Si X es una función continua, el conjunto
• A, este puede ser representado como
• A ? ?A(xi)/xi

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Etiquetas lingüísticas - Hedges

• Equivalentes a los adverbios del lenguaje natural
• Se utilizan para definir conjuntos difusos a
  partir de otros ya existentes. Por ejemplo, viejo
  gt MUY viejo
• Lo que se hace es componer la función de
  pertenencia con alguna otra función, de forma que
  la función resultante tenga la forma deseada
• Por ejemplo, función para el adverbio MUY gt f(y)
  y2

viejo
Muy viejo
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Etiquetas lingüísticas
Existe todo un catálogo de adverbios/funciones
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Etiquetas lingüísticas

• Otras operaciones usuales

Normalización
f(y) y/Altura
Concentración
f(y)yp, con pgt1
Dilatación
f(y)yp, con 0ltplt1
Intensificación contraste
Difuminación
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Operaciones con conjuntos difusos
Complemento (Negación) Dado un conjunto difuso A,
su complemento vendrá definido por

• Las funciones c para el complemento más
  utilizadas son

• c(a) 1 - a.

• Yager cw(a) ( 1 - aw)1/w w? 0, ?

• Sugeno cl(a) (1-a)/(1-la) l? 0, 1

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Operaciones con conjuntos difusos
Intersección (conjunción) Dados dos conjuntos
difusos A y B, su intersección vendrá definida por
Las funciones i que verifican las propiedades
que se esperan de una conjunción se llaman
normas triangulares (t-normas).
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Operaciones con conjuntos difusos

• Algunas t-normas usuales

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Operaciones con conjuntos difusos
Unión (disjunción) Dados dos conjuntos difusos A
y B, su unión vendrá definida por mAuB(x)
u(mA(x), mB(x))
Las funciones u que verifican las propiedades
esperadas para una disjunción se llaman
conormas triangulares (t-conormas).
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Operaciones con conjuntos difusos

• Si consideramos como complemento la función c(u)
  1-u, las t-conormas correspondientes a las
  t-normas anteriores son

• t-conorma del máximo
• umax(a,b) max(a,b)

• t-norma de la suma drástica

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Operaciones con conjuntos difusos

• Considerando la t-norma del mínimo
  (intersección, AND) junto con la t-conorma del
  máximo (unión, OR)

• Conjuntos vacío y total
• Conjunto vacío
• Conjunto total
• (X crisp)

Sin embargo, con esta definición no se satisfacen
algunos famosos principios de la lógica clásica,
como por ejemplo
Principio de contradicción Principio del tercero
excluso
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Razonamiento difuso

• Proposición difusa simple
• Proposición que asigna un valor a una variable
  difusa Pepe es de estatura mediana.
• Tiene asociado un conjunto difuso (función de
  pertenencia).
• Proposición difusa compuesta
• Agrupación de dos o más proposiciones difusas
  simples
• la velocidad es normal AND el objeto está
  cerca
• la velocidad es alta OR el objeto está muy
  cerca
• la velocidad NO es alta
• Necesidad de definir operadores difusos
• NO (p) mA(u) 1 - mA(u)
• AND (p?q) vendrá definida por una función de
  pertenencia tipo t-norma, por ejemplo m A?B (u,v)
  min( mA(u), mB(v))
• OR (p?q) vendrá definida por una función de
  pertenencia tipo t-conorma, por ejemplo mAUB(u,v)
  max(mA(u), mB(v))

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Razonamiento difuso implicaciones

• El siguiente paso es definir lo que es una
  implicación, es decir, asignar una función de
  pertenencia a una agrupación antecedente
  consecuente del tipo p?q
• Esto nos permitirá razonar con afirmaciones tales
  como
• SI la velocidad es normal
• ENTONCES la fuerza de frenado debe ser moderada
• Opciones
• Teórica Dar a la implicación el mismo
  significado que en la lógica clásica.
• p?q ? ?p?q mp?q(u,v) max(1-mA(u),
  mB(v))
• p?q ? (p?(q)) mp?q(u,v) 1 minmA(u),
  1-mB(v)
• Práctica Dar a la implicación el significado de
  relación causa-efecto
• Implicación de Mamdani
• p?q ? A?B ? mp?q(u,v) min( mA(u), mB(v))

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Inferencia Difusa Fuzzy inference

• Una regla difusa relaciona dos proposiciones
  difusas, por ejemplo considerando dos conjuntos
  difusos tales como A (estatura es alta) y B (peso
  es elevado), estos pueden estar relacionados por
  la regla
• If A Then B
• Los sistemas expertos difusos almacenan las
  reglas como asociaciones difusas (A,B), en una
  matriz M denominada matriz asociativa difusa.

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• Matriz asociativa difusa.

41
Inferencia Difusa Fuzzy inference

• Como en otras técnicas de razonamiento inexacto,
  el proceso de inferencia difusa intenta
  establecer la credibilidad conclusión de la regla
  dada una cierta evidencia en la premisa.

If A Then B A B ???
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Funcionamiento de un sistema de control basado en
lógica difusa
Codificador
Decodificador
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Inferencia Difusa Fuzzy inference

• Disponiendo de la matriz M que se obtiene a
  partir de A?B, el proceso de inferencia difusa
  permite a partir de información A (subconjunto
  de A), inducir un subconjunto B de B.
• Técnicas de inferencia difusas
• Inferencia max-min
• Inferencia max-product

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Inferencia max-min

• El operador de de la implicación utilizado es
  el min, es decir
• mij min(ai,bj)
• Entonces, dados dos conjuntos difusas A y B, se
  obtiene la matriz M.
• Luego, dado el conuunto A, se puede inducir el
  subconjunto B.

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Inferencia max-min

• Ejemplo sea un universo de discurso X que
  representa temperatura, y A un conjunto difuso
  que representa temperatura normal.
• Asumiendo que Y representa velocidad y un B
  que representa velocidad media, entonces si
  tenemos la siguiente regla difusa
• If temperatura normal Then velocidad media
• IF A THEN B

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Inferencia max-min - Ejemplo
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A representa una entrada de t125º
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El subconjunto A (lectura única) induce un
conjunto difuso B utilizando la composición
max-min
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Inferencia max-min - Ejemplo
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Inferencia max-min - Observación

• Cuando A tiene un solo valor de pertenencia
  distinto de 0, por ejemplo xk se puede utilizar
  solo ? A (xk) directamente con la representación
  de B, ? B (y) para inducir B como
• B ? A (xk) ? ? B (y)
• Truncamiento del conjunto difuso B
• por el valor ? A(xk)

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Inferencia max-min - Ejemplo

• En el ejemplo, nosotros asumimos que la
  temperatura es de 125 grados A tiene un solo
  valor de pertenencia distinto de 0, y resulta
• ? A (x) 0.5
• Luego
• B min(.5, 0), min(.5, .6), min(.5, 1),
• min(.5, .6), min(.5, 0)
• (0, .5, .5, .5, 0)

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Inferencia max-min - Observación

• En el caso que la entrada a la regla sea una
  lectura difusa A, nosotros podemos considerar la
  intersección de A y A, es decir
• min (ai, ai) para inducir el B

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(No Transcript)
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Inferencia max-product

• El operador de de la implicación utilizado es el
  producto en lugar del min
• mij ai bj
• Dados los conjuntos difusos A y B, se obtiene la
  matriz M.
• Luego, dado el vector de ajuste de A, se puede
  inducir el subconjunto B.

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Inferencia max-product Ejemplo
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Inferencia max-product Ejemplo

• A partir de la nueva matriz M se utiliza
  nuevamente la
• composición Max-min

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Inferencia max-product Ejemplo
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Inferencia Difusa

• El método numérico desarrollado puede ser
  extendido a reglas con cláusulas múltiples en la
  premisa vinculadas por operadores de conjunción o
  disyunción.
• Si A and/or B Entonces C
• La extensión del método consiste en incorporar
  las matrices asociativas a cada uno de los
  conjuntos difusos A y B involucrados en la regla
  y resolverlos conforme a la naturaleza del
  operador que los vincula.

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Reglas con antecedentes compuestos
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Inferencia Difusa

• El efecto de la combinación de las conclusiones
  de varias reglas
• R1 A1 ? C, ... Rn An ? C
• y el valor resultante del aporte de cada una de
  ellas, permite suponer que el resultado de la
  composición ( la unión)
• C C1 ? C2 ? C3 ....... ?Cn
• según las operaciones entre conjuntos difusos
• C max (C1 , C2 , C3 ,...... , Cn)

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Decodificación - defuzzyfication

• Una vez llevado a cabo el proceso de razonamiento
  difuso, es necesario dotar al sistema de la
  capacidad de tomar decisiones. Así por ejemplo,
  el sistema debe saber qué fuerza de frenado que
  debemos aplicar si la velocidad es alta
• Para ello se utilizan las llamadas técnicas de
  decodificación, que transforman un conjunto
  difuso en un valor nítido.
• Las más usuales son
• El valor máximo (es decir, el más posible).
• El centroide o centro de gravedad difuso

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Fuzzy systems
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Fuzzy systems
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Fuzzy systems
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Fuzzy system ejemplo
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Fuzzy system ejemplo
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Fuzzy system ejemplo
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Fuzzy system ejemplo
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En resumen

• La lógica difusa se concibió originalmente como
  un método mejor para manejar y almacenar
  información imprecisa
• Ha demostrado ser una excelente alternativa para
  sistemas de control, ya que imita a la lógica de
  control humana
• Se pede incluir en cualquier sistema, desde
  dispositivos pequeños a sistemas de control
  complejos
• Usa un lenguaje impreciso pero muy descriptivo
  para operar con datos de entrada de una forma
  parecida a la usa un operador humano
• Es robusta y no demasiado dependiente de los
  datos de entrada y operadores elegido
• Incluso las primeras versiones funcionan bastante
  bien, con escasa necesidad de ajustes