Curso de Hist

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Curso de História da MatemáticaOrigens e
Desenvolvimento do cálculo

• Autora Margaret E. Baron
• Vol. 1, 2, 3, 4, 5

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Contextualizando

• Século XV e início do século XVI aplicação
  prática na matemática.
• Arquimedes foi amplamente estudado , uma vez que,
  ele foi o matemático que mais se destacou, até
  então, na aplicação da matemática a problemas
  físicos.
• Utilização do método de exaustão.

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(No Transcript)
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Contextualizando

• Johannes Kepler e Galileu Galilei foram os
  primeiros a abandonar a estrutura de demonstração
  de Aristóteles em troca do uso do indivisível.
• Galileu esperava achar leis fundamentais que
  formassem o fundamento para a ciência.
• Kepler aplicou suas idéias no cálculo de áreas e
  volumes utilizando a noção de que eles eram
  compostos de uma quantidade infinita de retas ou
  planos.

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• Johannes Kepler

• Galileu Galilei

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O cálculo

• O cálculo foi desenvolvido através do estudo de
  curvas. Na metade o século XVII Descartes
  introduziu métodos algébricos à geometria
  mostrando que as curvas podem ser representadas
  por equações. Tornou-se possível usar tais
  equações para exprimir as relações entre a
  abcissa (x) e a ordenada (y).
• A abcissa, a ordenada e outras quantidades tais
  como a subtangente , a norma, a área são chamadas
  de quantidades variáveis vinculadas à curva

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Issac Newton (1642-1727)

• Newton nasceu em um período em que idéias como a
  de que os corpos celestes pudessem estar sujeitos
  as mesmas leis dos corpos terrestes e que estas
  leis pudessem ser melhor compreendidas mediantes
  a matemática ganhavam crescente apoio.

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Issac Newton

• Além de se interessar pela matemática, Newton faz
  também investigações importantes sobre a teoria
  da luz procurou por anos uma forma de
  transformar metais em ouro e até construiu um
  telescópio de espelho altamente eficaz e de
  reduzido tamanho.

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Issac Newton

• Os ensaios pelos quais o cálculo de Newton
  tornou-se conhecido foram
• De analysi per equationes numero terminorum
  infinitas (1669)
• Methodus fluxionum et serierum infinitarum (1671)
  não publicado em vida
• Tractatus de quadratura curvarum (1693)
• Principia (1687)

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Issac Newton

• Fluentes e Fluxões
• Idéia de curvas por movimento
• Se x, y, z são os fluentes, ou seja, são
  variáveis que aumentam ou diminuem com o tempo,
  então
• representam as fluxões ou
  velocidades.
• Séries infinitas
• Utilização de séries infinitas como ferramenta no
  desenvolvimento de métodos sistemáticos de
  integração.
• Quadratura das curvas
• Retificação de arcos

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Issac Newton

• Notação
• A notação x,y na descrição de uma curva, foi
  naturalmente introduzida por Descartes Newton a
  utilizava consistentemente para a abcissa e a
  ordenada
• Os eixos eram traçados de modo usual e em posição
  retangular
• Não utilizava um símbolo especial para denotar o
  processo de integração
• Utilizava um ponto para as fluxões

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Issac Newton

• Resolução de problemas
• Newton reconheceu a necessidade de um tratamento
  sistemático para todos os problemas referentes às
  propriedades das linhas curvas.
• Desde o início dos seus estudos, estabeleceu
  tabelas de resultados que lhe possibilitassem a
  integração e diferenciação diretas.
• Fica claro que seu objetivo era estabelecer
  regras compreensivas através das quais todas as
  propriedades identificáveis das curvas que
  conhecia pudessem ser deduzidas com o mínimo de
  esforço.

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Gottfried Leibniz (1646-1716)

• Formado em direito pela Univerdade de Altdorf.
• Interessado pela matemática além do cálculo
  investigou o sistema de números binários e
  explorou a teoria dos determinantes.

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Gottfried Leibniz

• Characteristica generalis
• Idéia uma linguagem simbólica geral com a qual
  poderiam ser traduzidos todos os processos de
  raciocínio e de argumento. Ela teria certas
  regras lógicas, que garantissem, se fossem
  obedecidas, que o argumento seria correto.
• Uma vez traduzido um problema para a linguagem
  simbólica, a aplicação das regras conduziria
  quase mecanicamente a sua solução.
• Leibniz não encontrou essa tal linguagem
  simbólica !!

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Os conceitos do cálculo de Leibniz

• Diferenciais A diferencial de uma variável y é a
  diferença infinitamente pequena entre dois
  valores consecutivos de y.
• Integrais ou somas é a soma de retângulos
  infinitamente pequenos. Portanto, é a área da
  curva. (Leibniz não indica o intervalo de
  integração. Assim, as fórmulas não explicitam as
  constantes de integração)

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Diferenças entre o cálculo de Newton e Leibniz

1. A concepção das quantidades variáveis
2. Os conceitos fundamentais da fluxão e da
   diferenciação
3. A concepção da integral, o teorema fundamental
4. Quantidades infinitamente pequenas
5. Notação
6. Os papéis das figuras e das fórmulas

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Difusão do cálculo Leibniziano

• Início da difusão devido as atividades dos irmãos
  Jakob e Johann Bernoulli
• Divulgação de artigos escritos pelos Bernoulli e
  pelo próprio Leibniz através da Acta eruditorum
• Faltava entretanto um livro apropriado. Essa
  falha foi suprida pela obra Analyse des
  infiniments petits, escrita pelo marques
  Guillaume François de lHôpital

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Críticas de Berkeley os conceitos fundamentais do
cálculo

• Quantidades extremamente (ou infinitamente)
  pequenas, chamadas de infinitesimais,
  diferenciais não podem ser concebidas
  claramente.
• A prática de trabalhar com tais quantidades no
  cálculo envolve um contradição primeiramente
  supõe-se que elas sejam diferentes de zero , e
  depois igual a zero.

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No século XIX...

• Fundamentos do cálculo foram firmemente fixados
• Considerou-se as variáveis como funções de uma
  variável independente
• Introduziu a derivada como conceito fundamental
  do cálculo
• Utilizou-se o conceito de limite bem explicito na
  definição da função derivada

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Do cálculo à análise

• Por volta de 1800, todas as disciplinas de
  matemática que tratavam dos processos infinitos
  (limites,séries, diferenciação, integração) foram
  reunidas sob o nome de análise.
• O cálculo, por volta de 1700, era ainda
  essencialmente orientado para a geometria.
  Tratava de problemas sobre curvas, empregava
  símbolos algébricos, mas as quantidades de que se
  utilizava eram principalmente interpretadas como
  ordenadas e abcissas de curvas, ou como outros
  elementos de figuras geométricas.
• Durante a primeira metade do século diminuiu o
  interesse pela origem geométrica dos problemas e
  os matemáticos passam a se interessar mais pelos
  símbolos e fórmulas do que pelas figuras.
• A análise tornou-se o estudo e a manipulação de
  fórmulas.

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Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

• Foi o responsável por essa mudança de atitude na
  análise.
• Livros Cours danalyse de lEcole Polytechnique
• Résumé des leçons donnés a lÉcole
  Polytechnique sur le calcul infinitesimal
• Cauchy apresentou um outro enfoque para a
  integração definindo-a como um somatório que
  tende a um limite.