Mierniki efektywnosci inwestycji finansowych

1
Mierniki efektywnosci inwestycji finansowych

• Stopa zwrotu, okresowa stopa zwrotu, stopa zwrotu
  z uwzglednieniem stopy reinwestycji, stopa zwrotu
  z uwzglednieniem kosztu kapitalu, NPV, IRR

2
Stopa zwrotu z inwestycji

• (31) R (K - K0) / K0
• gdzie K0 kapital poczatkowy,
• K - kapital koncowy

3
Inwestycje wieloetapowe Ciag inwestycji
zamknietych
4
Inwestycje wieloetapowe Ciag inwestycji
zamknietych

• Dowód. Rzeczywiscie
• K1 K0 (1 r1)
• K2 K1 (1 r2) K0 (1 r1) (1 r2)
• K3 K2 (1 r3) K0 (1 r1) (1 r2) (1 r3)
• ..................................................
  ...........................
• Kn Kn-1 (1 rn) K0 (1 r1) (1 r2) (1 r3)
  (1 rn)
• Stad i z uwagi 1 otrzymujemy (32).
• Aby srednia roczna stopa zwrotu rs generowala
  stope zwrotu R z calej inwestycji, musi
  zachodzic równosc
• (34) (1 rs)n ?ni1(1 ri) , stad otrzymujemy
  (33).
• Wzór (34) mozna przedstawic w postaci
• (35) rs ( R 1)1/n 1, czyli

5
Srednia stopa zwrotu z inwestycji wielookresowej

• Wzór (34) mozna przedstawic w postaci
• (35) rs ( R 1)1/n 1, czyli
• Wzór mozna interpretowac jako wzór na srednia
  okresowa stope zwrotu z inwestycji trwajacej n
  okresów bazowych i posiadajacej stope zwrotu R z
  calej inwestycji
• rs nosi nazwe sredniej geometrycznej stopy
  zwrotu

6
Inwestycje wieloetapoweCiag inwestycji
kompensowanych

• Def. 3. Ciag inwestycji nazywamy ciagiem
  inwestycji kompensowanych, jezeli kolejna
  inwestycja ma taki sam kapital poczatkowy jak
  poprzednia (kapital jest uzupelniany w przypadku
  straty, odprowadzany - w przypadku zysku).
• Twierdzenie 2. Niech dany bedzie ciag n rocznych
  inwestycji kompensowanych, o stopach zwrotu
  odpowiednio r1, r2, r3,..., rn. Wtedy stopa
  zwrotu R calego ciagu inwestycji wynosi
• (36) R ?ni1 ri
• zas srednia roczna stopa zwrotu rsa wynosi
• (37)
• (przez srednia roczna stope zwrotu rozumiemy
  stala roczna stope generujaca stope zwrotu R z
  calej inwestycji).

7
Inwestycje wieloetapoweCiag inwestycji
kompensowanych

• Dowód. Niech K0 oznacza kapital poczatkowy.
• Po roku dysponujemy kapitalem K1 K0 (1 r1) ,
  odprowadzamy K0 r1.
• Po drugiej inwestycji - kapitalem K2 K0 (1
  r2) , odprowadzamy K0 r2, i.t.d.
• Po n-tej inwestycji mamy Kn K0 (1 rn) ,
  odprowadzamy K0 rn, pozostalo K0.
• Kapital koncowy to suma K0 oraz wszystkich
  odprowadzonych kwot, poczatkowy to K0.
• R ( K0 K0 r1 K0 r2... K0 rn K0 ) / K0.
• Stad R r1 r2 ... rn
• Poniewaz stopa zysku jest suma stóp z
  poszczególnych inwestycji, wiec srednia roczna
  stopa zwrotu musi czynic zadosc równosci
• rsa rsa ... rsa n rsa R
• czyli rsa R/n lub inaczej
  .

8
Porównanie sredniej arytmetycznej i sredniej
geometrycznej stopy zwrotu
9
Porównanie stóp zwrotu dla inwestycji
wieloetapowych
10
Efektywna roczna stopa zwrotu

• Niech r oznacza nominalna roczna stope zwrotu
  oferowana przez bank, w którym w ciagu roku
  dokonuje sie n kapitalizacji . Wtedy efektywna
  roczna stopa zwrotu wynosi

11
Realna roczna stopa zwrotu

• Def. 6. Realna roczna stopa zwrotu nazywamy
  liczbe mierzaca wzgledny przyrost wartosci
  nabywczej pieniadza w okresie jednego roku.
• Niech K oznacza poczatkowy koszt standardowego
  koszyka dóbr, f roczna stope inflacji, re -
  efektywna roczna stope zwrotu zas rr - realna
  roczna stopa zwrotu. Koszt koszyka po roku wynosi
  K(1f) .
• Kwota K po rocznej inwestycji wzrosla do K(1
  re). Zatem po roku mozna nabyc K(1 re)/ K(1f)
  standardowych koszyków. Poniewaz przed rokiem
  moglismy nabyc 1 koszyk wiec przyrost wartosci
  nabywczej rr wynosi
• (38)

12
Realna roczna stopa zwrotu

• Po dodaniu 1 do obu stron równania otrzymujemy
  tzw. wzór Fischera
• (39)

13
Stopa zwrotu ponad zysk wolny od ryzyka

• Przyklad. Niech roczna stopa zysku wolnego od
  ryzyka wynosi 8. Inwestor gieldowy osiagnal w
  ciagu roku zysk 12 . O ile procent wiecej
  zarobil inwestor gieldowy od inwestora nie
  podejmujacego ryzyka ? Zakladajac kwote
  poczatkowa K dla obu inwestycji, odpowiedz na
  pytanie daje liczba
• Jest to sytuacja analogiczna do tej, przy
  stopie realnej (porównanie z wzorem (38)). Przy
  oznaczeniach r - stopa zwrotu z inwestycji, rw-
  stopa zysku wolnego od ryzyka otrzymujemy wzór na
  stope zwrotu r ponad zysk wolny od ryzyka
•  (40)

14
Wartosc biezaca netto (NPV)net present value

• Inwestycje finansowa traktujemy jako ciag
  nakladów i dochodów (przeplywów finansowych),
  znanych co do wielkosci i momentów wystapienia.
• Def. Wartosc biezaca netto inwestycji to suma
  zdyskontowanych nakladów i dochodów z inwestycji
  przy ustalonej stopie dyskontowej.
• Przy zalozeniu, ze aktualizacja jest
  przeprowadzona w oparciu o model oprocentowania
  wykladniczego, wartosc tego wskaznika obliczamy
  ze wzoru
• (41)

15
Wartosc biezaca netto

• Ci - i-ty przeplyw finansowy, ti czas od
  przeplywu zerowego do i - tego, mierzony liczba
  okresów bazowych, r stopa dyskontowa w okresie
  bazowym. Okres bazowy moze byc rokiem, kwartalem,
  miesiacem, itp.
• Dodatnie Ci oznaczaja dochód, ujemne wydatek.
  Kolejnosc wydatków i dochodów jest dowolna. Na
  ogól przeplyw C0 jest ujemny (wydatek).

16
Wartosc biezaca netto / szczególny przypadek

• Przy jedynym nakladzie dokonanym na poczatku wzór
  przyjmuje postac
• (42)
• gdzie I oznacza wielkosc poczatkowego nakladu, Ci
  sa w tym przypadku dodatnie.

17
NPV szczególny przypadekmodyfikacja
18
Wartosc biezaca netto

• Uwaga 1. Jezeli wartosc wskaznika NPV jest
  dodatnia oznacza to, ze inwestycja jest
  oplacalna. Przy ujemnej wartosci tego wskaznika
  inwestycje uwazamy za nieoplacalna.
• Uwaga 2. Jezeli dane sa dwie inwestycje o tym
  samym NPV, to korzystniejsza jest ta, która
  angazuje mniejszy kapital.

19
Wartosc biezaca netto (NPV)

• Przyklad 1. Czy warto zainwestowac 1500 w
  przedsiewziecie, które przyniesie za rok 100 ,
  po dwóch latach 200 , po trzech 300 , po
  czterech 400 i po pieciu 500 , jezeli roczna
  stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi w tym
  okresie 6 ?
• Korzystajac ze wzoru (42) otrzymujemy
• Oceniajac inwestycje na podstawie NPV,
  stwierdzamy, ze jest ona nieoplacalna.

20
Wartosc biezaca netto (NPV) / interpretacja

• Z wyzej otrzymanych równosci mamy takze
• Otrzymana równosc (w aspekcie zasady
  równowaznosci dlugu i splat, definiujacej
  wielkosc kredytu) interpretujemy nastepujaco
• kwota 1214,69 powinna wygenerowac dany ciag
  wplywów przy rocznej stopie w wys. 6 . Jest to
  bowiem kwota kredytu, która przynosi bankierowi
  od dluznika wymienione dochody w odpowiednich
  latach (pozyczka udzielona przez bankiera jest
  dla niego inwestycja).
• Inwestujac 1500 by uzyskac wymienione wyzej
  przyplywy przeplacamy wiec az 285,31 .

21
Wartosc biezaca netto (NPV)

• Wniosek.
• Jezeli NPV 0, to inwestycja jest tak samo
  oplacalna jak lokata bankowa o oprocentowaniu
  rocznym równym stopie dyskontowej uzytej do
  obliczenia NPV, przy rocznej kapitalizacji
  odsetek.
• Jezeli NPV gt 0, to inwestycja jest bardziej
  oplacalna niz lokata bankowa, jezeli natomiast
  NPV lt 0, to jest mniej oplacalna.

22
Zaleznosc wskaznika NPV od stopy dyskontowej

• Przyklad. Inwestycja 800 zl przynosi po roku
  wplyw w wysokosci 100 zl a w nastepnych latach
  odpowiednio 150, 200, 250, 300 zl. Oblicz NPV
  tej inwestycji przy stopie dyskontowej 5 .
• Zbadamy, jak wskaznik NPV zalezy od stopy
  dyskontowej

23
Obliczenie wskaznika NPV w arkuszu kalkulacyjnym
24
Zaleznosc NPV od stopy dyskontowej dla rozwazanej
inwestycji
25
Zaleznosc wskaznika NPV od stopy dyskontowej
dla inwestycji o duzych przeplywach róznych
znaków

• Przyklad 2. Inwestycja w wysokosci 1 mln zl
  przynosi po roku wplyw w wysokosci 3,6 mln zl w
  nastepnym roku strate 4,31 mln a rok pózniej zysk
  1,716 mln zl.
• Zbadamy zaleznosc wskaznika NPV od stopy
  dyskontowej

26
(No Transcript)
27
Wartosc biezaca netto (NPV)podsumowanie

• Zalety wskaznika
• latwosc w obliczeniu
• jednoznacznosc (przy ustalonej stopie
  dyskontowej)
• mianowanie w uzytych w przeplywach jednostkach
  monetarnych
• Wady
• zaleznosc od skali inwestycji (pomnozenie
  nakladów i dochodów przez liczbe skutkuje zmiana
  NPV)
• zaleznosc od wyboru stopy dyskontowej (nietrafny
  wybór stopy moze zmienic znak wskaznika)

28
Wewnetrzna stopa zwrotu (IRR)internal rate of
return

• Def. Wewnetrzna stopa zwrotu ciagu przeplywów
  finansowych C0, C1 , C2 ,...,Cn jest taka stopa
  procentowa, przy której wartosc biezaca netto tej
  inwestycji jest równa zeru, czyli takie r, ze
• (43)
• Wzór (43) jest równaniem wzgledem r, stopnia tn.
  Niektóre Ci sa dodatnie, niektóre ujemne. Musza
  wystapic przeplywy róznych znaków,
• t00.

29
IRR - szczególny przypadek, jedyny naklad I
dokonany na poczatku, Ci dodatnie.
30
IRR - szczególny przypadek (modyfikacja), jedyny
naklad I dokonany na poczatku, Ci nieujemne
31
Jednoznacznosc rozwiazania równania
korespondujacego z równaniem definiujacym IRR

• TW. Jezeli strumien c0 , c1,..., cn , przeplywów
  spelnia warunki c0 lt 0, pozostale przeplywy sa
  nieujemne, przynajmniej jeden jest dodatni, to
  istnieje jednoznaczne rozwiazanie równania
• c0 c1x c2 x2 ... cnxn 0

32
Jednoznacznosc rozwiazania równania
korespondujacego z równaniem definiujacym IRR

• Dowód f(x) c0 c1x c2 x2 ... cnxn
• g(x) c1x c2 x2 ... cnxn
• Z zalozen o ci wynika, ze g jest rosnaca dla
  nieujemnych argumentów oraz g(x)gt0 dla xgt0
  .Funkcja f jest ciagla f(0)lt0 . Wykres f jest
  przesunieciem w dól wykresu funkcji rosnacej g,
  ma wiec jeden punkt wspólny z osia OX, po jej
  dodatniej stronie.

33
Wewnetrzna stopa zwrotu / przyklad

• Przyklad 1. Bank udzielil pozyczki w kwocie 800
  zl. Dluznik splaci po roku 100 zl, po dwóch
  latach 120, po trzech 200 zl, po czterech 250 zl,
  po pieciu 300 zl. Jaka jest wewnetrzna stopa
  zwrotu tej inwestycji dla banku ?
• Szukana stopa jest rozwiazaniem równania
• Jest to równanie 5 tego stopnia. Jedynym jego
  pierwiastkiem jest liczba 6,69 (z dokl. do
  setnej).

34
Wewnetrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligacje
zerokuponowa

• Przyklad 2. Zerokuponowa obligacja
  dziesiecioletnia o wartosci nominalnej 100 zl
  jest sprzedawana po 60 zl. Jaka wewnetrzna stope
  zwrotu ma inwestycja w ta obligacje?
• Rozwiazaniem równania
• Stopa IRR jest w tym przypadku równiez srednia
  roczna stopa zwrotu z tej inwestycji (wzór (33))

35
Wewnetrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligacje
kuponowa

• Przyklad 3. Obligacja kuponowa o cenie sprzedazy
  1000 zl generuje 11 co miesiecznych wyplat po 20
  zl oraz dwunasta w wys. 1020 zl. Jaka jest
  wewnetrzna stopa zwrotu z tej inwestycji w ujeciu
  miesiecznym?
• Nalezy rozwiazac równanie 12 tego stopnia
• Okazuje sie, ze r 2 jest jego rozwiazaniem.
  Jest to tzw. stopa rentownosci obligacji

36
IRR - uwagi

• 1. Z dwóch inwestycji lepsza jest ta, która ma
  wyzszy IRR
• 2. Równanie (43) moze miec kilka rozwiazan.
• ( Dany jest przeplyw kapitalów - 1000 ,
  3600 ,
• - 4310 , 1716 w rocznych odstepach
  czasowych. Liczby 10, 20 , 30 spelniaja
  równanie (43) dla tego przeplywu kapitalu.
• 3. Jezeli wystepuje tylko poczatkowy naklad, to
  IRR jest wyznaczona jednoznacznie.
• 4. Inwestycja jest oplacalna, jezeli jej IRR
  przewyzsza stope procentowa wolna od ryzyka (np.
  oprocentowania lokat bankowych), jezeli zas jest
  od niej mniejsza, to inwestycja jest
  nieoplacalna.

37
IRR - podsumowanie

• Zalety
• brak wrazliwosci na skale inwestycji
• porównywalnosc z innymi miernikami efektywnosci
  inwestycji (stopa efektywna, stopa rentownosci
  obligacji)
• pelnienie roli okresowej efektywnej stopy zwrotu
• Wady
• wskaznik IRR (w wielu przypadkach) mozliwy do
  obliczenia tylko metodami numerycznymi
• niejednoznacznosc (równanie (43) moze posiadac
  wiecej niz jedno rozwiazanie)

38
Stopy zwrotu z inwestycji o wielu przeplywach,
bez reinwestycji

• Niech inwestycja I przynosi wplywy Ci po uplywie
  ti okresów bazowych. Stopa zysku z inwestycji
• Zatem

39
Stopa zwrotu z inwestycji bez reinwestycji
(modyfikacja)

• Niech inwestycja I przynosi w kolejnych latach
  przyplywy finansowe c1 ,..., cn . Wtedy stopa
  zwrotu R z inwestycji dana jest wzorem

40
Srednia okresowa stopa zwrotu rs gdy ostatni
przeplyw nastapil po tn okresach
41
Przyklad A. Roczna stopa zwrotu z inwestycjibez
reinwestowania wplywów
42
Reinwestowanie przy stalej stopie procentowej r

• Uzyskane w czasie trwania inwestycji wplywy
  inwestujemy bezzwlocznie uzyskujac stala okresowa
  stope zwrotu r
• Obliczymy stope zwrotu z inwestycji i srednia
  okresowa stope zwrotu przy reinwestowaniu wplywów

43
Reinwestowanie wplywów przy stopie r

• Inwestujac kazdy wplyw przy stopie procentowej r,
  w momencie ostatniego wplywu otrzymujemy kwote
• Oznaczajac jak poprzednio- stope zwrotu z calej
  inwestycji przez R otrzymujemy

44
Zewnetrzna stopa zwrotu ERR

• Inwestycja trwa tn lat zatem srednia roczna stopa
  zwrotu rs spelnia równanie (rs nosi nazwe
  zewnetrznej stopy zwrotu)

45
ERR (external rate of return)
46
Stopa zwrotu z inwestycji i srednia okresowa
stopa zwrotu przy reinwestowaniu wplywów
(modyfikacja)

• Stopa zwrotu
• Srednia okresowa stopa zwrotu - rs (ERR)

47
Wplywy inwestowane sa az do momentu ostatniego
wplywu przy stopie rocznej w wysokosci 1 oraz
rocznej kapitalizacji
48
(No Transcript)
49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
Roczna stopa zwrotu (kolor niebieski) a stopa
reinwestycyjna (zielony)
52

• Dla pewnej wartosci stopy reinwestycyjnej
  wystepuje równosc z okresowa (np. roczna) stopa
  zwrotu z inwestycji
• Okazuje sie, ze taka wartosc stopy
  reinwestycyjnej jest równa wewnetrznej stopie
  zwrotu (IRR)

53
Reinwestowanie wplywów przy stopie r IRR(wtedy
ERR IRR)
54
Uwzglednienie kosztu kapitalu

• Przyklad 1. Jednorazowa inwestycja 1000 zl
  przyniosla po roku dochód 1200 zl. Inwestycja
  pochodzila z kredytu o stopie 12. Jaka byla
  stopa zwrotu dla tej inwestycji ?
• Inwestor musial zwrócic bankowi 1120 zl. Zysk
  wyniósl 80 zl. Stopa zwrotu 80/1000 8.
• Przyklad 2. Jednorazowa inwestycja 1000 zl
  przyniosla po 3 latach dochód 1200 zl. Inwestycja
  pochodzila z kredytu o rocznej stopie 4.
  Obliczymy roczna stope zwrotu inwestora.
• Inwestor musial zwrócic bankowi kwote
  10001,043 1124,86 zl. Zysk wyniósl 75,14 zl.
  Stopa zwrotu z inwestycji 75,14/1000 7,514.
  Stopa roczna to 1,07514(1/3)-12,444

55
Stopa zwrotu z inwestycji i srednia okresowa
stopa zwrotu przy reinwestowaniu wplywów stala
stopa r, oraz uwzgledniajac koszt kapitalu

• Niech inwestycja I, która jest kredytowana
  okresowa stopa rk przynosi w kolejnych okresach
  przyplywy finansowe c1 ,..., cn, które sa
  reinwestowane przy stopie r
• Stopa zwrotu z inwestycji

56
Stopa zwrotu z inwestycji i srednia okresowa
stopa zwrotu przy reinwestowaniu wplywów stala
stopa r, oraz uwzgledniajac koszt kapitalu

• Srednia okresowa stopa zwrotu - rs

57
Roczna stopa zwrotu przy uwzglednieniu kosztu
kapitalu (8)
58
Roczna stopa zwrotu przy uwzglednieniu kosztu
kapitalu (10)
59
Roczna stopa zwrotu przy uwzglednieniu kosztu
kapitalu (14)
60
Roczna stopa zwrotu (os Y) a koszt kapitalu (os
X) przy stopie reinwestycyjnej 12
61
Roczna stopa zwrotu a koszt kapitalu przy stopie
reinwestycyjnej 10, koszt kapitalu os OX
62
Stopa reinwestycyjna IRR koszt
kapitaluwynik roczna stopa (ERR) 0
63
Stopa reinwest. lt IRR, IRR koszt
kapitalu,wynik roczna stopa (ERR) - ujemna
64
Stopa reinwest. gt IRR, IRR koszt
kapitaluwynik roczna stopa (ERR) - dodatnia