Tema 3

1
Tema 3

• Las preferencias del consumidor y la función de
  utilidad

2
Cestas de consumo

• Los objetos que elige el consumidor se denominan
  cestas de consumo
• Éstas consisten en una lista completa de los
  bienes y servicios a disposición del consumidor

3
Las preferencias

• Las preferencias de un consumidor ordenan las
  cestas de consumo según su atractivo
• Utilizaremos el signo ? para indicar que una
  cesta se prefiere estrictamente a otra (x1,x2)
  ?(y1,y2) quiere decir que (x1,x2) es
  estrictamente preferida a (y1,y2)
• Para abreviar a veces denominaremos la cesta
  (x1,x2) como la cesta X y la cesta (y1,y2) como
  la cesta Y

4
Las preferencias

• Si un consumidor es indiferente entre dos cestas
  utilizamos el símbolo
• (x1,x2) (y1,y2) señala que la cesta (x1,x2) es
  indiferente a (y1,y2)
• Si el individuo prefiere una de las dos cestas o
  es indiferente entre ellas decimos que prefiere
  débilmente la (x1,x2) a la (y1,y2) y escribimos
  (x1,x2) ? (y1,y2)

5
Supuestos sobre las preferencias

• Completas suponemos que es posible para el
  consumidor comparar dos cestas cualesquiera
• Transitivas Si (x1,x2) ? (y1,y2) y (y1,y2) ?
  (z1,z2), suponemos que (x1,x2) ? (z1,z2). En
  otras palabras. Si el consumidor piensa que la
  cesta X es tan buena como la Y y que la Y es al
  menos tan buena como la Z, piensa que la X es al
  menos tan buena como la Z

6
Supuestos sobre las preferencias

• La transitividad es un requisito para que la
  elección del consumidor esté bien definida
• Supongamos que no se cumple. Por ejemplo, si
  tenemos (x1,x2) ? (y1,y2) y (y1,y2) ? (z1,z2) y
  además tuviéramos que (z1,z2) ? (x1,x2)
• Entonces no queda claro cuál es su elección, ya
  que independientemente de la elección siempre
  habría una cesta que es preferida a la elegida

7
Las curvas de indiferencia

• Representa las cestas que son indiferentes entre
  sí
• La transitividad implica que las curvas de
  indiferencia no pueden cortarse

8
Las curvas de indiferencia
I2
x2
I1
x
y
z
x1
9
Las curvas de indiferencia

• Tenemos tres cestas la X, Y y la Z. Z e Y
  pertenecen a curvas de indiferencia diferentes.
  La X se encuentra en la intersección de las dos
  curvas de indiferencia
• Como pertenecen a curvas de indiferencia
  diferentes Z e Y no pueden ser indiferentes.
  Supongamos que Y es preferida estrictamente a Z

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Las curvas de indiferencia

• Según la definición de curvas de indiferencia
  tenemos que X es indiferente a Z y a Y
• La transitividad implicaría que Z e Y son
  indiferentes, lo cual es una contradicción

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Sustitutivos perfectos

• Si un consumidor está siempre dispuesto a
  sustituir un bien por otro a una tasa constante
  entonces los bienes son sustitutivos perfectos
• La tasa de sustitución no es necesariamente igual
  a 1. Ejemplo botella de 50cl de agua y botellas
  de 1 litro agua
• Las C.I. son líneas rectas

12
Sustitutivos perfectos
Coca-cola
Ejemplo botellas de 1L de coca-cola y de 1L de
fanta. El consumidor está indiferente entre
ambas. La tasa de sustitución es 1
10
CI2
8
CI1
Fanta
8
10
13
Sustitutivos perfectos
Coca-cola
Ejemplo botellas de 1L de coca-cola y de 0.5L
fanta. La tasa de sustitución es 0.5
5
CI2
CI1
4
Fanta
8
10
14
Complementarios perfectos

• Si el individuo consume siempre los bienes 1 y 2
  en proporciones fijas, entonces dichos bienes son
  complementarios perfectos
• Las C.I. tienen forma de L
• Ej Al consumidor le gusta tomar 1 churro (bien
  1) con cada taza chocolate (bien 2)

15
Complementarios perfectos
Tazas chocolate
Las cestas (5,5), (5,9) y (9,5) contienen5
tazas completas asi que todas ellas son
igualmente preferidas
45o
9
5
CI1
Churros
5
9
16
Complementarios perfectos
Tazas chocolate
Dado que las cestas (5,5), (5,9) y (9,5)
contienen 5 tazas completas, cada una de ellas es
menos preferida a la cesta (9,9) que contiene 9
tazas completas
45o
9
CI2
5
CI1
Churros
5
9
17
Saciedad

• Si una cesta es globalmente estrictamente
  preferida a cualquier otra cesta, entonces
  constituye un punto de saciedad o de máxima
  felicidad
• Cuanto más lejos esté el consumidor de esta
  cesta, menor será su bienestar y por tanto,
  estará situado en C.I. más bajas

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Saciedad
Bien 2
Punto de saciedad
Bien 1
19
Saciedad
Bien 2
Mejor
Mejor
Punto de saciedad
Mejor
Bien 1
20
Saciedad
Bien 2
Mejor
Mejor
Punto de saciedad
Mejor
Bien 1
21
Males

• Un mal es un producto que disgusta al consumidor
• Para aceptar que aumente su consumo de un mal hay
  que compensarle con un aumento de un bien, de
  forma que las CI tienen pendiente positiva
• Ejemplos el ruido, la suciedad, la delincuencia,
  el trabajo (!)

22
Males
mal
bien
23
Bienes neutrales

• Si una mayor cantidad de consumo de un bien
  proporciona la misma satisfacción a una cantidad
  menor, el bien en cuestión es un bien neutral.
• Ejemplos
• - Cualquier otro bien que no sea dinero para un
  avaro (Montgomery Burns en Los Simpson).
• - Gemelos para alguien que no use camisas

24
Bienes neutrales
Bien neu- tral
bien
25
Bienes discretos

• Un bien es infinitamente divisible si puede ser
  adquirido en cualquier cantidad, por ejemplo, el
  agua y el queso
• Un bien es discreto si se compra en unidades
  enteras, por ejemplo, aviones, barcos y neveras

26
Bienes discretos

• Supón que el bien 2 es infinitamente divisible
  (gasolina) mientras que el bien 1 es un bien
  discreto (aviones). Cómo son las curvas de
  indiferencia en este caso?

27
Bienes discretos
Las curvas de indiferencia son un conjunto de
puntos discretos
Gas-olina
Aviones
0
1
2
3
4
28
Preferencias regulares

• Monótonas cuanto más mejor
• Convexas el conjunto de las cestas débilmente
  preferidas a una cesta es convexo. Esto implica
  que se prefieren las medias a los extremos

29
Preferencias regulares

• Las dos condiciones anteriores implican que las
  curvas de indiferencia tienen pendiente negativa
  y son funciones convexas
• Las cestas que están encima (por debajo) de una
  curva de indiferencia son mejores (peores) que
  las cestas en la curva de indiferencia

30
Preferencias regulares
X2
Cestas mejores
Cestas peores
X1
31
Preferencias regulares -- convexidad.
x
x2
La cesta media z es preferida a las cestas
extremas x e y
xy
x2y2
z
2
2
y
y2
x1y1
x1
y1
2
32
Preferencias no-convexas
x2
Mejor
La combinación z es peor que las cestas extremas
x e y
z
y2
x1
y1
33
Preferencias no convexas
x2
Mejor
La combinación z es peor que las cestas extremas
x e y
z
y2
x1
y1
34
Pendiente de las curvas de indiferencia

• La pendiente de una curva de indiferencia es su
  relación marginal de sustitución (RMS)
• Cómo podemos calcularla?

35
Relación marginal de sustitución
x2
RMS en x es la pendiente de la curva de
indiferencia en x
x
x1
36
Relación marginal de sustitución
x2
RMS en x es lim Dx2/Dx1 Dx1 ? 0
dx2/dx1 en x
x
Dx2
Dx1
x1
37
Relación marginal de sustitución
dx2 RMS dx1 La RMS en x es la tasa a la que
el consumidor está dispuesto a intercambiar el
bien 2 por una pequeña cantidad del bien 1
x2
x
dx2
dx1
x1
38
RMS y las curvas de indiferencia
Bien 2
Con 2 bienes una curva de indiferencia con
pendiente negativa implica que RMS lt 0
Nejor
Peor
Bien 1
39
RMS y las curvas de indiferencia
Bien 2
Con un bien y un mal la curva de indiferencia
tiene pendiente positiva, por lo que RMS gt 0
Mejor
Peor
Mal 1
40
RMS y las curvas de indiferencia
Bien 2
La RMS siempre aumenta con x1 (se vuelve menos
negativa) cuando las preferencias son
estrictamente convexas
MRS - 5
MRS - 0.5
Bien 1
41
Función de utilidad

• Una función de utilidad es un instrumento para
  asignar números a todas las cestas de forma que
  las que se prefieran tengan un número más alto
  que las que no se prefieran

42
Función de utilidad

• Una función de utilidad U(x) representa una
  relación de preferencia
• si y sólo si x x
  U(x) gt U(x) x x
  U(x) lt U(x) x x
  U(x) U(x).

p
p
43
Función de utilidad

• La utilidad es un concepto ordinal (se refiere a
  un ranking) y no cardinal (no conlleva
  información sobre la intensidad de las
  preferencias)
• Ej. si U(x) 6 y U(y) 2, entonces la cesta x
  es mejor que la cesta y. Sin embargo, no indica
  que x sea tres veces mejor que y

44
Función de utilidad

• Considera las cestas (4,1), (2,3) y (2,2). Supón
  que (2,3) (4,1) (2,2)
• Podemos representar estas preferencias asignando
  a estas cestas números que respeten el orden de
  preferenciae.g. U(2,3) 6 gt U(4,1) U(2,2)
  4
• Estos números representan diferentes niveles de
  utilidad. Los números concretos asignados son
  irrelevantes

p
45
Curvas de indiferencia

• Las preferencias se pueden representar a través
  de una función de utilidad o un mapa de C.I.
• Una C.I. contiene cestas que proporcionan la
  misma satisfacción
• Misma satisfacción ? mismo nivel de utilidad
• Todas las cestas situadas en una misma C.I.
  tienen el mismo nivel de utilidad

46
Curvas de indiferencia

• Las cestas (4,1) y (2,2) están en una C.I. con
  nivel de utilidad U 4
• Pero la cesta (2,3) está en una C.I. con nivel de
  utilidad U 6.
• En un diagrama de C.I., podríamos representar
  dicha información de la siguiente manera

47
Curvas de indiferencia
x2
(2,3) gt (2,2) (4,1)
U º 6
U º 4
x1
48
Funciones de utilidad

• Existen infinitas funciones de utilidad capaces
  de representar una cierta relación de preferencia
• Si U(.) representa las preferencias y V(.) es
  otra función que satisface
• V(x) gt V(y) si y sólo si U(x) gt U(y)
• para todo x, y, entonces V(.) también representa
  dichas preferencias

49
Funciones de utilidad

• Supón que U(x1,x2) x1x2 representa una relación
  de preferencia. Considera de nuevo las cestas
  (4,1), (2,3) y (2,2).
• Dado que U(x1,x2) x1x2, entonces U(2,3) 6
  gt U(4,1) U(2,2) 4
• Por lo tanto, (2,3) (4,1) (2,2)

p
50
Funciones de utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Define V U3
• Entonces V(x1,x2) x13x23 y V(2,3) 216 gt
  V(4,1) V(2,2) 64
• De nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).
• V establece el mismo ranking que U sobre todas
  las cestas y, por tanto, representa las mismas
  preferencias

p
51
Funciones de utilidad
p

• U(x1,x2) x1x2 (2,3) (4,1)
  (2,2).
• Define W 2U - 10.
• Entonces W(x1,x2) 2x1x2 10, por lo que
  W(2,3) 2 gt W(4,1) W(2,2) -2. De
  nuevo,(2,3) (4,1) (2,2).
• W establece el mismo ranking que U y V y
  representa las mismas preferencias

p
52
Funciones de utilidad

• Supongamos que U es una función de utilidad que
  representa una relación de preferencias y que f
  es una función estrictamente creciente
• Entonces V f(U) también representará la misma
  relación de preferencia
• Decimos que f(U) es una transformación monótona
  creciente de U

53
Funciones de utilidad

• Cualquier función de utilidad de la forma
  U(x1,x2) C x1a x2bcon C gt 0, a
  gt 0 y b gt 0 se denomina Cobb-Douglas
• Por ejemplo, U(x1,x2) x11/2 x21/2 (aquí C1, a
  b 1/2)
• V(x1,x2) 5 x1 x23 (C5, a1, b3)

54
Preferencias Cobb-Douglas
x2
Todas las C.I. son hipérbolas, siendo los
ejes sus asíntotas
x1
55
Funciones de utilidad

• Considera la función de utilidadV(x1,x2) x1
  x2
• Para representar las preferencias, dibujamos
  varias C.I. asignando diferentes niveles de
  utilidad.
• Por ejemplo, todas las cestas que cumplen x1
  x2 8 o x2 8 - x1
• conllevan la misma utilidad

56
Sustitutivos perfectos
x2
x1 x2 4
12
x1 x2 8
8
x1 x2 12
4
V(x1,x2) x1 x2.
4
8
12
x1
57
Sustitutivos perfectos
x2
Las C.I. son líneas rectas paralelas (con la
misma pendiente)
12
Al individuo le interesa únicamente la cantidad
total consumida
8
4
V(x1,x2) x1 x2
4
8
12
x1
58
Sustitutivos perfectos

• En general las preferencias por sustitutivos
  perfectos se pueden representar por la función de
  utilidad
• En esta expresión a y b miden el valor que
  tienen los bienes para el consumidor.

V(x1,x2) a x1bx2
59
Funciones de utilidad

• Considera ahora
• W(x1,x2) minx1,x2Qué forma
  tienen las C.I.?

60
Complementarios perfectos
x2
45o
W(x1,x2) minx1,x2
minx1,x2 8
8
minx1,x2 5
5
3
minx1,x2 3
3
5
8
x1
61
Complementarios perfectos
x2
45o
Todas tienen forma de L con los
vértices situados en una línea imaginaria
construida desde el origen
8
5
3
3
5
8
x1
62
Complementarios perfectos

• En general, la forma general de la función de
  utilidad que describe las preferencias de
  complementarios perfectos es
• Aquí a y b son dos números que indican las
  proporciones que se consumen de cada bien

W(x1,x2) minax1, bx2
63
Preferencias cuasilineales

• Una función de utilidad con la forma
• U(x1,x2) f(x1) x2es lineal en
  x2 y se denomina cuasi-lineal (por ser
  parcialmente lineal).
• Por ejemplo, U(x1,x2) 2x11/2 x2

64
Preferencias Cuasilineales
x2
Las C.I. son traslaciones verticales de una única
C.I.
x1
65
Utilidad marginal

• La utilidad marginal con respecto al bien i es la
  variación obtenida en la utilidad al variar única
  y marginalmente la cantidad consumida del bien
  i

66
Utilidades marginales

• Por ejemplo, si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

67
Utilidad marginal

• Si U(x1,x2) x11/2 x22 entonces

68
Relación marginal de sustitución

• La RMS es, gráficamente, la pendiente de la C.I.
  Cómo se calcula?
• A lo largo de la C.I., la utilidad permanece
  constante
• Introduzcamos una pequeña variación en el consumo
  del bien 1 ?x1.
• Debido a ello, la utilidad varía en
• ?U UM1 ?x1

69
Relación marginal de sustitución

• Variamos ahora la cantidad del bien 2 de forma
  que el individuo esté ahora indiferente entre la
  cesta original y la nueva cesta (x1 ?x1, x2
  ?x2)
• ?U UM1 ?x1 UM2 ?x2 0

70
Relación marginal de sustitución

• Podemos reescribir esta expresión como
• ?x2/?x1 -UM1/UM2
• -(?U/?x1)/(?U/?x2)
• Esta es la pendiente de la CI y, por lo tanto, la
  RMS

71
Relación marginal de sustitución

• Supongamos U(x1,x2) x1x2. Entonces

• Así

72
Relación marginal de sustitución
x2
U(x1,x2) x1x2
8
RMS(1,8) - 8/1 -8 RMS(6,6) - 6/6
-1.
6
U 36
U 8
1
6
x1
73
Relación marginal de sustitución

• Cualquier transformación monótona de una función
  de utilidad nos proporciona otra función de
  utilidad que representa las mismas preferencias
• Qué le ocurre al valor de la RMS cuando
  aplicamos una transformación monótona a la
  función de utilidad?

74
Relación marginal de sustitución

• Si V f(U) donde f es una función estrictamente
  creciente en U, entonces aplicando la regla de la
  cadena

• La RMS no se altera

75
Relación marginal de sustitución

• Para U(x1,x2) x1x2, la RMS - x2/x1
• La transformamos en V U2 i.e. V(x1,x2)
  x12x22. Cuál es la RMS asociada a V?
• La misma que la asociada a U

76
Relación marginal de sustitución

• Las transformaciones monótonas sí alteran las
  utilidades marginales
• Las transformaciones monótonas no alteran el
  cociente de las utilidades marginales y por lo
  tanto, no alteran la RMS
• Es una nueva forma de ver que las preferencias
  son las mismas