Tema 3

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ Departamento de Ingeniería Electrónica

• Tema 3
• Técnicas de Modulación Analógica
• MODULACIÓN
• EN FRECUENCIA

Vigencia Mayo 2011
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Sumario

1. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia
   instantánea.
2. Modulación de fase (PM) y Modulación de
   frecuencia (FM).
3. Determinación de la frecuencia instantánea para
   una señal modulada en fase y en frecuencia.
4. Expresiones complejas para una señal modulada en
   fase y en frecuencia.
5. Análisis de una señal modulada en fase y en
   frecuencia cuando la modulante es una señal
   senusoidal.
6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en
   frecuencia.

3
Sumario

1. Modulación de frecuencia de banda estrecha o
   angosta NBFM .
2. Modulación de frecuencia de banda ancha WBFM.
3. Generación de señales moduladas en ángulo.
4. Demodulación de FM.
5. Potencia asociada a una señal con modulación de
   ángulo.
6. Sistema de comunicación con modulación angular en
   presencia de ruido.

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Frecuencia de una señal periódica y frecuencia
instantánea

• Una señal periódica es aquella que se repite cada
  T segundos.
• Por ejemplo, se puede representar por la
  expresión

La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).
5
Frecuencia Instantánea de una señal

• Es de interés conocer el valor que toma la
  frecuencia de la señal f(t) en un instante dado
  de tiempo ti. El valor que toma la frecuencia de
  la señal en un instante de tiempo ti , se conoce
  como frecuencia instantánea de la función f(t).
• Veamos dos ejemplos

Cambios bruscos de Frecuencia
Cambios graduales de Frecuencia
6
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• Sea la ecuación

Si en la ecuación anterior se considera que el
ángulo de fase no es constante sino que puede ser
considerado como una función del tiempo, se tiene
Al hacer variar f(t) en esta ecuación, se tendrá
una dependencia del tiempo t de la fase de la
ecuación. Se tiene en este caso una señal
modulada en ángulo.
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Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• Consideremos la ecuación

donde kp es constante y m(t) es la modulante,
entonces la señal modulada es
Fase de la señal
Esta ecuación representa una señal modulada en
fase y se denota como gPM(t)
8
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• El índice de modulación de la señal modulada en
  fase se puede determinar como

El índice de modulación representa la máxima
desviación de fase que puede darse a la función
gPM(t) y está dado por el valor máximo de la
amplitud de la modulante por la constante kP
9
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• Considere ahora que ?(t) está dado como la
  integral de la función m(t), entonces se tiene

Como vimos previamente
Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene
Esta ecuación representa la señal modulada en
frecuencia y se denota por gFM(t)
10
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• El índice de modulación de la señal modulada en
  frecuencia se determina por

El índice de modulación está dado por el máximo
valor positivo de la integral de la modulante por
el factor de escala kf
11
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

• En resumen, se tiene que las ecuaciones que
  definen las técnicas de modulación angular y su
  índice de modulación son

Técnica Ecuación Índice de Modulación
MODULACIÓN EN FASE
MODULACIÓN EN FRECUENCIA
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Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia

• Considérese la ecuación

Si se toma que ?(t)wct ?(t), se tiene
La frecuencia instantánea de la ecuación
anterior, se define como
Esta ecuación expresa que la frecuencia
instantánea es igual a la variación respecto al
tiempo del ángulo de la función
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Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia

• Aplicando este criterio a la modulación en fase
  se tiene

Esta ecuación permite determinar la frecuencia
instantánea para una señal modulada en fase
14
Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia
Representación gráfica de una señal modulada en
FASE.
Cuando la modulante va de a su derivada es
positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la
modulante va de a - su derivada es negativa,
siendo la frecuencia mínima.
15
Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia

• De igual forma para la modulación en frecuencia
  se tiene

Esta ecuación permite determinar la frecuencia
instantánea para una señal modulada en frecuencia.
16
Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia
Representación gráfica de una señal modulada en
FRECUENCIA
Cuando la modulante tiene su máximo su
frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene
su máximo - su frecuencia es mínima.
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Frecuencia instantánea para una señal modulada en
fase y en frecuencia
Conclusión Al comparar las dos ecuaciones se
establece que en la modulación de fase, la
frecuencia instantánea varía linealmente con la
derivada de la señal modulante, mientras que en
la modulación en frecuencia, la frecuencia
instantánea varía linealmente con la señal
modulante.
Modulación de Fase
Modulación de Frecuencia
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Expresiones complejas para señales moduladas en
fase y en frecuencia
La ecuación para Modulación de fase se puede
escribir utilizando la notación compleja, de esta
manera
Para la Modulación de frecuencia, se tiene
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Análisis de una señal modulada en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Hasta ahora, el análisis matemático para la
modulación en fase y en frecuencia se ha
realizado en función de una señal modulante
genérica, llamada Se considerará a
continuación para el análisis, una señal
particular y a través de ella, realizar el
análisis espectral correspondiente que permita
tener una clara idea de cómo se presenta el
espectro de la señal modulada en fase y en
frecuencia.
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Análisis de una señal modulada en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Considérese, que la señal modulante es
Reemplazando por la modulante dada, se tiene
Como
Entonces reemplazando, se tiene
Ecuación de PM cuando la modulante es una onda
senusoidal
21
Análisis de una señal modulada en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Considérese, que la señal modulante es
Como
Reemplazando la modulante, tiene
Al resolver la integral se tiene
22
Análisis de una señal modulada en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Ya que el máximo valor de ?m es
La expresión final es
Ecuación de FM cuando la modulante es una señal
senusoidal
23
Índice de modulación para modulación en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Según se vió, la frecuencia instantánea de una
señal modulada está dada por
Si consideramos como modulante la señal
entonces
24
Índice de modulación para modulación en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Factorizando, se tiene
El valor máximo que puede tomar el miembro
derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto
(Ec. 1)
Sea,
y como
Integrando se tiene
25
Índice de modulación para modulación en fase y en
frecuencia con modulante senusoidal
Reemplazando en la Ec. 1, se tiene
Finalmente
La ecuación anterior permite determinar la
desviación de frecuencia angular de la señal
modulada en frecuencia cuando la modulante es una
señal senusoidal. Representa el índice de
modulación para FM
26
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM
Por naturaleza la FM posee un ancho de banda
amplio, lo cual se constituye en una limitación
cuando la disponibilidad de ancho banda es
limitada. Sin embargo, la excelente relación
señal a ruido que posee la hace interesante aún a
pesar de la limitación anterior. Se han
realizado análisis y estudios que permiten
reducir el ancho de banda de esta técnica de
modulación, logrando salvar esta limitación.
27
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM

La ecuación de una señal modulada en frecuencia
es
(Ec. 2)
En forma compleja se puede escribir
También la Ec. 2 puede ser reescrita usando
identidades trigonométricas como
(Ec. 3)
28
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM

Al observar la ecuación 3 se evidencia su
complejidad para resolverla. Para simplificarla
se harán algunas consideraciones. En primer
lugar, considérese que los valores de ? son
pequeños, entonces
Los valores de ?f usuales para las
consideraciones anteriores, pueden ser tomados
como menores a 0,2 , es decir, ?f lt 0,2.
Apliquemos este criterio en la ecuación 3.
29
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM

Así, se tiene que
(Ec. 4)
La ecuación 4 representa la ecuación para la
modulación de frecuencia de banda angosta y se
denota como NBFM, donde ?f es el índice de
modulación para FM.
Señal Portadora
Señal Modulante
Índice de Modulación
En ausencia de modulante, solo está presente la
portadora de frecuencia wc llamada frecuencia de
reposo. En caso contrario, la frecuencia de la
señal portadora se desvía por encima y por debajo
de wc en un valor dado según ?f
30
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM


Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se
tiene
(Ec. 5)
Consideremos una señal modulada en amplitud
Escrita en forma fasorial, se tiene
(Ec. 6)
31
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM


Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas
tomando como referencia el término de
cada una.
32
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM

• Realizando una comparación entre los resultados
  para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente
• Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y
  su ancho de banda es igual a 2wm.
• En AM la modulación se agrega en fase con la
  portadora mientras que en NBFM se hace en
  cuadratura.
• La modulación AM proporciona variación de
  amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM
  da origen a una variación de fase con muy pequeño
  cambio de amplitud.

33
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM



El desfase se puede determinar a partir del
triángulo resultante del diagrama fasorial como
Angulo de Desfase
La desviación de la frecuencia instantánea
respecto a la frecuencia de la portadora es
34
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM



La desviación de la frecuencia instantánea
respecto a la frecuencia de la portadora es
Análisis Para evitar variaciones en la amplitud
de una señal modulada en frecuencia, se debe
restringir el valor de ?.
35
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM



Según el diagrama fasorial b, la magnitud del
vector resultante se puede determinar como
(Ec. 7)

• Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga
  constante, se deben hacer algunas
  consideraciones.
• Si , como
  sen2wmt1 entonces ?2 lt 1, que nos dice que los
  valores de ? deben ser menores que uno.
• En la práctica ?lt 0,3, es una buena aprox.

36
Modulación de Frecuencia de banda angosta NBFM



Con las consideraciones anteriores, se garantiza
que la amplitud de una señal modulada en
frecuencia sea constante, es decir
NOTA Para que esto se cumpla, el índice de
modulación debe ser muy pequeño.
37
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Considérese una modulante senusoidal
(Ec. 7)
De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como
(Ec. 8)
38
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede
expandir en una serie exponencial de Fourier,
resultando
en donde
Si se considera que
(Ec. 9)
39
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


La solución de la integral de la ecuación 9 se
obtiene por medio de la función de BESSEL de
primera clase y se indica como , donde n
es el orden y ? es el argumento. Los valores de
se obtienen a partir de las tablas de
BESSEL La función de BESSEL de primera clase y
enésimo orden se denota como
40
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Teoría de las Funciones de BESSEL La expresión
matemática para determinar los valores de cada
uno de los componentes espectrales, está definida
como
Usando la función de BESSEL, se puede expresar
una ecuación en otra forma. Veamos
El argumento de la primera ecuación, es una
función trigonométrica, en la segunda es una
función trigonométrica con argumento simple.
41
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Friedrich Wilhelm Bessel
Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente
para trabajar con las funciones de Bessel no hay
que hacer todos los engorrosos cálculos. Al
contrario, es muy simple empleando las tablas ya
calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedade
s de las funciones de BESSEL
Elemento Descripción
Son de valor real
Para n PAR
Para n IMPAR
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Generación de Señales Moduladas en Angulo
Índice de Modulación
Representa la Portadora de la señal Modulada
Desde J1 Hasta J15 representan las bandas
laterales


Funciones de Bessel para valores de n 0 a n
15
FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL FUNCIÓN DE BESSEL
Portadora Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN ORDEN DE LA FUNCIÓN
J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15
0 1,00
0,1 1,00 0,05
0,2 0,99 0,10
0,25 0,98 0,12 0,01
0,5 0,94 0,24 0,03
0,75 0,86 0,35 0,07 0,01
1 0,77 0,44 0,11 0,02
1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01
2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01
2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02
3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01
4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02
5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01
6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01
7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01
8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01
9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01
10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01
11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01
12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03
13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07
14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12
15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18
Para este índice de modulación la portadora se
hace CERO !
A mayor índice de Modulación, mayor numero de
Bandas Laterales
43
Graficas de las Funciones de Bessel


Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,
obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas
para valores de n 0 a n 4
44
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Retomando el análisis, la ecuación puede ser
reescrita como y empleándola en la expresión
general para FM
45
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Analizando la expresión Se puede concluir que
el ancho de banda de una señal modulada en
frecuencia por una onda seno, tiene un número de
bandas laterales infinito. Pero según la tabla
de Bessel solo algunas bandas laterales tienen
magnitud significativas y en consecuencia el
ancho de banda se hace finito.
46
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Sea la
ecuación de una señal modulada en
frecuencia Una banda lateral es
significativa si tiene magnitud igual ó mayor al
1 de la magnitud de la portadora no
modulada. Esto es
47
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.
Los valores de Jn(?) son despreciables para n gt
?. Entonces el ancho de banda para FM se puede
obtener tomando la última banda lateral
significativa en n ?, esto es
Para una forma de onda general, se emplea la
regla de Carlson para determinar el ancho de
banda
48
Modulación de Frecuencia de banda ancha WBFM


Análisis espectral para una señal modulada en
frecuencia para diferentes índices de modulación.
49
Generación de Señales Moduladas en Angulo


CONSIDERACIÓN PRELIMINAR Según los análisis
anteriores, la modulación angular se produce
cuando se hace variar el ángulo de fase de una
señal portadora de frecuencia wc en dependencia
de la amplitud de una modulante. El tipo de
modulación obtenida PM o FM depende de que se use
la señal modulante directamente o se utilice como
modulante la señal después de ser integrada.
50
Generación de Señales Moduladas en Angulo


Generación de WBFM y NBFM. CASO DE NBPM Si
partimos de la ecuación analicemos como
generarla. Una alternativa se muestra en la
figura siguiente
51
Generación de Señales Moduladas en Angulo


Generacion de NBPM
El generador de portadora cuya salida es
desfasada en 90 grados para se multiplicada
linealmente con la señal f(t) de entrada
(modulante) señal senwmt. El índice de modulación
se puede controlar por medio de kp. Finalmente la
señal de salida de modulador balanceado con
ganancia ajustada se suma con la señal portadora
sin desfase alguno para dar como resultado la
señal de FM de banda estrecha.
52
Generación de Señales Moduladas en Angulo


Generación de NBFM y NBPM. CASO DE NBFM Si se
integra la función antes de ingresar al sistema,
se tiene NBFM , según vimos. Entonces para
generar NBFM se tiene
53
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo


Método Directo
El proceso de demodular una señal de FM involucra
un método tal que permita convertir las
variaciones de frecuencia en una variación de
voltaje. Este sistema debe tener una
característica de transferencia lineal, llamado
discriminador de frecuencia. Un circuito con esta
característica lo constituye el diferenciador
ideal con función de transferencia jw.
54
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

Método Directo

La señal de FM es
(Ec. 48)
Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del
diferenciador ideal se tiene como salida
(Ec. 49)
55
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

Método Directo

La señal de FM es
(Ec. 49)
La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en
frecuencia como en amplitud. La envolvente de la
ecuación 49 es
(Ec. 50)
De la ecuación 50, se concluye que la envolvente
es siempre positiva, es decir, toma valores por
encima del eje del tiempo, lo cual permite usar
detección de envolvente para obtener la señal
m(t) (la modulante).
56
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo


El esquema de un demodulador de FM es entonces
La ecuación de salida supone la amplitud
constante. Si la amplitud no fuese constante,
sino una función del tiempo, se tendría como
envolvente
Esta ecuación indica que la salida del detector
de envolvente es proporcional a A(t)m(t). De
acuerdo al resultado de la ecuación 50 es
necesario mantener la amplitud constante.
57
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo


La amplitud se puede mantener constante si se usa
un limitador de pasabanda, el cual posee un
limitador seguido de un filtro pasabanda. La
expresión de la señal modulada en frecuencia
general tiene la ecuación siguiente
Frecuencia Fundamental
Frecuencia Armónicas superiores
58
Demodulación de Señales Moduladas en Angulo


El limitador hace la amplitud constante y el
filtro pasa banda extrae la señal modulante
ubicada en wc .
59
Potencia promedio de señales moduladas en ángulo


Sea y
Ec. 51
Considerando la ortogonalidad de la función
coseno, el valor cuadrático medio de la suma es
igual a la suma de los valores cuadráticos
medios, por lo cual
pero
60
Potencia promedio de señales moduladas en ángulo


Obteniendo finalmente que
El valor cuadrático medio de cada banda lateral
es
El valor cuadrático medio es igual a la potencia
promedio si se considera como resistencia R
1 Ohm. Las bandas laterales o la portadora se
pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo
el índice de modulación ? apropiado.
61
Estimación de Potencia en portadora y las bandas
laterales


Análisis espectral para una señal modulada en
frecuencia para diferentes índices de modulación.
62
Fin del Tema 4