ALGORITHMIQUE

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ALGORITHMIQUE

• STAGE
• LA REUNION

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INTRODUCTION

• CONTENU DU STAGE
• Apporter aux enseignants un premier éclairage sur
  la notion dalgorithme.
• OBJECTIFS PEDAGOGIQUES
• Rendre les enseignants à même dintégrer
  lalgorithmique dans la gestion du nouveau
  programme de Seconde.

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POURQUOI LALGORITHMIQUE?

• Une réflexion a été menée sur lenseignement des
  mathématiques aujourdhui, qui a notamment abouti
  à lintroduction de lalgorithmique en Seconde.
• - Tout dabord, les mathématiques fondamentales
  ont permis lémergence des mathématiques
   appliquées  qui elles-mêmes ont profondément
  modifié la pratique des chercheurs (par le biais
  du calcul automatisé).
• - Ensuite, nous baignons dans un univers
  technologique sous-tendu par la présence
  dalgorithmes.
• - Enfin, au niveau purement pédagogique,
  lalgorithmique permet de travailler la logique.
• Il a donc semblé nécessaire de faire prendre
  conscience aux élèves de leur utilisation
  permanente dans la vie courante.

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INTENTIONS

• Il nest nullement question, de transformer les
  enseignants de mathématiques en ingénieurs
  programmeurs ayant une connaissance exhaustive
  des langages de programmation, ni de faire
  uniquement de la programmation aux élèves.
• La mise en œuvre dalgorithmes est supposée être
  une des diverses activités mathématiques de
  lélève.
• Lenjeu est de rendre cette activité naturelle
  pendant le cours de mathématiques quand elle est
  appropriée au type de problème posé.
• Le présent travail tente de permettre aux
  enseignants de pouvoir aborder plus facilement la
  notion dalgorithmique pour lintégrer à la
  gestion du nouveau programme de Seconde.

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DE LALGORITHME AU PROGRAMME

• Le fait que lon passe de lécriture de
  lalgorithme à lécriture du programme permet de
  vérifier concrètement que lalgorithme
  fonctionne, et surtout de lutiliser pour
  résoudre le problème posé.
• En effet, lintroduction de lalgorithmique
  devrait apparaître lors de la résolution de
  problèmes pour lesquels les démarches habituelles
  sont malcommodes ou peu performantes par exemple
  dans le cas de répétition dune tâche, ou dans le
  cas dun traitement trop long pour être envisagé
   à la main .
• On peut donner comme exemples justificatifs, la
  recherche du pgcd de très grands nombres, le tri
  dun grand nombre de valeurs numériques, les
  simulations sur des échantillons de grandes
  tailles

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PLAN DE LEXPOSE

• I. LALGORITHMIQUE
• II. LALGORITHMIQUE AU LYCEE
• III. LE LOGICIEL ALGOBOX
• IV. ACTIVITES ALGORITHMIQUES

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PARTIE 1 LALGORITHMIQUE
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GENERALITES SUR LALGORITHMIQUE
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QUEST-CE QUUN ALGORITHME?

• Le mot algorithme vient du nom de lauteur
  persan
• Al-Khuwarizmi (né vers 780 - mort vers 850)
  qui a écrit en langue arabe le plus ancien traité
  dalgèbre abrégé de calcul par la complétion et
  la simplification dans lequel il décrivait des
  procédés de calcul à suivre étape par étape pour
  résoudre des problèmes ramenés à des équations.
• But dun algorithme
• résolution dun problème algébrique, numérique ou
  décisionnel.
• Algorithme
• suite dinstructions qui, une fois exécutée,
  conduit à un résultat.
• Intérêt
• explicite clairement les idées de solutions d'un
  problème indépendamment d'un langage de
  programmation.
• Le programme sert ensuite à automatiser un calcul.

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PHILOSOPHIE GENERALE

• Suivre le paradigme du  diviser pour régner .
• Être méthodique et rigoureux dans lanalyse puis
  la résolution du problème.
• Manier la structure logique propre au langage de
  programmation.
• Faire des vérifications de contrôle systématiques.

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PROPRIETES ESSENTIELLES DUN BON ALGORITHME

• Lisibilité respecter lindentation
• Correction ou justesse
• Faible complexité, en temps et/ou en espace.

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COMPLEXITE DUN ALGORITHME

• En temps nombre dinstructions élémentaires,
  nécessaires à sa réalisation
• En espace nombre doctets utilisés, nécessaires
  à sa réalisation
• La complexité est  complexe  à calculer. Elle
  doit être au pire polynomiale de degré inférieur
  ou égal à 4.
• Le calcul de la complexité dun algorithme ne
  sera pas abordé ici.

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PROBLEME FONDAMENTALTERMINAISON DUN ALGORITHME

• Théorème
• Il nexiste pas de méthode universelle pour
  décider si un algorithme termine.
• Autrement dit
• Il ny aucun algorithme résolvant le problème
• Entrée Un algorithme A
• Sortie Le booléen indiquant si A termine ou non

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CONTENU DUN ALGORITHME
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ECRITURE

• Les algorithmes présentés ici sont écrits en
• - Langage naturel
• - Pseudo-code, proche du langage naturel.
• Les programmes présentés ici sont écrits avec le
• Logiciel ALGOBOX.
• Les programmes extraits des textes officiels
  peuvent être écrits dans dautres langages.

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STRUCTURE DUN ALGORITHME

• DECLARATION des variables
• ENTREE, avec éventuellement initialisation des
  variables 
• TRAITEMENT, dont on décrit la procédure, c'est le
  corps de lalgorithme 
• SORTIE, avec un affichage de ce que lon souhaite.

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INSTRUCTIONS

• Ce sont les 4 catégories dordres utilisées en
  programmation
• AFFECTATION de variables
• ENTREE / SORTIE ou Lecture / Ecriture
• TESTS
• BOUCLES

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LES VARIABLES

• Elles servent à stocker des informations.
• DECLARATION de variable
• la machine réserve la place mémoire nécessaire
  à cette variable.
• Variable n, i en Entier

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3 TYPES DE VARIABLES

• Type numérique type entier, réel,, et aussi,
  type monétaire, type date.
• Type alphanumérique type caractère, et type
  chaîne, séquence de caractères classés dans
  lordre lexicographique.
• En pseudo-code, une chaîne de caractères est
  notée entre guillemets.
• Type booléen on y stocke uniquement les valeurs
  logiques Vrai et Faux.

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TABLEAU ou VARIABLE INDICEE

• Tableau
• Désigne une suite finie déléments de même type
  au moyen dune unique variable.
• En dimension 1, on peut lappeler liste.
• En général, on commence lindexation à 0.
• Déclaration Tableau Cases(7, 7) en Numérique.
• Tableaux dynamiques
• Il arrive que lon ne connaisse pas à lavance le
  nombre déléments du tableau.
• On a la possibilité de déclarer un tableau sans
  préciser au départ son nombre déléments.
• On pourra fixer ce nombre dans un second temps
  via une instruction de redimensionnement  Redim.
• Ces tableaux sappellent des tableaux dynamiques.
• Tant quon na pas précisé son nombre déléments,
  le tableau est inutilisable.
• Exemple Pour le calcul dune moyenne, si on ne
  connaît pas le nombre de notes à saisir,
• Tableau Note() en Numérique
• Variable nb en Numérique
• Début
• Ecrire Combien y a-t-il de notes à saisir ?
• Lire nb
• Redim Note(nb-1)

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AFFECTATION

• Le programme attribue à la variable une valeur,
  ou une expression.
• Une expression est un ensemble de valeurs reliées
  par des opérateurs logiques et équivalente à une
  seule valeur.
• Instruction
• Affecter (ou Donner) à A la valeur 3x5,
• ou, A ? 3x5 .

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ENTREES ET SORTIES

• ENTREES 
• Instruction Lire ou Saisir la machine lit ce
  qui est tapé à lécran.
• SORTIES 
• Instruction Ecrire ou Afficher  la machine
  écrit le résultat à lécran.

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TRAITEMENT

• 3 types de traitements pouvant être imbriqués les
  uns dans les autres
• TRAITEMENT SEQUENTIEL
• TRAITEMENT CONDITIONNEL
• TRAITEMENT ITERATIF

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TRAITEMENT SEQUENTIEL

• Les instructions y sont exécutées les unes après
  les autres par ordre dapparition.
• Faire         instruction 1        instructio
  n 2         ...         instruction n.

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EXEMPLE VALEUR DUNE FONCTION DE 2 VARIABLES EN
UN POINT

• Déclaration
• Variable x, y, E, en Réel
• Entrée
• Ecrire    Entrer la valeur de x 
• Lire x
• Ecrire    Entrer la valeur de y 
• Lire y
• Traitement
• Affecter à E la valeur 3x2y²-5
• Sortie
• Ecrire  La valeur de f(xy)3x2y²-5 est, E

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TRAITEMENT CONDITIONNEL LES TESTS

• Pour représenter une alternative ou une
  instruction conditionnelle, on utilise un test.
• Forme classique Forme
  simplifiée
• SI condition ALORS SI condition ALORS
• Instructions 1
  Instructions
• SINON FINSI
• Instructions 2
• FINSI

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CONDITIONS et TESTS

• Une condition est basée sur une comparaison.
• Opérateurs , ltgt,lt,gt,lt,gt.
• Conditions composés
• 5ltxlt8 correspond à 5ltx ET xlt8
• Pour connaître la valeur de vérité dune
  condition composée, on utilise les tables de
  vérité issues de la logique.

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THEOREME TRANSFORMATION DE MORGAN

• Toute condition composée faisant intervenir
  lopérateur ET, peut être exprimée de manière
  équivalente avec un opérateur OU, et
  réciproquement
• Si A ET B Alors Equivaut à Si NON A OU NON B
  Alors
• Instructions 1
  Instructions 2
• Sinon
  Sinon
• Instructions 2
  Instructions 1
• Finsi
  Finsi

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EXEMPLE DE TESTS IMBRIQUES AFFICHAGE RESULTAT
EXAMEN

• Déclaration
• Variable Moy en Réel
• Entrée
• Ecrire Entrer la moyenne de lélève 
• Lire Moy
• Traitement et Sortie
• Si Moy gt 10 Alors
• Ecrire Admis
• Sinon
• Si Moy lt 9 Alors
• Ecrire Refusé
• Sinon
• Ecrire Rattrapage
• Finsi
• Finsi

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TRAITEMENT ITERATIF LES BOUCLES

• Il y en a de 2 types
• ITERATIONS INCONDITIONNELLES
• ITERATIONS CONDITIONNELLES

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ITERATIONS INCONDITIONNELLES

• Boucle  PourSuivant 
• Série dinstructions exécutée en boucle dune
  valeur initiale de la variable entière, appelée
  itérateur, à une valeur finale (incrémentation de
  1 implicite).
• Pour Variable K de val initiale à val finale
• Instructions
• K Suivant

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EXEMPLE SOMME DES CARRES DES n PREMIERS ENTIERS

• Déclaration
• Variable n, S, i en Entier
• Entrée
• Ecrire  Entrer la valeur de n 
• Lire n
• Affecter à S la valeur 0
• Traitement
• Pour i de 1 à n
• Affecter à S la valeur S i²
• i Suivant
• Sortie
• Ecrire   La somme des carrés de n premiers
  entiers est , S

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ITERATIONS CONDITIONNELLES

• Boucle  Tant que 
• Série dinstructions exécutée en boucle tant
  qu'une condition donnée reste remplie.
• TantQue condition
• Instructions
• FinTantQue

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EXEMPLECONTRÔLE DE SAISIE

• Déclaration
• Variable Rep en Caractère
• Entrée
• Ecrire  Voulez-vous un café? 
• Lire Rep
• Traitement
• TantQue Rep ltgt  O  ET Rep ltgt  N 
• Lire Rep
• FinTantQue
• Sortie
• Ecrire  saisie acceptée 

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REMARQUE  PourSuivant  cas particulier de
 TantQue 

• Quand le programmeur connaît le nombre
  ditérations à lavance, il utilise la boucle
   PourSuivant  plutôt que la boucle
   TantQue .
• Pour Truc de 1 à 15
• Instructions
• Truc Suivant
• Equivaut à
• Affecter à Truc la valeur 0
• TantQue Truc lt15
• Affecter à Truc la valeur Truc1
• Instructions
• FintantQue

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FONCTIONS PREDEFINIES

• Les fonctions numériques
• Sinus, Cos,,
• Ent donne la partie entière dun nombre,
• Mod ou Reste donne le reste de la division
  euclidienne de 2 entiers,
• Alea fournit un nombre aléatoire supérieur ou
  égal à 0 et strictement inférieur à 1.

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FONCTIONS PREDEFINIES(suite)

• Les fonctions texte
• Len(chaîne) donne le nombre de caractères de la
  chaîne
• Et bien dautres
• Les fonctions de conversion entre chaînes de
  caractères et variables numériques, et
  inversement.

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POUR ALLER PLUS LOIN
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LES ALGORITHMES DE TRI

• De nombreuses méthodes existent pour trier les
  éléments dune liste, par exemple pour les
  classer dans lordre croissant.
• Parmi les tris  élémentaires 
• Le tri par sélection
• Aller chercher le plus petit élément du vecteur
  (à n éléments) pour le mettre en premier, puis
  repartir du second élément, et aller chercher le
  plus petit élément du vecteur (à n-1 éléments)
  pour le mettre en second, et ainsi de suite.
• La complexité du tri par sélection est en O(n2)
  dans tous les cas, le nombre d'exécutions de la
  boucle interne étant n(n-1)/2.

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EXEMPLECOMPARAISONS ET ECHANGES
Vecteur à trier 45 122 12 3 21
échange 45 3
vecteur 3 122 12 45 21
échange 122 12
vecteur 3 12 122 45 21
échange 122 21
vecteur 3 12 21 45 122
Aucun échange Vect trié 3 12 21 45 122
41
LE TRI PAR SELECTION

• STRUCTURE DE LALGORITHME
• Boucle principale
• Prendre comme point de départ le 1ier élément,
  puis le 2ième, jusquà lavant dernier.
• Boucle secondaire
• A partir du point de départ mouvant, rechercher
  jusquà la fin du tableau quel est le plus petit
  élément. Une fois trouvé léchanger avec le point
  de départ.

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ALGORITHME EXPLIQUE

• On considère un vect0N
• Boucle principale  le point de départ se décale
  à chaque tour.
• Pour i de 0 à N-1
• On considère provisoirement que t(i) est le plus
  petit élément
• Affecter à Posmini la valeur i
• On examine tous les éléments suivants
• Pour j de i 1 à N
• Si t(j) lt t(Postmini) Alors
• Affecter à Posmini la valeur j
• Finsi
• j Suivant
• A cet endroit, on sait maintenant où est le plus
  petit élément, on fait la permutation.
• Affecter à Temp la valeur t(Posmini)
• Affecter à t(Posmini) la valeur t(i)
• Affecter à t(i) la valeur Temp
• On a placé correctement lélément numéro i, on
  passe au suivant.
• i Suivant
• animation tri sélection

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DAUTRES METHODES DE TRI

• Le tri à bulles
• Son principe consiste à comparer deux à deux les
  éléments ei et ei1 dun tableau et à effectuer
  une permutation si ei gt ei1.
• On continue à trier jusquà ce quil ny ait plus
  de permutation.
• La complexité dans le pire des cas du tri bulle
  est en O(n2).
• Animation
• Le tri fusion (tri avancé)
• On divise en deux moitiés la liste à trier (en
  prenant par exemple un élément sur deux pour
  chacune des listes).
• On trie chacune dentre elles
• On fusionne les deux moitiés obtenues pour
  reconstituer la liste triée.
• La complexité dans le pire des cas du tri fusion
  est en log2(n).

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EXEMPLE
1 liste à trier 16 13 5 12 19 2
2 listes (16 5 19) (13 12 2)
4 listes (16 19) (5) (13 2) (12)
6 listes (16) (19) (5) (13) (2) (12)
4 listes triées (16 19) (5) (2 13) (12)
2 listes triées (5 16 19) (2 12 13)
1 liste triée 2 5 12 13 16 19
Animation
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LES FICHIERS

• Ils servent à stocker des informations de manière
  permanente entre deux exécutions de programme.
• Les problèmes inhérents aux fichiers ne seront
  pas traités ici
• Types de fichiers
• Types daccès
• Organisation

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PROCEDURES ET FONCTIONS

• Lanalyse fonctionnelle consiste à découper un
  problème en sous problèmes plus simples.
• Les sous-procédures et les fonctions sont des
  sous-programmes indépendants qui permettent de
  résoudre une partie du problème, et qui sont
  intégrés au programme principal.
• Une fonction est une sous-procédure particulière
  qui renvoie une valeur en sortie.

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FONCTION

• L'entête d'une fonction spécifie son nom, le type
  de son résultat, et les paramètres (avec leurs
  types).
• Ces paramètres sont considérés comme les données
  transmises à la fonction, c'est à dire l'entrée
  de la fonction.
• Il peut arriver que la fonction modifie les
  paramètres lors de l'exécution de son algorithme.
  
• On parle alors de paramètre modifiable il
  s'agit à la fois d'une entrée et d'une sortie de
  l'algorithme.
• La déclaration d'un tel paramètre dans la liste
  des paramètres se fait, en pseudo-code de la
  manière suivante
• fonction nom(nom_param InOut type_param)type_résu
  ltat

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PROGRAMME FAISANT INTERVENIR UNE FONCTION

• Décrire un algorithme qui calcule le maximum de 4
  réels saisis au clavier. Le calcul du maximum de
  deux valeurs sera décrit par une fonction.
• fonction calculerMax2Réels(x réel, y
  réel)réel
• début
• si x gt y
• alors res lt- x
• sinon res lt- y
• finsi
• retourne res
• fin
• Algorithme
• début
• maximum lt- lire()
• pour i de 2 à 4 faire
• nombre lt- lire()
• maximum lt- calculerMax2Réels(nombre, maximum)
• finpour
• écrire(maximum)

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LA PROGRAMMATION RECURSIVE

• Elle consiste à créer des sous-programmes qui
  sappellent eux-mêmes.
• Exemple calcul de factorielle n n!
• Fonction Fact ( n en Numérique)
• Si n0 Alors
• Renvoyer 1
• Sinon
• Renvoyer Fact(n-1) n
• Finsi
• Fin Fonction

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THEOREME FONDAMENTAL

• Tout problème formulé en termes récursifs peut
  lêtre en termes itératifs, et inversement.
• Avantage du récursif très économique pour le
  programmeur.
• Inconvénient du récursif utilise beaucoup de
  variables temporaires.

51
RECHERCHES ACTUELLES EN ALGORITHMIQUE

• De nombreuses recherches et problèmes
  mathématiques sont en inter-relation avec les
  recherches en algorithmique.
• Celles-ci concernent la complexité en moyenne et
  de nombreuses applications en ingénierie comme
• la téléphonie mobile,
• le cryptage,
• la compression dimage et de son,
• les codes correcteurs,
• Internet,
• la recherche en bio-informatique sur
  lidentification et létude de codes dans les
  génomes et leur modélisation évolutive
  stochastique.
• De nombreux colloques concernent les recherches
  de pointe en algorithmique.

52
RECHERCHES ET COLLOQUES

• Août 2009 en Autriche Colloque sur
   Computational Topology in Image
  Context .Invariants topologiques et leurs
  applications calcul, groupes, optimisation
  dalgorithmes pour des application à limage,
  utilisation dinformation topologique dans les
  applications à limage, topologie discrète et
  calculatoire.
• Septembre 2009 en Italie Colloque de GAMES sur
  la conception et la vérification de programmes de
  jeu.
• GAMES est un réseau européen dont le but
  est la recherche et la formation sur la
  conception et la vérification des systèmes
  informatiques.
• Octobre 2009 à Fréjus Les Journées "Codage et
  Cryptographie"
• L'objet de ces journées nationales est de
  réunir la communauté scientifique française
  s'impliquant dans le codage, la cryptographie, et
  plus généralement la théorie de l'information.
• Novembre Décembre 2009 au Maroc La 5ième
  conférence internationale  Signal Image
  Technology Internet Based Systems  concernant
  les technologies du signal et de limage analyse
  et traitement de limage, authentification et
  codage des multimédia vidéo, traitement du
  signal, modélisation géométrique et
  reconstruction 3D.

53
RECHERCHES ET COLLOQUES

• Janvier Février 2010Journées Francophones des
  Langages Applicatifs organisées par l'INRIA,
  centrées sur l'approche fonctionnelle de la
  programmation, portent également sur les
  techniques et outils complémentaires qui élèvent
  le niveau de qualité des logiciels (systèmes
  d'aide à la preuve, réécriture, tests,
  démonstration automatique, vérification).
• Mars 2010 à Nancy Le 27ième colloque
  international  Theoretical Aspects of Computer
  Science , et qui traite des aspects théoriques
  de la science informatique algorithmes et
  structures de données, automates et langages
  formels, complexité, logique, et vérification.
• Mai 2010 au CIRM à Marseille Les Journées
  Nationales de Calcul Formel, calcul formel
  entendu au sens large comme algorithmiques à
  objets ou moyens mathématiques arithmétique
  exacte, arithmétique d'intervalles, théorie
  algorithmique des nombres, résolution des
  systèmes polynomiaux et applications, géométrie
  algébrique réelle, aspects formels en
  automatique, cryptologie et théorie des codes,
  aspects symboliques en géométrie algorithmique.

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RESSOURCES

• Actuellement, les principales ressources
  concernant la classe de seconde sont les
  documents officiels fournis par lInspection
  Générale
• - Le nouveau programme de la classes de seconde
• - Les documents  Ressources pour la classe de
  seconde  sur
• Lalgorithmique Les probabilités et
  statistiques Les fonctions Les notations et
  raisonnement mathématiques.
• Le site de mathématiques de lacadémie de la
  Réunion  maths.ac-reunion.fr  contient
  actuellement peu de ressources concernant
  lalgorithmique, il fournit toutefois un lien
  avec lancien site de mathématiques de la Réunion
   Icosaweb.ac-reunion.fr  qui nest plus
  actualisé mais qui contient des ressources très
  intéressantes en algorithmique.
• Les sites des IREM, en particulier celui de la
  Réunion, contiennent également des documents et
  des tutoriels.
• Les fichiers Power Point de ce stage seront mis
  en ligne.

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BIBLIOGRAPHIE

• Cours dalgorithmique et de programmation,
  Christophe Darmangeat, Université Paris 7.
•  Les bases de lalgorithmique  instructions et
  types élémentaires, Julp.
• Initiation à lalgorithmique, Denis Lapoire.
• Algorithme et Programmation, cours CNAM, Pascal
  Lowenerth.
• Cours dalgorithmique DEUG MIAS.Pierre Liardet.
• Site Internet http//lwh.free.fr/