Algorithmique et structures de donnes en C

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Algorithmique et structures de données en C
Cours 7
Les arbres généraux La recherche associative (1)
É. Delozanne, L2-S4-prog4, Paris 5,
2004-05 Elisabeth.Delozanne_at_math-info.univ-paris5.
fr http//www.math-info.univ-paris5.fr/delozanne/
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Cours n 7-1 Arbres généraux

• Le TDA ARBRE GÉNÉRAL
• définition
• représentation graphique
• représentation linéaire
• Mises en uvre des arbres (généraux)
• par tableau (étiquette père)
• par tableau et liste chaînée des fils
• par faux-pointeurs et liste chaînée des fils
• par pointeurs (nombre maxi de fils)
• par arbre binaire (Premier Fils, FrèreDroit)
• Équivalence avec les arbres binaires
• 
  

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Cours 7-2 Recherche associative (1)

• Recherche associative
• Le TDA dictionnaire
• Mise en uvre par vecteur caractéristique et par
  liste
• Cours n 8 Recherche associative (2)
• Mises en uvre arborescentes
• arbres binaires de recherche
• arbres équilibrés
• arbres lexicographiques
• Cours n 9 Recherche associative (3)
• Mise en uvre par table de hachage
• Conclusion sur la recherche associative

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Définition

• Définition récursive (et constructive)un arbre
  est la donnée
• d'une racine r
• et d'une liste (éventuellement vide) d'arbres
  disjoints appelés sous-arbres
• A lt r gt ou lt r, (A1, An) gt , Ai arbres
  disjoints
• Un arbre n'est théoriquement jamais vide il a
  au moins une racine(différence avec les arbres
  binaires)
• Arbre n-aire chaque nud a au plus n fils
• Représentation graphique et linéaire dun arbre

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Le TDA ARBRE GÉNÉRAL

• utilise le TDA ELEMENT
• primitives de construction
• dépendent de la représentation
• primitive de destruction
• primitives de consultation
• retournent l'étiquette, le premier fils, le
  frèreDroit
• primitives de test
• Est-une-feuille, est-fils-dernier-né
• Etc.

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Mise en uvre des arbres par tableau

• un arbre est un tableau qui contient l'étiquette
  d'un nud et l'étiquette de son père
• représentation économique en mémoire, utilisée
  si l'arbre n'est jamais modifié

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Arbres par liste des fils

• un arbre est la donnée
• de l'étiquette de sa racine
• de la liste de ses fils représentée
• par tableau,
• par pointeurs
• par curseurs

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Arbres par listes des fils tableau

• un arbre est un pointeur sur une structure
  composée de 2 champs
• un tableau de nuds
• indice de la racine dans le tableau
• un nud est une structure à deux champs
• l'étiquette de la racine
• la liste de ses fils
• la liste des fils est une liste simplement
  chaînée sans en-tête des indices dans le tableau
  des fils
• la liste des fils est un pointeur sur une cellule
  à deux champs
• un entier (l indice du noeud) dans le tableau
• un pointeur sur la cellule suivante

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Tableau de pointeurs sur liste des fils
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Arbres par liste des fils (pointeurs)

• un arbre est un pointeur sur une structure formée
  
• de l'étiquette de la racine
• et de la liste de ses fils
• une listes d'arbres est un pointeur sur une
  cellule composée
• d'un arbre
• et d'un pointeur sur la cellule suivante.

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Arbre par liste des fils
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TDA arbre par liste des fils (pointeurs)

• typedef struct cell
• struct arb cell
• struct cell suivant
• LISTEDARBRES
• typedef struct arb
• ELEMENT etiquette
• LISTEDARBRES listeDesFils
• ARBRE

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Arbres par tableau de pointeurs

• quand on connaît le nombre maximum de fils (n)
• un arbre est un pointeur sur une structure à n
  1 champs
• l' étiquette de la racine
• le premier sous-arbre, le deuxième... le nième

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Arbres généraux par arbre binaire

• représentation par premier fils et frère droit
• un arbre est représenté par une structure à trois
  champs
• l'étiquette de la racine
• le premier fils de la racine
• le frère droit de la racine
• tous les arbres n-aires peuvent être représentés
  par des arbres binaires

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Équivalence arbre général/arbre binaire
1
2
3
5
4
6
9
7
8
10
13
11
14
12
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Un autre exemple
17
Un autre
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Parcours des arbres généraux

• Équivalence entre les parcours selon la
  représentation

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Plan

• Arbres généraux
• Recherche associative dictionnaire (1)

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Recherche associative TDA dictionnaire (1)

• Recherche associative
• Le TDA dictionnaire
• Mise en uvre par vecteur caractéristique
• Mise en uvre par liste
• Cours n 8
• Mises en uvre arborescentes
• arbres binaires de recherche
• arbres équilibrés
• arbres lexicographiques
• Cours n 9
• Mise en uvre par table de hachage
• Conclusion sur la recherche associative

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Recherche associative introduction

• problème
• dans une collection d'éléments rechercher un
  élément de clé donnée
• exemples
• annuaire téléphonique
• dictionnaire
• vérificateur d'orthographe
• table des utilisateurs connectés
• table des identificateurs d'un programme
• contre-exemple
• base de données où la recherche est relationnelle

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Recherche associative opérations

• opération importante dans une recherche
  associative la comparaison des clés
• la recherche peut être
• positive la clé cherchée est présente
• (en combien d'exemplaires ?)
• négative la clé est absente
• la recherche peut retourner
• l'élément de clé recherchée / élément vide
• vrai / faux
• le nombre d'éléments de clé donnée
• la place où l'on a trouvé l'élément (ou celle où
  on s'attendait à le trouver)
• la collection peut être ordonnée ou non
• la collection peut être un ensemble
  (dictionnaire) ou non

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Le TDA dictionnaire (1)

• un ensemble d'éléments (sans répétition) où
  chaque élément est caractérisé par une clé
• utilise TDA ELEMENT et CLE
• primitives
• créer un dictionnaire vide et détruire un
  dictionnaire
• rechercher une clé dans un dictionnaire
• ajouter une clé dans un dictionnaire
• supprimer une clé du dictionnaire
• tester si le dictionnaire est vide
• opérations fréquentes
• énumérer les éléments du dictionnaire
• si l'ensemble est ordonné, trier le dictionnaire
  (Cf. cours n 8)
• fusionner des dictionnaires

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Recherche associative coûts

• quand le nombre d'éléments de la collection est
  élevé
• objectif complexité minimale pour les
  opérations
• de recherche,
• d'insertion
• et de suppression

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Recherche associative mises en uvre

• les coûts dépendent de la mise en uvre
• pas de mise en uvre miracle
• peu de données mises en uvre simples
• vecteur caractéristique
• Listes (Cf. TP2), listes triées
• collection est ordonnée mises en oeuvre
  arborescentes
• arbres binaires de recherche
• et variantes
• chaque clé est unique (dictionnaire)
• table de hachage

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Vecteur caractéristique (1)

• quand tous les éléments d'une collection C
  appartiennent à un même univers borné ? de N
  éléments
• on peut représenter C
• par un vecteur de booléens x ? C ltgt VB(x)
  vrai , B bijection de ? sur 1, N
• variante le vecteur contient le nombre
  d'occurrences de l'élément de la collection

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Vecteur caractéristique (2)

• opérations de type abstrait
• initialiser en o(N) for (i 0 i ltN Vi
  0, i)
• tester si vide en o(N) for (i 0 i ltN
  (! Vi ) i)
• ajouter (x, C) en o(1) VB(x) 1
• supprimer (x, C) en o(1) VB(x) 0
• rechercher(x, C) en o(1) return VB(x)
• on suppose que la bijection est en o(1)

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Vecteur caractéristique (3)

• Conclusion
• Très efficace
• insérer, rechercher, supprimer en o(1)
• si N (cardinal de l'ensemble des possibles) n'est
  pas trop grand par rapport à n ( cardinal de
  l'ensemble à représenter)
• s'il existe une bijection facile à calculer entre
  ? et 1, N
• Pas efficace
• si n ltlt Nle cardinal de l'ensemble à représenter
  est beaucoup plus petit que celui des possibles
• Inutilisable
• si ? est infini ou très grand

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Mise en uvre par des listes (1)

• Une collection est représentée par une liste de
  ses éléments
• Remarques on peut avoir plusieurs listes
  possibles puisque l'ordre n'a pas d'importance
• Représentations (Cf. les listes)
• tableaux
• cellules chaînées
• faux pointeurs

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Mise en uvre par des listes (2)

• opérations abstraites
• recherche(x, C)
• parcours séquentiel de la liste en comparant
  chaque élément à x arrêt dès que la comparaison
  est un succès ou épuisement de la liste
• en o(n) comparaisons
• ajouter(x, C) deux manières
• paresseuse
• on ne vérifie pas que x appartient à C
• en o(1) si
• prudente
• vérifier que x est absent
• en o(n)

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Mise en uvre par des listes (3)

• opérations abstraites (suite)
• supprimer(x, C) dépend
• si C est un ensemble
• si ajouter a été opération paresseuse
• de la représentation
• énumération
• parcours séquentiel de la liste(en o(n) mais on
  ne pourra jamais faire mieux)
• conclusion au moins une des trois opérations
  fondamentales est dans le pire des cas et en
  moyenne en o(n) ce qui est trop coûteux si n est
  grand

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Mise en uvre par des listes (4)

• cas particuliers
• recherche autoadaptative
• idée mettre les éléments les plus recherchés
  plutôt en début de liste (quand on connaît leur
  probabilité)
• représentation par cellules chaînées
• recherche dichotomique (liste triée)
• représentation par tableau et complexité en
  moyenne et dans le pire des cas en o(log n)
• mais représentation par tableau ne facilite pas
  les adjonctions et suppressions (en o(n))

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Mise en uvre par des listes (5)

• conclusion
• recherche en o(n) (pire des cas et moyenne)
• sauf recherche dichotomique (liste triée et
  représentation par tableau) en o(log n)
• insertion et/ou suppression en o(n)
• pour faire mieuxil faut des représentations plus
  sophistiquées
• arbres binaires de recherche
• table de hachage

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Auto-évaluation cours 7

• Quest-ce quun arbre général ?
• Quelles sont les différentes représentations dun
  arbre général ?
• Quelles sont les opérations de base du TDA
  dictionnaire ?
• Quels sont les avantages et les inconvénients des
  représentations par
• Vecteur caractéristique ?
• Liste ?