Cours d

1
Cours dAlgorithmique

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

2
Cours dAlgorithmique

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
3
Cours dAlgorithmique

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
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4
Cours dAlgorithmique
Bonne année !

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
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5
Cours dAlgorithmique
Bonne année !

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
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6
Cours dAlgorithmique
Bonne année !
Bonne année ...

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
Bonne année ! ! !
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7
Cours dAlgorithmique
Bonne année !
Bonne année ...
Bonne année ! ! !

• Programmation dynamique
• Problème du sac à dos.
• Négociant en sardines au port de Marseille.
• Problème de la plus longue sous-chaîne commune.
• Problème du plus court chemin.

Bonne année 2006 ! ! !
Bonne année ! ! !
Bonne année ! ! !
8
Les grandes lignes du cours

• Trier et chercher, recherche textuelle
• Listes et arbres
• Le back-track
• Arbres équilibrés
• Récursivité et induction sur la structure
• Divide and conquer
• Minimax, alpha-beta
• Dérécursion
• NP-complétude
• Logique de Hoare
• Programmation dynamique
• Complexité et calculabilité

9
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------
En français Programmation dynamique
! Abréviation classique DP Notion introduite
par Richard Bellman en 1957.
Principe Nous explicitons le TEMPS qui sera
linéaire, bi-dimensionnel,
10
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Introduction à la problématique.
• Considérons à nouveau la fonction Fibonacci

11
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Introduction à la problématique.
• Considérons à nouveau la fonction Fibonacci
• Le programme récursif est exponentiel en temps !
• Cest dû aux
• répétitions
• de calculs !

4
3
2
2
0
1
0
1
12
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?

13
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?

Nous utilisons au temps  t  ce que nous
avons pu calculer aux temps  t 1  et t
2 .
14
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
0
15
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
0
16
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
2
0
17
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
2
3
0
18
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
2
3
5
0
19
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
2
3
5
8
0
20
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Principe de la programmation dynamique
• Dites à quel moment vous ferez quel calcul ?
• Respectons le temps
• Complexité en temps linéaire !

0
1
2
3
4
5
6
t
fib
1
1
2
3
5
8
0
21
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Quelle fonction de temps ?
• Cest quoi ?

22
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Quelle fonction de temps ?
• Cest quoi ?
• Une fonction qui dit, en termes de létat du
  problème, à quel moment il va être résolu !
• Exemples fib ( t ) au temps  t ,
• prog( x , y ) au temps  2
  x y -5 .

23
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Quelle fonction de temps ?
• Cest quoi ?
• Une fonction qui dit, en termes de létat du
  problème, à quel moment il va être résolu !
• Exemples fib ( t ) au temps  t ,
• prog( x , y ) au temps  2
  x y -5 .
• Nimporte laquelle pour peu que
• nous ne répétions pas les calculs
• Ce nest pas interdit, mais fortement
  déconseillé !
• et que la fonction soit compatible avec les
  dépendances.

24
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Dépendances entre problèmes
• On parle aussi de  flot de données ou de
  contrôle.
• Le calcul  B  dépend du calcul  A  sil faut
  que
•  A  soit calculé avant  B  !

25
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Dépendances entre problèmes
• On parle aussi de  flot de données ou de
  contrôle.
• Le calcul  B  dépend du calcul  A  sil faut
  que
•  A  soit calculé avant  B  !
• Soit, parce que  A  a besoin de données
  produites par  B  --- flot de données !

26
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Dépendances entre problèmes
• On parle aussi de  flot de données ou de
  contrôle.
• Le calcul  B  dépend du calcul  A  sil faut
  que
•  A  soit calculé avant  B  !
• Soit, parce que  A  a besoin de données
  produites par  B  --- flot de données !
• Soit, parce quil faut respecter un ordre (par
  exemple
• imprimer  A  avant  B ).

27
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Dépendances entre problèmes
• On parle aussi de  flot de données ou de
  contrôle.
• Le calcul  B  dépend du calcul  A  sil faut
  que
•  A  soit calculé avant  B  !
• Soit, parce que  A  a besoin de données
  produites par  B  --- flot de données !
• Soit, parce quil faut respecter un ordre (par
  exemple
• imprimer  A  avant  B ).
• Soit, parce que  A  conditionne  B  ( si A
  alors B ) --- flot de contrôle !

28
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Dépendances entre problèmes
• On parle aussi de  flot de données ou de
  contrôle.
• Le calcul  B  dépend du calcul  A  sil faut
  que
•  A  soit calculé avant  B  !
• Soit, parce que  A  a besoin de données
  produites par  B  --- flot de données !
• Soit, parce quil faut respecter un ordre (par
  exemple
• imprimer  A  avant  B ).
• Soit, parce que  A  conditionne  B  ( si A
  alors B ) --- flot de contrôle !

Le respect des dépendances est obligatoire !
29
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• En fait, les dépendances comportent une notion de
  temporalité sous la forme de
• AVANT --- APRES
• DABORD --- ENSUITE

30
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• En fait, les dépendances comportent une notion de
  temporalité sous la forme de
• AVANT --- APRES
• DABORD --- ENSUITE
• La fonction de temps  f  dit de manière plus
  précise
• QUAND

31
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• En fait, les dépendances comportent une notion de
  temporalité sous la forme de
• AVANT --- APRES
• DABORD --- ENSUITE
• La fonction de temps  f  dit de manière plus
  précise
• QUAND
• La contrainte sur  f  dit que
• dès que  A  doit être avant  B  pour des
  raisons de dépendances, alors
• f ( A ) lt f ( B )

32
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• En fait, les dépendances comportent une notion de
  temporalité sous la forme de
• AVANT --- APRES
• DABORD --- ENSUITE
• La fonction de temps  f  dit de manière plus
  précise
• QUAND
• La contrainte sur  f  dit que
• dès que  A  doit être avant  B  pour des
  raisons de dépendances, alors
• f ( A ) lt f ( B )

 f  est alors dite  compatible avec les
dépendances .
33
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Larbre de dépendances de Fibonacci

4
3
2
2
1
1
1
0
0
34
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Larbre de dépendances de Fibonacci
• Sa projection sur un axe de temps

t
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
35
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Larbre de dépendances de Fibonacci
• Sa projection sur un axe de temps

t
4
4
3
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
36
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Larbre de dépendances de Fibonacci
• Sa projection sur un axe de temps

t
4
4
Compatibilité !
3
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
37
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Parfois, la programmation dynamique est
• la transformation dun problème de back-track ou
  divide-and-conquer
• avec un comportement temporel anarchique
• en un problème qui réalise les calculs une seule
  fois et lorsquil le faut !

38
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------

• Il y a une théorie derrière !
• Cadre général les modèles de décision
  multi-étages.
• Si certaines propriétés sont vérifiées, on peut
  transformer tout problème de ce modèle en un
  programme DP.
• Trop long et compliqué dans le contexte du cours.

39
Dynamic Programming------------------------------
-----------------------------------
U n e x e m p l e c o m p l e t S A C A
D O S ! ! !
40
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Problème du  sac à dos  !
• Ingrédients
• 1 sac à dos de capacité  C  (par exemple en
  kilos),
• n objets de O , , O
• de poids strictement positifs respectifs p
• et de bénéfices strictement positifs respectifs b
  .

n
1
i
i
41
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Problème du  sac à dos  !
• Ingrédients
• 1 sac à dos de capacité  C  (par exemple en
  kilos),
• n objets de O , , O
• de poids strictement positifs respectifs p
• et de bénéfices strictement positifs respectifs b
  .
• Recette
• Trouvez, sans dépasser la capacité, lensemble
  dobjets qui maximise le bénéfice.

n
1
i
i
42
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Trouvez lensemble  I  inclus dans 1 , , n
  tel que
• P ( I ) S p C

i
i e I
43
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Trouvez lensemble  I  inclus dans 1 , , n
  tel que
• P ( I ) S p C
• B ( I ) S b max ( B ( J ) )

i
i e I
i
i e I
44
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Trouvez lensemble  I  inclus dans 1 , , n
  tel que
• P ( I ) S p C
• B ( I ) S b max ( B ( J ) )
• A priori, il faut se comparer à un grand nombre
  dautres ensembles candidats à être optimal.

i
i e I
i
i e I
45
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Correct, mais

int max_benefice 0 pour k allant de 1 à n
faire pour chaque ensemble I, de taille k
et sous-ensemble de
1 , ... , n faire si ( P ( I ) lt
C ) max_benefice max ( B ( I ) ,
max_benefice )
46
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
Toutes les tailles possibles pour les
sous-ensembles.

• Correct, mais

int max_benefice 0 pour k allant de 1 à n
faire pour chaque ensemble I, de taille k
et sous-ensemble de
1 , ... , n faire si ( P ( I ) lt
C ) max_benefice max ( B ( I ) ,
max_benefice )
47
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
Toutes les tailles possibles pour les
sous-ensembles.

• Correct, mais

int max_benefice 0 pour k allant de 1 à n
faire pour chaque ensemble I, de taille k
et sous-ensemble de
1 , ... , n faire si ( P ( I ) lt
C ) max_benefice max ( B ( I ) ,
max_benefice )
Tous les sous-ensembles de cette taille
48
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
Toutes les tailles possibles pour les
sous-ensembles.

• Correct, mais

int max_benefice 0 pour k allant de 1 à n
faire pour chaque ensemble I, de taille k
et sous-ensemble de
1 , ... , n faire si ( P ( I ) lt
C ) max_benefice max ( B ( I ) ,
max_benefice )
Tous les sous-ensembles de cette taille
Retenez le bénéfice sil est meilleur et que la
contrainte sur la capacité est respectée.
49
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
Toutes les tailles possibles pour les
sous-ensembles.

• Correct, mais

int max_benefice 0 pour k allant de 1 à n
faire pour chaque ensemble I, de taille k
et sous-ensemble de
1 , ... , n faire si ( P ( I ) lt
C ) max_benefice max ( B ( I ) ,
max_benefice )
Tous les sous-ensembles de cette taille
Retenez le bénéfice sil est meilleur et que la
contrainte sur la capacité est respectée.
Seule ombre au tableau le nombre des
ensembles considérés est en X ( 2n ).
50
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ?

51
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !

52
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !

53
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

54
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

Etat initial.
I 1 , R C , B 0
55
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

Etat initial.
I 1 , R C , B 0
O est pris !
1
I 2 , R C - p , B b
1
1
56
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

Etat initial.
I 1 , R C , B 0
O est pris !
O nest pas pris !
1
1
I 2 , R C - p , B b
I 2 , R C , B 0
1
1
57
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

Etat initial.
I 1 , R C , B 0
O est pris !
O nest pas pris !
1
1
I 2 , R C - p , B b
I 2 , R C , B 0
1
1
Optimum local B_sans
Optimum local B_avec
58
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Solution Divide and Conquer ? ? ? Mais oui !
  ! !
• Considérez les ensembles qui contiennent lobjet
  O et ceux qui ne le contiennent pas !
• Soit  i  lindice de lobjet que nous allons
  considérer,
• soit  R  la capacité résiduelle,
• soit  B  le bénéfice des objets pris jusque-là.

Etat initial.
I 1 , R C , B 0
MAX
O est pris !
O nest pas pris !
1
1
I 2 , R C - p , B b
I 2 , R C , B 0
1
1
Optimum local B_avec
Optimum local B_sans
59
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
60
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
Cas final !
61
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
Cas final !
Nous explorons toujours le cas où lobjet ne sera
pas pris !
62
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
Cas final !
Nous explorons toujours le cas où lobjet ne sera
pas pris !
Il se peut que cela suffise !
63
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
Cas final !
Nous explorons toujours le cas où lobjet ne sera
pas pris !
Il se peut que cela suffise !
Le cas le plus courant est celui qui explore les
deux alternatives !
64
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
int DC_sac ( int objet , int residuelle , int
benefice ) if ( objet gt n ) return( benefice
) else int memoire memoire
DC_sac ( objet 1 , residuelle , benefice )
if ( p objet gt residuelle ) return(
memoire ) else return( max( DC_sac(
objet 1 ,
residuelle p objet ,
benefice b objet ) ,
memoire ) )
Cas final !
Nous explorons toujours le cas où lobjet ne sera
pas pris !
Il se peut que cela suffise !
Le cas le plus courant est celui qui explore les
deux alternatives !
La capacité résiduelle diminue !
Le bénéfice augmente !
65
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Malheureusement, nous répétons des calculs !
• Considérons p 1 1 , p 2 2 , p 3
  3 et
• b 1 2 , b 2
  4 , b 3 6 .

66
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Malheureusement, nous répétons des calculs !
• Considérons p 1 1 , p 2 2 , p 3
  3 et
• b 1 2 , b 2
  4 , b 3 6 .
• Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 ,
  lappel suivant sera
• DC_sac ( 4 , C 3 ,
  6 ).

67
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Malheureusement, nous répétons des calculs !
• Considérons p 1 1 , p 2 2 , p 3
  3 et
• b 1 2 , b 2
  4 , b 3 6 .
• Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 ,
  lappel suivant sera
• DC_sac ( 4 , C 3 ,
  6 ).
• Si nous ne sélectionnons ni 1 , ni 2 , mais 3
  , lappel suivant sera
• DC_sac ( 4 , C 3 ,
  6 ).

68
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Malheureusement, nous répétons des calculs !
• Considérons p 1 1 , p 2 2 , p 3
  3 et
• b 1 2 , b 2
  4 , b 3 6 .
• Si nous sélectionnons 1 et 2 mais pas 3 ,
  lappel suivant sera
• DC_sac ( 4 , C 3 ,
  6 ).
• Si nous ne sélectionnons ni 1 , ni 2 , mais 3
  , lappel suivant sera
• DC_sac ( 4 , C 3 ,
  6 ).

69
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .

t
70
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .

t
1
t-1
71
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .
• Avec une capacité résiduelle  R , la meilleure
  solution sur les  t  premiers objets est
  obtenue par
• Opt ( t , R )

t
1
t-1

72
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .
• Avec une capacité résiduelle  R , la meilleure
  solution sur les  t  premiers objets est
  obtenue par
• Opt ( t 1 , R )
  si p gt R !
• Opt ( t , R )

t
1
t-1

t
73
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .
• Avec une capacité résiduelle  R , la meilleure
  solution sur les  t  premiers objets est
  obtenue par
• Opt ( t 1 , R )
  si p gt R !
• Opt ( t , R )
• max ( Opt ( t 1 ,
  R ) , b Opt ( t - 1 , R p ) )

t
1
t-1

t
t
t
74
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .
• Avec une capacité résiduelle  R , la meilleure
  solution sur les  t  premiers objets est
  obtenue par
• Opt ( t 1 , R )
  si p gt R !
• Opt ( t , R )
• max ( Opt ( t 1 ,
  R ) , b Opt ( t - 1 , R p ) )

t
1
t-1

t
t
t
O est pris !
O nest pas pris !
t
t
75
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------

• Organisons notre emploi du temps !
• Au temps  t , nous nous occupons de O .
• Nous avons donc déjà considéré O , , O
  .
• Avec une capacité résiduelle  R , la meilleure
  solution sur les  t  premiers objets est
  obtenue par
• Opt ( t 1 , R )
  si p gt R !
• Opt ( t , R )
• max ( Opt ( t 1 ,
  R ) , b Opt ( t - 1 , R p ) )

t
1
t-1

t
t
t
Nous respectons lécoulement du temps !
76
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
C
Opt ( t-1 , R )
Opt ( t , R )
R
Si lobjet est trop lourd !
n
t-1
t
77
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
C
Opt ( t-1 , R )
Opt ( t , R )
R
Si lobjet est trop lourd !
La fonction de temps est compatible avec les
dépendances ! ! !
n
t-1
t
78
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
C
Opt ( t-1 , R )
Opt ( t , R )
R
Si lobjet nest pas trop lourd !
R p t
Opt ( t-1 , R p t )
n
t-1
t
79
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
C
Opt ( t-1 , R )
Opt ( t , R )
R
Si lobjet nest pas trop lourd !
R p t
La fonction de temps est compatible avec les
dépendances ! ! !
Opt ( t-1 , R p t )
n
t-1
t
80
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
C
0

Opt ( t-1 , R )
Opt ( t , R )
R
0
Si lobjet nest pas trop lourd !

R p t
La fonction de temps est compatible avec les
dépendances ! ! !
Opt ( t-1 , R p t )
0
n
t-1
t
0
Sans objets, il ny a aucun bénéfice.
81
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) if ( p t gt R )
Opt t , R Opt t-1 , R
else Opt t , R max( b t
Opt t-1 , Rp t ,
Opt t-1 , R )
82
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) if ( p t gt R )
Opt t , R Opt t-1 , R
else Opt t , R max( b t
Opt t-1 , Rp t ,
Opt t-1 , R )
Initialisation de la première colonne à 0.
83
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) if ( p t gt R )
Opt t , R Opt t-1 , R
else Opt t , R max( b t
Opt t-1 , Rp t ,
Opt t-1 , R )
Initialisation de la première colonne à 0.
Colonne après colonne, depuis la gauche vers la
droite et de bas en haut
84
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) for ( R C R gt 0
R-- ) if ( p t gt R ) Opt
t , R Opt t-1 , R else
Opt t , R max( b t Opt t-1 , Rp t
, Opt t-1 , R
)
Initialisation de la première colonne à 0.
Colonne après colonne, depuis la gauche vers la
droite et de bas en haut et de haut en bas,
pourquoi pas ?
85
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) if ( p t gt R )
Opt t , R Opt t-1 , R
else Opt t , R max( b t
Opt t-1 , Rp t ,
Opt t-1 , R )
Initialisation de la première colonne à 0.
Colonne après colonne, depuis la gauche vers la
droite et de bas en haut
ce quil faut !
86
Sac à dos --- Knapsack-----------------------
------------------------------------------
for ( R 0 R lt C R ) Opt 0 , R
0 for ( t 1 t lt n t ) for ( R
0 R lt C R ) if ( p t gt R )
Opt t , R Opt t-1 , R
else Opt t , R max( b t
Opt t-1 , Rp t ,
Opt t-1 , R )
Initialisation de la première colonne à 0.
Colonne après colonne, depuis la gauche vers la
droite et de bas en haut
Finalement, c'était simple ! ! !
ce quil faut !
87
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• U n e x e m p l e c o m p l e t
• E G O C I A N T
• U
• O R T
• E
• M A R S E I L L E ! ! !

88
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Lénoncé
• Vous êtes acheteur au port de Marseille,

89
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Lénoncé
• Vous êtes acheteur au port de Marseille,
•  n  bateaux vont arriver et vous connaissez
  cette valeur,

90
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Lénoncé
• Vous êtes acheteur au port de Marseille,
•  n  bateaux vont arriver et vous connaissez
  cette valeur,
• la qualité de la marchandise des différents
  bateaux  Q( i )  varie de 0 à 1000, de manière
  aléatoire uniforme, vous savez la juger,

91
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Lénoncé
• Vous êtes acheteur au port de Marseille,
•  n  bateaux vont arriver et vous connaissez
  cette valeur,
• la qualité de la marchandise des différents
  bateaux  Q( i )  varie de 0 à 1000, de manière
  aléatoire uniforme, vous savez la juger,
• vous achetez une cargaison !

92
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Lénoncé
• Vous êtes acheteur au port de Marseille,
•  n  bateaux vont arriver et vous connaissez
  cette valeur,
• la qualité de la marchandise des différents
  bateaux  Q( i )  varie de 1 à 1000, de manière
  aléatoire uniforme, vous savez la juger,
• vous achetez une cargaison !
• Laquelle ?

93
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du premier bateau
• Vous achetez ?
• Vous attendez mieux ?

94
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du premier bateau
• Vous achetez ?
• Vous attendez mieux ?
• OUI
• Achat du premier ?
  
• NON
• 
  

95
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du premier bateau
• Vous achetez ?
• Vous attendez mieux ?
• OUI
• Achat du premier ?
  OUI
• NON Achat
  du second
• 
  NON

etc, etc ...
96
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du premier bateau
• Vous achetez ?
• Vous attendez mieux ?
• OUI
• Achat du premier ?
  OUI
• NON Achat
  du second
• 
  NON
• En fait, quattendez-vous ?

etc, etc ...
97
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du premier bateau
• Vous achetez ?
• Vous attendez mieux ?
• OUI
• Achat du premier ?
  OUI
• NON Achat
  du second
• 
  NON
• En fait, nous achetons si la qualité du
• bateau courant est meilleure que la
• qualité moyenne espérée des bateaux
• qui vont venir !

etc, etc ...
98
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du bateau  i 
• Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E (
  i1 )
• où E ( i1 ) est la qualité moyenne des bateaux
  i1 à n
• et nous en déduisons E( i ) !

99
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du bateau  i 
• Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E (
  i1 )
• où E ( i1 ) est la qualité moyenne des bateaux
  i1 à n
• et nous en déduisons E( i ) !
• Donc,
• avec une probabilité de ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000
• nous achetons le bateau  i  dont la qualité
  moyenne vaut ( 1000 E( i1 ) ) / 2 .

100
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du bateau  i 
• Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E (
  i1 )
• où E ( i1 ) est la qualité moyenne des bateaux
  i1 à n
• et nous en déduisons E( i ) !
• Donc,
• avec une probabilité de ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000
• nous achetons le bateau  i  dont la qualité
  moyenne vaut ( 1000 E( i1 ) ) / 2 .
• E ( i ) ( 1000 E( i1 ) ) / 1000 ( 1000
  E( i 1 ) ) / 2

101
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du bateau  i 
• Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E (
  i1 )
• où E ( i1 ) est la qualité moyenne des bateaux
  i1 à n
• et nous en déduisons E( i ) !
• Donc,
• avec une probabilité de ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000
• nous achetons le bateau  i  dont la qualité
  moyenne vaut ( 1000 E( i1 ) ) / 2 .
• E ( i ) ( 1000 E( i1 ) ) / 1000 ( 1000
  E( i 1 ) ) / 2
• ( 1 - ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000 ) E( i1 )

102
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• A larrivée du bateau  i 
• Nous achetons si Q( i ) est supérieure à E (
  i1 )
• où E ( i1 ) est la qualité moyenne des bateaux
  i1 à n
• et nous en déduisons E( i ) !
• Donc,
• avec une probabilité de ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000
• nous achetons le bateau  i  dont la qualité
  moyenne vaut ( 1000 E( i1 ) ) / 2 .
• E ( i ) ( 1000 E( i1 ) ) / 1000 ( 1000
  E( i 1 ) ) / 2
• ( 1 - ( 1000 E( i1 ) ) /
  1000 ) E( i1 )
• ( 10002 E2( i1 ) ) / 2000

103
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500

104
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625

105
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625
• E( n-2 ) ( 1000 625 ) / 1000 ( 1000 625
  ) / 2
• 625 / 1000 625 / 2
• 695

106
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625
• E( n-2 ) ( 1000 625 ) / 1000 ( 1000 625
  ) / 2
• 625 / 1000 625 / 2
• 695
• n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5
  n-4 n-3 n-2 n-1 n
• 879 871 861 850 836 820 775
  741 695 625 500

x
E( x )
107
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625
• E( n-2 ) ( 1000 625 ) / 1000 ( 1000 625
  ) / 2
• 625 / 1000 625 / 2
• 695
• n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5
  n-4 n-3 n-2 n-1 n
• 879 871 861 850 836 820 775
  741 695 625 500

Laxe de temps !
x
E( x )
108
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625
• E( n-2 ) ( 1000 625 ) / 1000 ( 1000 625
  ) / 2
• 625 / 1000 625 / 2
• 695
• n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5
  n-4 n-3 n-2 n-1 n
• 879 871 861 850 836 820 775
  741 695 625 500

Laxe de temps !
x
E( x )
Pour tout bateau i , i lt n Nous achetons si
Q( i ) gt E( i1 ) !
109
Marine marchande---------------------------------
--------------------------------

• Ce qui nous donne
• E( n ) 500
• E( n-1 ) ½ 750 ½ 500 625
• E( n-2 ) ( 1000 625 ) / 1000 ( 1000 625
  ) / 2
• 625 / 1000 625 / 2
• 695
• n-10 n-9 n-8 n-7 n-6 n-5
  n-4 n-3 n-2 n-1 n
• 879 871 861 850 836 820 775
  741 695 625 500

Laxe de temps !
C'est à nouveau très simple !
x
E( x )
Pour tout bateau i , i lt n Nous achetons si
Q( i ) gt E( i1 ) !
110
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------

• U n e x e m p l e c o m p l e t
• L A P L U S L O N G U E
• O U S C H A I N E
• C O M M U N E ! ! !

111
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
En français Plus longue sous-chaîne commune !

• On obtient une sous-chaîne en supprimant des
  caractères dune chaîne.
• A B C D E F G
• B A C D D B E F

112
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
En français Plus longue sous-chaîne commune !

• On obtient une sous-chaîne en supprimant des
  caractères dune chaîne.
• A B C D E F G
• B A C D D B E F

Une sous-chaîne A B
113
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
En français Plus longue sous-chaîne commune !

• On obtient une sous-chaîne en supprimant des
  caractères dune chaîne.
• A B C D E F G
• B A C D D B E F

Une sous-chaîne A B
Une autre sous-chaîne B D E
114
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
En français Plus longue sous-chaîne commune !

• On obtient une sous-chaîne en supprimant des
  caractères dune chaîne.
• A B C D E F G
• B A C D D B E F

Une sous-chaîne A B
Une autre sous-chaîne B D E
La sous-chaîne la plus longue A C D E F
115
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• 
  
• LCSS ( u , v )
  

116
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,
• 
  
• LCSS ( u , v )
  

117
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,
• a .
  LCSS ( u , v ) , si u a . u et
• 
  v a . v ,
• LCSS ( u , v )
  

118
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,
• a .
  LCSS ( u , v ) , si u a . u et
• 
  v a . v ,
• LCSS ( u , v )
  

a . u a . v
LCSS
119
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,
• a .
  LCSS ( u , v ) , si u a . u et
• 
  v a . v ,
• LCSS ( u , v )
  
• maxstr ( LCSS ( u , v
  ) , LCSS ( u , v ) )
• si u a . u , v
  b . v et a ltgt b.

120
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,
• a .
  LCSS ( u , v ) , si u a . u et
• 
  v a . v ,
• LCSS ( u , v )
  
• maxstr ( LCSS ( u , v
  ) , LCSS ( u , v ) )
• si u a . u , v
  b . v et a ltgt b.

LCSS
a . u b . v
121
Longest Common Sub-String------------------------
-----------------------------------------
Soient a et b des lettres et u et v des
séquences de lettres.

• e ,
  si u e ou v e ,