Complexit algorithmique

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Complexité algorithmique
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Complexité

• Exécution d un programme gutilisation des
  ressources de l ordinateur
• temps de calcul pour exécuter les opérations
• occupation mémoire (pgme données)
• Mesurer ces 2 grandeurs pour comparer entre eux
  différents algorithmes
•  Sur toute machine, quelque soit le langage de
  programmation, l algo A1 est meilleur que A2
  pour des données de grande taille 

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Temps d exécution d un programme

• Mettre en évidence les opérations fondamentales
  le temps est proportionnel au nombre de ces
  opérations
• Recherche d un élément E dans une liste
  Lnombre de comparaisons entre E et les élts de
  L
• Recherche d un élément sur disquenombre
  d accès à la mémoire secondaire
• Multiplication de matricesnombre de
  multiplications et d additions

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Temps d exécution d un programme

• Soit n la taille des données soumise au programme
• taille de la liste dans laquelle on cherche E
• taille de la liste à trier
• dimensions d une matrice dont on calcule le
  carré
• T(n) temps d exécution du programme

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Décompte du nombre d opérations fondamentales

• P nombre d instructions dans un bloc de
  programme
• P(séquence) ? P(E) E élément de la séquence
• P(if C then I1 else I2) P(C) max(P(I1), P(I2))
• P(boucle) ? P(Ii) Ii Ième itération de la
  boucle
• P(F(n)) s écrit en fonction de P(F(k)) pour une
  procédure ou fonction récursive g résolution
  d équations de récurrences

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Temps d exécution d un programme

• Pour certains problèmes, le temps ne dépend pas
  seulement de la taille de la donnée mais aussi de
  la donnée elle-même
• Complexité au mieux Tmin(n) min(Temps(d) d
  donnée de taille n)
• Complexité au pireTmax(n) max(Temps(d) d
  donnée de taille n)
• Complexité en moyenne Tmoy(n)

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Temps d exécution d un programme

• Tmin(d) lt Tmoy(d) lt Tmax(d)
• Un exemple de calcul recherche dun élément X
  dans un tableau L

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Ltableau X élément Debut i lt- 1 Tantque iltn
et Li ltgtX faire i lt- i1 Fintantque Fin
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Ordre de grandeur asymptotique la notation ?

• T(n) pour n grand
• Comparaison des ordres de grandeur asymptotique
• Définition
• f ?(g) ssi ?c ? R, ? n0 tq ? n gt n0, f(n)
  ?c g(n)
• Ex 2n ?(n²)

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Equivalent la notation ?

• Définition
• f ?(g) ssi f ?(g) et g ?(f)
• C'est-à-dire
• ?c ? R, ?d ? R, ? n0 tq ? n gt n0, d g(n) ?
  f(n) ?c g(n)
• Ex 2n ?(n) mais 2n n'est pas en ?(n²)

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Propriétés

• Les constantes ne sont pas importantes
• Les termes d ordre inférieur sont
  négligeablesSi T(n) aknk a1n a0 avec
  akgt0 alors T(n) est en (nk)
• Si T1(n) ?(f1(n)) et T2(n) ?(f2(n)) alors
  T1(n) T2(n) ?(f1(n) f2(n))
• Si f(n) ?(g(n)) et g(n) ?(h(n)) alors f(n)
  ?(h(n))

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Appellation des ordres de grandeur courant

• ?(1) constante
• ?(log(n)) logarithmique
• ?(n) linéaire
• ?(n log n) n log n
• ?(n²) quadratique
• ?(n3) cubique
• ?(2n) exponentielle

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Croissance comparée des fonctionsfréquemment
utilisées en complexité
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Rapport Temps / Taille des données
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Calcul de la complexité

• Toute lecture, écriture, affectation (sans appel
  de fonction) a un temps en ?(1)
• Complexité d une séquencecomplexité de
  l instruction de plus forte complexité
• Si C alors A1 sinon A2 ?(c(n)) ?(f1(n)) ?(
  f2(n))T(n) ?( c(n) max(f1(n), f2(n)) )

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Calcul de la complexité

• Pour i de A à B faire IteriFinpour
• Si T(Iteri) indépendant de i en ?(f(n)),alors
  T(n) ?((B-A1) f(n))
• Si T(Iteri) dépendant de i Titer(n,i)alors

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Calcul de la complexité

• Tant que C faire Iter Fintantque
• La difficulté est de déterminer une borne sup
  pour le nombre d itérationsNB
• Si T(Iter) ?(f(n)) T(n) ?(NB(C(n) f(n)))
• Si T(Iter) dépend de l itération i T(n)
  ?(NBC(n) ? Titer(n,i)

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Calcul de la complexité

• Procédures et fonctions récursives
• T(n) calculé grâce à des relations de récurrence

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Exemple

• T(n) temps d exécution en fonction de
  l argument n
• baseT(1) a
• récurrenceT(n) b T(n-1), pour ngt1
• On démontre par récurrence queT(n) a (n-1) b
  pour n ? 1
• Donc T(n) ?(n)

• function fact(ninteger) integer
• begin
• if nlt1 then fact 1 else fact n
  fact(n-1) end