Probl

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Problème de lélection

• A. Zemmari
• zemmari_at_labri.fr
• www.labri.fr/visidia/

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Introduction

• Un des paradigmes de lalgorithmique distribuée.
• On se donne un graphe représentant un ensemble de
  processus reliés par des liens de communication.
• On cherche à choisir un et un seul sommet du
  graphe, ce sera le sommet qui sera utilisé pour
  stocker une information crucial par exemple ou
  encore pour lancer une procédure de
  réinitialisation du système.
• La problématique
• Est-ce quon peut toujours élire, avec un
  algorithme déterministe, dans un graphe ? La
  réponse est non.
• Si on utilise les algorithmes probabilistes,
  quels sont les sommets qui ont la plus grande
  chance dêtre élus ? Réponse
• Existet-il un algorithme qui donne la même
  chance à tous les sommets du graphe ? Réponse

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Algorithme de Chang-Roberts
SDRP MA

• Algorithme délection dans un anneau
  unidirectionnel.
• Principe Les processus candidat à lélection
  sont les processus initiateurs. Chaque processus
  possède une identité unique et les identité sont
  ordonnées.
• Chaque initiateur envoie à son voisin de droite
  son identité. Un initiateur qui reçoit une
  identité plus grande séteint et ne fait que
  relayer les messages quil reçoit à son voisin de
  droite.
• Linitiateur qui reçoit sa propre identité sait
  quil est lélu.
• Linitiateur élu envoie un message fin dans le
  réseau pour avertir les autres processus que
  lélection est terminée.

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Analyse de lalgorithme
SDRP MA

• Théorème Lalgorithme de Chang-Roberts résout
  le problème de lélection sur lanneau
• en utilisant ½ n² O(n) messages dans le pire
  des cas et
• nHn nlnn O(n) messages en moyenne, la taille
  des messages étant O(log n).
• La complexité en temps de lalgorithme est dau
  moins 2n-1 dans le pire des cas.
• Preuve voir le tableau

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Élection anonyme
SDRP MA

• Daprès C. Lavault

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Élection sur un anneau
SDRP MA

• Chaque processus tire une pseudo identité, un
  nombre 0 ou 1
• 0 avec probabilité 1/n
• 1 avec probabilité 1 - 1/n
• Chaque processus envoie un message contenant sa
  pseudo identité sur l'anneau unidirectionnel
  asynchrone.
• Chaque message récupère ainsi dans son parcours
  chacune des n-1 autres pseudo identités par
  concaténation .
• Un processus sait donc s'il est un maximum
  unique ou non.

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SDRP MA
8
SDRP MA

• Quand A termine-t-il avec un élu ? Quand un
  unique processus possède la pseudo identité
  maximale 1.pn Pr(un unique processus tire 1)
  Pr((n-1) processus tirent 0) x
  Pr(un processus tire 1)
• x nombre de choix possibles pour le
  processus qui tire 1

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SDRP MA

• Théorème il existe un algorithme probabiliste
  délection sur un anneau synchrone qui termine
  avec succès avec probabilité gt 1/e.
• Sa complexité en messages est O(n²).
• Preuve
• Si deux processeurs tirent un 1, il ny a pas
  délu
• Cet événement se produit avec forte probabilité
  Pr(deux tirages de 1) 1 1/e ? 0.63
• Inversement, la probabilité de succès est elle
  faible, elle est juste minorée par 1/e gt 1/3.
• Chacun des n processus envoie n messages. La
  complexité de A est O(n²).

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Amélioration du schéma dalgorithme A
SDRP MA

• Lorsqu'il y a échec (aucun élu) A est réitéré
  jusquà l'obtention d'un succès (un élu).
• La probabilité de succès augmente pour un nombre
  d'itérations faible.
• Chaque processus retire donc une pseudo identité
  autant de fois que nécessaire pour obtenir un
  unique processus de pseudo identité maximale (à
  priori une infinité de fois !).
• pk Pr(échec aux (k-1) premières) x
  Pr(succès à la k-ième itération) p(1-p)k-1
  lt pe-kpOr 1/e lt p lt 1, donc pk ? 0 , lorsque k
  ? ?

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Complexité moyenne en temps de A
SDRP MA

• X La v.a. mesurant le nombre ditérations suit
  une loi géométrique de paramètre p.
• Le nombre moyen ditérations par processus est
  donc 1 lt E(X) 1/p lt e ? 2,718.
• Théorème il existe un algorithme probabiliste
  délection sur un anneau synchrone qui termine
  avec probabilité 1.
• Nombre moyen ditérations lt en.
• Complexité en messages O(n²).

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Election dans les arbres ? Codage par les
systèmes de réécriture ? Implémentation par un
algorithme probabiliste ? Analyse probabiliste
SDRP MA
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Problème de lélection (2)

• Que se passe-t-il si le graphe est un arbre ?
• Il existe un algorithme très simple pour élire
  dans un arbre
• tant que larbre nest pas réduit à un seul
  sommet, on supprime une feuille.
• Le sommet élu est le sommet qui reste à la fin.
• Objectif de létude
• Quelle est la probabilité pour un sommet dêtre
  élu ?
• Guider le processus local de suppression afin
  dobtenir une distribution de probabilité
  particulière.

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(No Transcript)
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Codage par les systèmes de réécriture

• Un sommet est étiqueté soit C (pour Candidat),
  soit P (pour Perdant), soit E (pour Elu).
• Initialement, tous les sommets sont étiquetés C.
• R1 un sommet étiqueté C, qui est adjacent à
  exactement un sommet étiqueté C, peut être
  réétiqueté P
• R2 un sommet étiqueté C et qui na aucun sommet
  étiqueté C dans son voisinage peut être
  réétiqueté E
• R1
  
• R2
  

P
C
C
C
C
C
C
C
E
C
C
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Approche combinatoire

• Toutes les suites de suppressions de feuilles ont
  la même probabilité.
• Théorème (Métivier Saheb 94) Si toutes les
  suppressions de feuilles ont la même probabilité,
  alors le(s) sommet(s) médian(s) a la probabilité
  la plus élevée dêtre élu(s).
• Avantages de lapproche étude  facile  à
  faire.
• Inconvénient aucune implémentation distribuée
  nest disponible.

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Approche localement uniforme

• A chaque étape, toutes les feuilles ont la même
  chance dêtre supprimées.
• Proposition Soit v un sommet quelconque. Notons
  par qv(T) la probabilité pour v dêtre élu dans
  T. Alors

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Remarques sur lapproche localement uniforme

• Avantage admets une implémentation distribuée
  simple, un sommet qui devient feuille tire un
  nombre aléatoire uniforme L(v), ce nombre est une
  v.a. qui représente la durée de vie de v.
• Inconvénient la formule ci-dessus est la seule
  que lon arrive à démontrer. On narrive pas à
  caractériser le(s) sommet(s) qui a la plus grande
  probabilité dêtre élu.

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Élection localement guidée

• Chaque sommet v a un poids ?(v) initialisé à 1.
• Un sommet v qui est (ou devient) feuille tire une
  durée de vie L(v) qui est une v.a. suivant une
  loi exponentielle de paramètre ?(v), cest-à-dire
  Pr(L(v) t) 1 e-?(v)t ? t ? R.
• Un sommet dont la durée de vie est écoulée, et
  qui doit disparaître transmet son poids à son
  père.
• Un sommet u qui reçoit le poids ?(v) de son fils
  v met à jours son poids avec la formule ?(u)
  ?(u) ?(v).

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Exemple
d
a
b
c
e

• Il y a 2 suites de suppression qui mènent à
  lélection de a (voir le tableau).
• Chacune de ces suites a une probabilité 1/10.
• Donc Pr(a) 1/5
• De même, un simple calcul donne Pr(b) Pr(c)
  Pr(d) Pr(e) 1/5.

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Résultat fondamental

• Théorème dans une élection utilisant le dernier
  modèle, tous les sommets dun arbre T de taille n
  ont la même probabilité 1/n dêtre élus.

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Peut-on faire la même chose dans les autres
graphes ?

• Oui pour les k-arbres.
• Oui pour les polyomonoïdes (sous-ensemble des
  graphes qui peuvent être dessinés sur une
  grille).
• Oui pour tous les graphes connexes si on accepte
  de faire un pré-calcul de larbre couvrant.
• On ne sait pas ? si on naccepte pas un
  pré-calcul.