Probl

1
Problème du rendez vous un algorithme
probabiliste et une analyse probabiliste
SDRP MA
2
Le modèle
SDRP MA

• Un réseau asynchrone de processus anonymes
• Les processus communiquent par échange de
  messages en mode asynchrone
• Modélisation un graphe.

3
Présentation
SDRP MA

• Dans une communication par envoie de messages en
  mode synchrone, lémetteur et le récepteur
  doivent être tous les deux prêts ? les deux
  processus ont un rendez-vous.
• Ici, on se place dans un réseau anonyme, où les
  processeurs communiquent par échange de messages
  en mode asynchrone.
• Un rendez-vous est-il possible sous de telles
  hypothèses ?
• Réponse NON (A. Angluin80)
• Pourquoi ? cas de lanneau.

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Pourquoi le rendez-vous
SDRP MA

• Un des modèles de communication de base dans le
  cas des algorithmes distribués codés par les
  calculs locaux les règles de réécriture sont de
  la forme ou ou encore
• Exemples
• Calcul darbre couvrant
• Élection dans un arbre,

5
Pourquoi le rendez-vous (2)
SDRP MA

• Communication dans un réseau de robots

R3
R1
R4
R2
R5
R6
6
Problème
SDRP MA

• Théorème (Angluin) Il nexiste pas dalgorithme
  déterministe pour implémenter une communication
  par passage de messages en mode synchrone dans un
  réseau anonyme communiquant par échange de
  messages en mode asynchrone.

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Solution un algorithme probabiliste
SDRP MA

• Chaque sommet v répète tout le temps
• Le sommet v choisit un de ses voisins c(v) au
  hasard
• v envoie 1 à c(v)
• v envoie 0 à tous ses autres voisins
• v reçoit les messages de tous ses voisins.
• ( il y a rendez-vous entre v et c(v) si v reçoit
  1 de c(v) )

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Premiers résultats
SDRP MA

• Définition Soit G(V,E) un graphe. Un appel sur
  G est une fonction c de V dans V qui envoie un
  sommet v sur un de ses voisins.
• ? soit c un appel, il y a un rendez-vous sur G
  ssi il existe deux sommets v et w tels que c(v)
  w et c(w) v.
• Définition un appel c est un succès sil y a au
  moins un rendez-vous dans le graphe. Sinon c est
  dit échec.

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Questions posées
SDRP MA

• Quel est le nombre moyen de rendez-vous dans le
  graphe ?
• Quelle est la probabilité de succès ?
• (Question plus dure) Quelle est la probabilité
  dobtenir exactement k rendez-vous dans le graphe
  ?

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Graphe dappel
SDRP MA

• Soit G (V,E) un graphe. A chaque appel c sur G
  correspond un graphe orienté Gc (V,A), où un
  arc a(v,w) ?A si et seulement si c(v) w.
• Exemple

a
b
c(a)b c(b)a c(c)b c(d)a c(e)f c(f)e c(g)d
c
d
f
g
e
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SDRP MA

• Fait Soit c un appel sur un graphe G. c est un
  échec si et seulement si Gc na pas de cycle de
  longueur 2.
• Corollaire Si G (V,E) est un arbre, alors
  tout appel sur G est un succès.
• Preuve Par récurrence sur la taille de G.

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Probabilité de succès
SDRP MA

• Tous les sommets voisins dun sommet ont la même
  probabilité 1/d(v) dêtre choisi par v
• On définit la mesure de probabilité qui affecte à
  tout appel c sur G une probabilité
• Lemme Si on note par s(G) la probabilité de
  succès et f(G) 1-s(G). On a alors f(G)
  ?(G)N(G) et s(G) 1-?(G)N(G), où N(G) est le
  nombre dappels c sur G pour lesquels Gc na pas
  de cycle de longueur 2.

13
Exemple
SDRP MA

• Anneau de taille n 3

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Cas du graphe anneau
SDRP MA

• Soit G un anneau de taille n. Le nombre N(G)
  dappels sans cycle de longueur 2 est égal à 2.
  Donc et
• Lespérance du nombre dappels pour obtenir un
  succès est

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Couplage de graphe
SDRP MA

• Définition Soit G (V,E) un graphe. Un
  couplage sur G est un sous-ensemble M de E tel
  que ? e, e ? M, e ? e ?

v0
v1
v2
v6
v8
v3
v7
v4
v5
16
Rendez-vous ? couplages
SDRP MA
v0
v8
17
SDRP MA

• Notation soit e ? E, on note par e1 (rep. e0)
  lévénement il y a un rendez-vous sur e (resp.
  il ny a pas de rendez-vous sur e). Si e
  v,w, alors Pr(e1) 1/d(v)d(w).
• Pour tout couplage M e1,e2,,ek, la
  probabilité pour M dêtre un ensemble de
  rendez-vous est Pr(M) Pr(e11? e21 ? ?ek1 )
  ?v,w ? M (1/d(v)d(w)),
• Soit k un entier, un k-couplage sur G est un
  couplage de taille k. Soit Mk lensemble des
  k-couplages sur G.On note qk ?M ?Mk Pr(M),
  k0,1,,?n/2?

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SDRP MA

• Proposition Soit qk la séquence définie
  ci-dessus pour k 0, 1,, ?n/2?. Pour tout
  entier l, la probabilité dobtenir exactement l
  rendez-vous sur le graphe G est la
  probabilité de succès est alors

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Remarque
SDRP MA

• Question quel est limpact de lajout dune
  arête dans le graphe sur la probabilité de succès
  ?
• Si on rajoute une arête à un arbre, la
  probabilité de succès diminue.
• Si on ajoute une arête au graphe suivant, cette
  probabilité augmente.

(exemple dû à Austinat et Volkert)
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Espérance du temps entre deux rendez-vous
SDRP MA

• Pour un sommet v
• Pour une arête e v,w d(v)d(w)
• Si le graphe est de degré borné par d, alors
• Pour un sommet, lespérance est bornée par d
• Pour une arête, elle est bornée par d2

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Espérance du nombre de rendez-vous dans le graphe
SDRP MA

• Soit X la v.a. définie par X nbre de
  rendez-vous dans Get soit E(X) son espérance
  mathématique.
• Pour toute arête e, notons par ?e la v.a. de
  définie par ?e 1 si il y a un rendez-vous sur e
  et 0 sinon. On a alors
• Or, la linéarité de lespérance nous assure que

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SDRP MA

• ?e est une v.a. qui suit une loi de Bernoulli de
  paramètre 1/d(v)d(w) si ev,w. Donc E(?e)
  1/d(v)d(w).
• Doù

23
Applications
SDRP MA

• Si G est un graphe complet de taille n, alors
• Si G est un anneau, alors
• Si G est un graphe de degré majoré par d, alors
  
• Si G est un arbre, alors

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Graphe minimisant E(X)
SDRP MA

• Impact de lajout dune arête nest pas monotone
  

1/4
E(X)7/4
E(X)3/2
1/4
1/5
1/5
1/20
1/4
1/5
1/10
1/4
1/8
E(X)13/8
E(X)8/5
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Graphe minimisant E(X) (2)-
SDRP MA

• Proposition Pour n fixe, le graphe complet Kn
  est le graphe qui minimise lespérance du nombre
  de rendez-vous dans tous les graphes de taille n.
  Le nombre minimum de rendez-vous est alors E(X)
  n/2(n-1).
• Preuve. (voir tableau ?)

26
Étude de cas particuliers1. graphes de degrés
bornés
SDRP MA

• G (V,E) un graphe de degré maximum d.
• Proposition
• Preuve (voir le tableau) .
• Corollaire

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Étude de cas particuliers2. Graphes complets
SDRP MA

• Soit Kn le graphe complet de taille n.
• Proposition
• S(Kn) est asymptotiquement égal à 1-e-1/2.
• Lespérance du nombre dappels nécessaires pour
  obtenir un rendez-vous est asymptotiquement égal
  à

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Borne générale pour s(G)
SDRP MA

• Théorème Soit G(V,E) un graphe quelconque. La
  probabilité de succès s(G) est minorée par 1
  e-E(X(G)), où X(G) désigne le nombre de
  rendez-vous dans G et E(X(G)) son espérance.
• Preuve (voir le tableau).
• Corollaire La probabilité de succès s(G) est
  minorée par 1-e-1/2
• Question est-ce que le graphe complet minimise
  la probabilité de succès ?
• Réponse OUI (daprès Martin Dietzfelbinger dans
  ISAAC 2002).

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Exercices (2)
SDRP MA

• Soit T(V,E) un arbre.
• Quel est limpact du rajout dune feuille à T sur
  la probabilité de succès ?
• Même question mais pour lespérance du nombre de
  rendez-vous.
• En déduire le résultat suivant Si T est un
  arbre de degré maximum k et de diamètre D, alors
  M(T) lt M(T(k,D/2))Où M(T) est lespérance
  du nombre de rendez-vous dans T et T(k,h) est
  larbre d-aire de hauteur h