Probl

1
Problème de flotàcoût minimum
Énoncé du problème
Exemples dapplication
Adaptation de lalgorithme du simplexe
2
Énoncé du problème de flot à coût minimal
Soit un réseau R (N, A) où N représente les
sommets du réseau et A lensemble des arcs.
On désigne aussi par K(x, y) capacité maximale
de larc (x, y), ?(x, y) ? A, f(x, y)
quantité de flot passant par larc (x, y), ?(x,
y) ? A, S s ? N s est une source avec une
disponibilité de vs unités, P p ? N p est
un puits avec une demande de vp unités, c(x,
y) coût unitaire du flot dans larc (x, y),
?(x, y) ? A.
Le problème consiste à déterminer la valeur du
flot nexcédant pas la capacité dans chaque arc
pour satisfaire la demande à P à partir de
la disponibilité à S tout en minimisant le coût
total.
3
Le problème sénonce alors comme suit
Min ? c(x, y) f(x, y) (x, y) ? A
vx si x ? S
? f(x, y)
-
? f(y, x)

0 si x ? S?P
-vx si x ? P
y ? N (x, y) ? A
y ? N (y, x) ? A
0 ? f(x, y) ? K(x, y), ?(x, y) ? A.
Note
Pour l'instant, nous supposerons que la somme des
disponibilités égale la somme des demandes. Cette
hypothèse sera relâchée par la suite.
4
Exemple dapplication
Réseau de transbordement dun bien
Tiré de B. T. Smith, "Introduction à la théorie
des graphes et des réseaux". Tome
II, Département de Génie industriel, École
Polytechnique de Montréal, Sept. 1983.
S 2, 3 des usines de production avec une
capacité de production de 6 et 8 unités
resp. pendant une période fixe de temps. P 5,
6 des entrepôts locaux ayant des demandes de 9
et 5 resp.
5
Les sommets 1 et 4 représentent des points de
transbordement (sommets intermédiaires), par
exemple des entrepôts régionaux.
Les unités ne restent pas à ces endroits mais
sont acheminées directement vers d'autres
destinations (sources, puits ou
sommets intermédiaires).
À côté de chaque voie de transport (arc), on
indique le coût de transporter une unité à
travers l'arc.

• Le problème consiste à faire passer 8 6 14
  unités de flot des
• sources jusqu'aux puits tel que
• (1) toutes les demandes soient satisfaites
• la conservation de flot soit satisfaite à chaque
  sommet
• intermédiaire
• (3) le coût total de transport soit minimum.

Il ny a aucune contrainte sur la quantité de
flot qui peut traverser un arc dans cet exemple.
De façon générale, il en est autrement.
6
Contrairement au problème de flot maximal, nous
ne voulons pas maximiser un flot (car cette
valeur est fixée d'office à la somme
des disponibilités) mais nous cherchons le
vecteur de flot le moins cher qui satisfasse les
demandes.
Voici un flot réalisable dont le coût total est
8x7 6x8 1x1 105 (les arcs en gras portent
un flot positif, les autres arcs un flot nul)
7
Voyons maintenant un autre exemple de flot
réalisable moins cher que le précédent.
Le coût total est 8x3 8x3 6x5 5x1 83.
8
Exemple dapplication
Tiré de B. T. Smith, "Introduction à la théorie
des graphes et des réseaux". Tome II, Département
de Génie industriel, École Polytechnique de
Montréal, Sept. 1983.
10 étudiants inscrits dans un cours, 12 projets
de fin détudes disponibles, 1 projet par
étudiant, les projets de 1 à 4 sont assignés à
au plus 1 étudiant, les projets de 5 à 8 sont
assignés à au plus 2 étudiants, les projets de 9
à 12 sont assignés à au plus 3 étudiants, les
projets sont éliminés sil ny a pas détudiants
qui leur sont affectés, 6 professeurs au total
sont disponibles pour diriger les projets.
9
un sous-ensemble de professeurs peuvent diriger
chaque projet
Chaque étudiant travaillant sur un projet doit
être dirigé par un professeur dans le
sous-ensemble de ceux affectés au projet.
10
Chaque professeur peut diriger un nombre maximum
détudiants
Chaque étudiant choisit un sous-ensemble des
projets sur lesquels il aimerait travailler et il
classe les projets dans ce sous-ensemble en ordre
décroissant de préférence comme dans le tableau
suivant
11
Objectif collectif
Affecter les étudiants aux projets et aux
professeurs afin de minimiser la somme des
classements des projets sur lesquels travailleront
les étudiants.
Il sagit dun problème de flot à coût minimum
12
(10)
(12)
(6)
Si un professeur j peut diriger le projet i
capacité
coût
Demande de 10 étudiants au puits
Note
Certains arcs seulement Sont indiqués pour éviter
la confusion.
Limite le détudiants affectés au professeur j.
Limite le détudiants affectés au projet i.
Numéro de classement
Un arc entre chaque étudiant et chaque
projet quil préfère.
13
Propriétés de la matrice des contraintes de
conservation du flot
Portons notre attention sur les contraintes
suivantes
vx si x ? S
? f(x, y)
-
? f(y, x)

0 si x ? S?P
-vx si x ? P
y ? N (x, y) ? A
y ? N (y, x) ? A
ou sur une forme succincte
A f b où A est la matrice dincidence du
réseau orienté, f est le vecteur de
flot, b est le vecteur colonne des
disponibilités et des demandes.
Théorème
La matrice dincidence A dun graphe orienté
simple et connexe composé de m sommets et n arcs
est de rang m 1.
14
Théorème
Soit la matrice dincidence A dun graphe orienté
simple et connexe composé de m sommets et n
arcs, une sous-matrice de A carré dordre m 1
est non singulière (forme une base) ? les arcs
associés aux colonnes de cette sous-matrice sont
ceux dun arbre partiel du graphe orienté.
Théorème
N'importe quel flot réalisable dans un réseau
peut être transformé en un flot réalisable tel
que les arcs portant un flot positif fasse
partie d'un arbre partiel du graphe orienté.
15
Preuve du théorème précédent
16
Exemple de transformation dun flot réalisable en
un autre tel que les arcs portant un flot positif
fasse partie dun arbre partiel du graphe
Réseau de transbordement dun bien
Par la suite, seulement les arcs portant un flot
positif sont illustrés, avec la valeur du flot
indiqué à côté de chaque arc les autres arcs
du réseau portent un flot nul.
17
Considérons le flot réalisable suivant
But
Rechercher un flot réalisable avec au plus m 1
5 arcs portant un flot positif où ceux-ci ne
forment pas de circuit.
Or, pour ce flot réalisable, il y a 9 arcs
portant un flot positif.
18
Choisissons comme premier circuit 1, 2, 4, 3, 1
avec l'orientation dans le sens de l'arc
(1,2). Le seul arc inverse du circuit est (3,4)
avec le flot f34 3. On ajoute 3 unités de flot
aux arcs (1, 2), (2,4) et (3,1) et on soustrait
3 unités de flot de l'arc (3,4), on a alors
19
Le circuit 2, 5, 6, 2 permet de transformer le
flot comme suit
20
Enfin, le circuit 2, 4, 6, 2 donne lieu à un flot
positif dans un arbre partiel comme suit
21
(No Transcript)
22
On aurait pu arriver au flot indiqué par les arcs
en gras de la figure ci-dessous, où 4 arcs
portent un flot positif et un arc (2,4) porte un
flot nul, mais fait partie de l'arbre partiel de
G.
Ce flot réalisable est dégénéré.
23
BREF
Tout arbre partiel du graphe G correspond à une
soln de base du programme linéaire et
inversement, toute soln de base du programme
linéaire peut se ramener à une soln réalisable
n'utilisant que les arcs d'un arbre partiel du
graphe.
Pour résoudre le problème de flot à coût
minimum, il sagit donc de ne soccuper que des
arbres partiels du graphe (les solutions de base).
Sil existe une solution optimale au problème de
flot à coût minimum, il en existe une qui
correspond au flot dans un arbre partiel de G.
24
Adaptation de la méthode du simplexe
Il sagit dexploiter le fait que A est la
matrice dincidence du graphe.
Note
Considérons dabord le cas où le flot est sans
borne supérieure.
coût flot réalisable
Illustrons à travers un exemple.
destination
source
25
La valeur du flot sur chacun des arcs correspond
à une solution de base réalisable dont la base
associée correspond à un arbre partiel T
Cette solution de base est dégénérée puisque le
flot à larc (s,1) est nul.
26
Cette adaptation du simplexe repose sur
l'utilisation des multiplicateurs du simplexe.
Dénotons par pi le multiplicateur associé à la
iième ligne de la matrice d'incidence A, i.e.
associé au iième sommet du réseau orienté.
Se référant à la définition dun vecteur de coût
relatif, on peut écrire
c(x,y) c(x,y) ?x ?y ?(x, y) ? A.
Pour évaluer ces multiplicateurs, il suffit de
trouver une solution au système
c(x,y) c(x,y) ?x ?y 0 ?(x, y) ? T.
Puisquun arbre comporte exactement un nombre
darcs égal au nombre de sommets 1, ce système
comporte un nombre dinconnus supérieur de 1 au
nombre déquations.
Il suffit de fixer la valeur dun des
multiplicateurs et dévaluer facilement les
autres à laide du système.
27
Si on pose ?t 0, alors ?3 c(3,t) ?t 2 0
2, ?2 c(2,3) ?3 3 2 5, ?s
c(s,2) ?2 5 1 6, ?1 ?s - c(s,1) 6
- 4 2.
Évaluons maintenant le coût relatif des variables
hors-base
c(2,1) c(2,1) - ?2 ?1 2 5 2 -1
c(1,t) c(1,t) - ?1 ?t 1 2 0 -1.
28
Puisque c(2,1) c(1,t) -1, les 2 variables
sont admissibles comme variable dentrée.
Choisissons larc (2,1) comme variable dentrée.
Critère de sortie déterminer le cycle
fondamental p/r à l'arbre partiel correspondant à
la variable d'entrée puisque seul le flot dans
les arcs de ce cycle est influencé par une
variation du flot dans l'arc associé à la
variable d'entrée.
Si f(2,1) augmente, f(s,1) doit diminuer et
f(s,2) augmenter.
Or, f(s,1) 0 (solution dégénérée) ? f(2,1)
reste égale à 0.
29
Cette solution réalisable demeure inchangée
Larbre correspondant à cette solution de base
réalisable est
30
Si on pose ?t 0, alors ?3 c(3,t) ?t 2 0
2, ?2 c(2,3) ?3 3 2 5, ?s
c(s,2) ?2 1 5 6, ?1 ?2 - c(2,1) 5
- 2 3.
Évaluons maintenant le coût relatif des variables
hors-base
c(s,1) c(s,1) - ?s ?1 4 6 3 1
c(1,t) c(1,t) - ?1 ?t 1 3 0 -2.
Larc (1,t) devient variable dentrée avec comme
cycle fondamental

-

-
31
On peut donc augmenter le flot à larc (1,t) de 4
et mettre à jour les autres arcs du cycle en
conséquence.
On considère larc (3,t) comme étant la variable
de sortie pour retrouver la base suivante
Si on pose ?t 0, alors ?1 c(1,t) ?t
1, ?2 c(2,1) ?1 2 1 3, ?s c(s,2)
?2 1 3 4, ?3 ?2 - c(2,3) 3 3 0.
32
Évaluons maintenant le coût relatif des variables
hors-base
c(s,1) c(s,1) - ?s ?1 4 4 1 1
c(3,t) c(3,t) - ?3 ?t 2 - 0 2.
Donc, la solution est optimale.
Remarques
La méthode du simplexe est grandement simplifiée
grâce à la structure particulière du problème.
Il y a beaucoup de dégénérescences dans les
problèmes de flots dans les réseaux. À cause de
cela, il est parfois nécessaire de changer de
base sans changer les valeurs des variables dune
itération à lautre.
Cunningham (1976) Des résultats existent pour
guider le choix des solutions de base
réalisables dans le but déviter de telles
itérations dégénérées.
33
Énoncé de lalgorithme du simplexe
adapté (absence de bornes supérieures sur les
arcs)
0.
Générer un flot réalisable de base où T est
larbre partiel du graphe G associé à cette base.
1.
Calculer les valeurs des variables duales ?i,
i1, 2, , n en posant ?n 0 et en résolvant
c(i,j) - ?i ?j 0 ?(i,j) ? T.
La soln courante est optimale.
2.
Test doptimalité
Si c(i,j) - ?i ?j ? 0 ?(i,j) ? T, alors
terminer.
3.
Choix de larc dentrée
(i, j) arg Min c(i,j) - ?i ?j (i,j) ? T
Ajouter cet arc à larbre partiel T pour former
un circuit fondamental C dans T ? (i, j).
34
4.
Choix de larc de sortie
Choisir larc de sortie (i', j') inverse par
rapport à (i, j) dans C
(i', j') arg Min f(i,j) (i,j) ? C (i, j)
est linverse de (i, j)
5.
Pivot
Effectuer un pivot pour passer de larbre T à
larbre T ? (i, j) (i', j') avec comme
flot
f(i, j) si (i, j) ? C
f(i, j) f (i', j') si (i, j) ? C et direct p/r
à (i, j)
f(i, j) - f (i', j') si (i, j) ? C et inverse
p/r à (i, j).
Mettre T ? T ? (i, j) (i', j') et passer
à létape 1.
35
Méthode "GRAND M" Calcul dun flot réalisable de
base initial
Ajouter un sommet fictif n 1 au réseau, des
arcs (i, n 1) avec un flot f(i, n1) vi ?i ?
S, des arcs (n 1, i) avec un flot f(n1, i)
vi ?i ? P, des arcs (n 1, i) avec un flot
f(n1, i) 0 ?i ? S ? P.
1.
Tous ces nouveaux arcs sont appelés artificiels
et le flot dans ces arcs y compris un flot de
zéro dans tous les arcs originaux du réseau
constituent un flot réalisable dans un
arbre partiel du graphe G augmenté.
2.
Affecter le coût M gtgt 0 (une valeur beaucoup plus
grande que celle des c(i,j) du problème original)
aux arcs artificiels du réseau augmenté.
36
3.
Résoudre le problème de flot à coût minimum sur
le réseau augmenté par l'algorithme du simplexe
en éliminant les arcs artificiels au fur et à
mesure qu'ils sortent des arbres partiels.
4.
Lorsque l'algorithme du simplexe termine, deux
cas sont possibles
si l'arbre partiel obtenu ne contient pas d'arcs
artificiels ou
contient des arcs artificiels à flot nul,
alors cest un flot optimal du problème original.
si l'arbre partiel obtenu contient des arcs
artificiels portant un flot positif alors le
problème original n'a pas de flot réalisable.
37
Exemple
v  4, s est la source et t la destination. À
chaque arc (i, j) est associé le coût cij.
Supposons quaucun flot réalisable initial nest
disponible.
Appliquons la méthode M.
38
Considérons donc le réseau augmenté suivant où à
chaque arc (i, j) est associé le couple cij, fij
39
La valeur du flot sur chacun des arcs correspond
à une solution de base réalisable dont la base
associée correspond à un arbre partiel T
Cette soln de base est dégénérée puisque fA2
fA1 fA3 0.
40
Calcul des multiplicateurs du simplexe
41
Calcul du coût relatif des variables hors-base
Coût négatif
Nous choisissons donc la variable fs2 comme
variable dentrée avec comme cycle fondamental
42
-
-

On peut donc augmenter le flot à larc (s,2) de 0
car la soln est dégénérée (fA2 0). fA2 est la
variable de sortie.
43
Larbre correspondant à cette solution de base
réalisable est
44
Coût négatif
f21 devient variable dentrée avec comme cycle
fondamental
45
-
-


On peut donc augmenter le flot à larc (2,1) de 0
car la soln est encore dégénérée (fA1 0). fA1
est la variable de sortie.
46
(No Transcript)
47
Coût négatif
f1t est choisie arbitrairement comme variable
dentrée avec comme cycle fondamental
48
-
-



On peut donc augmenter le flot à larc (1, t) de
4 ceci est accompagné dune augmentation à fs2
et f21 et dune diminution à fsA et fAt.
49
fAt est la variable de sortie.
50
Coût négatif
f23
51
Le cycle fondamental obtenu en ajoutant la
variable dentrée f23 est
-
-


Augmentation de f23 de 0.
52
On choisit fA3 comme étant la variable de sortie.
53
Les multiplicateurs sont obtenus en posant
54
Extensions possibles

• vi gt ? vi
• i ? S i ? P

1.
Rajouter un puits fictif n 1 avec une
demande vn1

• vi - ? vi
• i ? S i ? P

et des arcs (i, n 1) ?i ? S avec comme borne
supérieure ? et un coût nul.
Lorsque lalgorithme du simplexe termine, enlever
le sommet fictif n 1 ainsi que le flot dans les
arcs (i, n 1), i ? S.
55
2.

• vi lt ? vi
• i ? S i ? P

Rajouter une source fictive n 1 avec une
disponibilité vn1

• vi - ? vi
• i ? P i ? S

et des arcs (n 1, i) ?i ? P avec comme borne
supérieure ? et un coût nul.
Lorsque lalgorithme du simplexe termine, enlever
le sommet fictif n 1 ainsi que le flot dans les
arcs (n 1, i), i ? P.
56
Présence dune borne supérieure finie sur le flot
dans un arc
3.
Rappel
à chaque itération du simplexe, le flot positif
est restreint aux arcs dun arbre partiel T
(solution de base)
fij 0 ?(i, j) ? T
un arc (i,j) ? T est candidat pour entrer dans la
base si cij -?i ?j lt 0
un arc (k, l) ? C est candidat pour sortir de la
base si
(i) (k, l) est un arc inverse dans C.
(ii) fkl devient nul le premier lorsque le flot
fij augmente.
Lorsquil y a des bornes supérieures sur le flot
de certains arcs, la méthode du simplexe conserve
toujours le vecteur de flot dans un arbre T, mais
?(i, j) ? T, ou bien fij 0 ou bien fij Kij.
57
Théorème
Soit une solution de base réalisable f (fij)
et larbre partiel T qui lui est associé tel que
?(i, j) ? T, on a
(i) fij Kij si cij -?i ?j lt 0
(ii) fij 0 si cij -?i ?j gt 0
alors f est un flot optimal.
Nouveau critère dentrée
Choisir larc (i, j) ? T qui satisfait
Min cij -?i ?j (i, j) ? T
58
Nouveau critère de sortie
(1)
Si (i, j) est larc dentrée et fij Kij, alors
le changement au flot de larc (i, j) est une
diminution de t unités où
t min fij (i, j) est direct, Kij fij (i,
j) est inverse
Larc de sortie est celui de C dont le flot
atteint le premier soit 0 soit sa borne
supérieure.
59
(2)
Si (i, j) est larc dentrée et fij 0, alors le
changement au flot de larc (i, j) est une
augmentation de t unités où
t min fij (i, j) est inverse, Kij fij
(i, j) est direct.
t unités sont ajoutées à tout arc direct de C
et soustraites à tout arc inverse de C.
Larc de sortie est celui de C dont le flot
atteint le premier soit 0 soit sa borne
supérieure.
Note
Pour trouver larbre initial de flot réalisable,
utiliser la méthode  grand M  en remarquant que
les arcs artificiels ont une borne supérieure
infinie.
Dans lexemple suivant, on associe à chaque arc
le triplet Kij, cij fij
60
v 4
Exemple
Le vecteur de flot correspond à une solution de
base réalisable dont la base associée correspond
à un arbre partiel T
61
Cette solution de base est dégénérée puisque fs1
f1t 0. Les multiplicateurs du simplexe sont
évalués
62
Les coûts relatifs des variables hors-base sont
Puisque f21 0 et f3t 4 K3t, les deux
variables sont admissibles comme variable
d'entrée.
Nous choisissons de diminuer la valeur de la
variable f3t avec comme cycle fondamental


-
-
-
63
On peut donc diminuer la valeur de f3t de 2 et
alors f23 fs2 f3t 2 et fsl flt 2.
C'est la plus grande modification possible
puisque flt atteint sa borne supérieure Klt 2.
Cette solution réalisable est
64
Larbre correspondant à cette solution de base
réalisable est
admissible comme variable dentrée f21 0.
non admissible comme variable dentrée f1t 2
K1t.
Le cycle fondamental correspondant à la variable
f21 est
65
-


On peut augmenter la valeur de f21 de 2, et alors
f21 2, fs2 4, fsl 0. L'augmentation de f21
est limitée à la fois par la variable fsl qui
devient égale à 0 et par la variable d'entrée qui
atteint sa borne supérieure.
On pourrait donc conserver la même base et
entreprendre une nouvelle itération. On préfère
considérer fsl comme étant la variable de
sortie pour retrouver la base dont l'arbre
partiel est illustré ci-dessous
66
Les coûts relatifs des variables hors-base sont
donc csl csl - ps pl 4 - 6 3 1 clt
clt - pl pt 1 - 3 -2. Donc la solution de
base est optimale puisque fsl 0 et flt 2
Klt.