?? (Dedekind)

1
?? (Dedekind)

• (ab)c a(bc), abba, a00aa, a(-a)0
• (ab)c a(bc), abba, 1aa1a, aa-11a-1a
• a(bc) ab ac
• a, b ? P ? ab ? P a, b ? P ? ab ? P, a ? F a ?
  0 ? a ? P ?? a ? P
• Dedekind cut

2
v2v2 ???, ??? ?

• e Euler (1737), Hermite (1873)
• Pi Lambert(1761), Lindemann(1882)
• Lambert r ?????? tan r, er ???
• Hermite, Weierstrass a? ?????? ea, log a ? ???
• Hilbert 7? ?? a ???, b ???????? ab? ?????.
  (Gelfond, Schneider 1934)

3
?? ??? ??????

• Decimal representation
• Limits of sequences
• Sums of sequences
• Infinite product
• Continued fractions
• Definite integral
• Etc.

4
e lim n-gt? (11/n)n

• e 2.71828183..
• log x ?x1 dt/t, log(e) 1
• e ?n1?1/n!
• e 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1(Euler)

5
?? ???

• ?????? ?? ???? ????. ????(Levi-strauss,
  Chomsky)? ??? ??? ??? ??? ??? ??.
• ? group
• ? ring
• ?? module
• ? field
• ?? algebra

6
? group

• Binary operation G x G -gt G
• Associative
• Identity a e e a a
• Inverse a a -1 e a-1 a
• ? (Z, ), (Q, ), (R, ), (Q-0,), (R-0,),
  (C-0,)
• (Z/nZ, ), ((Z/nZ)x, )
• ??? ab ba

???
7
Dihedral group

• 1,r,r2, , r n-1, s, sr, sr 2,,sr n-1

8
Symmetric group

• A1,2,3,,n
• f A -gt A, g A -gt A, g o f A -gt A
• Cycle decomposition
• (135)(478)(29)
• Sn ? ???? ???. ngt2

9
???

• HomomorphismF G -gt H, F(gh) F(g)F(h)
• Isomorphism homomorphism bijection
• ??? ??? ?? ??? ???? ??.

10
? Ring

• (R, , ) (I) (R, ) abelian group(II) x is
  associative(III) distributive law a(bc)
  ab ac
• Commutative abba
• Identity

11
?? ?

• ?? Z, ??? Q, ?? R, ??? C
• Z/nZ
• Z(?D)ab ?D a, b ? Z
• Hamiltonian a b i c j d ki2j2k2-1, ij
  -jik, jk-kjI, ki-ikj

12
?? ?

• ???? polynomial ringan x n b n-1 x n-1
  a1 x a0
• ??? (aij)(a ij) (bij) (aij bij) (a ij)
  (bij) ( ?k aik bkj)

13
?? Module

• (M, , R)(M, ) abelian group, R ringR x M -gt
  M (a) (rs)m rm sm (b) (rs)m r(sm) (c)
  r(mn) rm rn 1m m

14
??? ?

• ????
• ??? Zn?Zm?Zk?Z?Z?Z?Z
• ??? G?H
• 0 -gt A -gt B -gt C -gt0exactness
• HomologyA-gt B-gt C-gt D-gt E-gt F -gt0

15
?(Field)

• Commutative ring Fidentity e for , inverse for
  F-0
• R, Q
• Z/pZ p? ??
• R(x), Q(x), Z/pZ(x)
• Field extension K ? F C R Ri ? R

16
?

• Q Q?2
• Q(? 2,? 3)ab? 2 c? 3 d? 6
• K, FK? ??

17
??? ??

• ?? ??? ???
• (1) 2?? ??? ?? ???????
• (2) ? ?????
• (3) ?? ??? ?? ???????
• ????? ??? ?? (??????)

18
??? ??? ??

• ?? ??? ???? ? a ? F(a), F 2m ? ????.
• (I) Q(3?2), Q 3. ? 3?2? ???? ??.
• (II) ? 60???. a3 3a 10? ?? ??? ?? ??. Q(a),
  Q3??? a? ???? ?? (???? ????. ? 180, 90?)
• (III) Q(?), Q ? ??? ?? ???? ??.

19
?????? 3???
1
?
??/3
20
5???? ???

• ??, ??? ? ??
• ????? ???? ?? ??? ?? F??? ?? F, Q? ????
  ????? ??? ??. ??? ????? ?? ??? ?? solvable????.
  ??? 5? 5??? ???? solvable? ???.

21
??

• ???? ??? ???? ????? ??????
• ???? ??? ???? ?????
• ???? ??? ??? ?????
• ?, ?, ??, ?? ??, ??, ?? ??? ?????