Grandezze omogenee

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Grandezze omogenee

• La Misura

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• Misurare una grandezza significa confrontarla con
  unaltra scelta come ununità di misura e
  associare ad essa, mediante il confronto, un
  numero che permetta di ricostruire la grandezza
  data.

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U
A
B
AB3U 3 è la misura di AB rispetto ad U
Ad ogni grandezza AB possiamo associare una
misura?
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Ma se con la misura U non ricopriamo interamente
AB.
U
B
A1
B1
A
AA1 lt AB lt AB1
3U lt AB lt 4U
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Dividiamo U in parti più piccole , ad esempio
in dieci parti. U1U/10
U1
A1
B1
A
B
AB36U1 3,6 U
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Ma se nemmeno con la misura U1 ricopriamo
Interamente AB.
U1
A2
B2
A1
B1
A
B
AA1 lt AA2 lt AB lt AB2 lt AB1
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• Possiamo continuare questo procedimento e possono
  verificarsi due casi
• Il procedimento ha termineabbiamo trovato la
  misura di AB rispetto un sottomultiplo di U
• Ad esempio AB3,678 U
• Il procedimento non ha termine.

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• Nel secondo caso determino due insiemi di
  grandezze
• - AA1, AA2, AA3, AA4,.
• AB1, AB2, AB3, AB4,.

A2
A3
B2
B3
B1
B
A1
A
Tali che le misure delle prime sono tutte più
piccole delle misure delle seconde ( infatti i
punti A1, A2, A3precedono tutti i punti B1, B2,
B3.)
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• Quale sarà la misura di AB?

Un numero tale da essere o il massimo delle
misure della prima classe o il minimo delle
misure della seconda classe.
A2
A3
B2
B3
B1
B
A1
A
Esiste tale numero?
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• Richiamo Postulato di Dedekind (continuità
  della retta)
• Due parti complementari e separate di una retta
  hanno sempre lelemento di separazione
• Complementari lunione da tutta la retta
• Separate ogni punto della prima precede i punti
  della seconda
• Elemento separatore lultimo punto della prima
  parte o il primo della seconda

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• Postulato di Dedekind per le grandezze
• Divisa una classe di grandezze in due insiemi
  complementari e separati, o il primo insieme ha
  massimo o il secondo insieme ha minimo.

A2
A3
B2
B3
B1
B
A1
A
Quindi la misura di AB esiste ed è o la grandezza
massima del primo insieme o la grandezza minima
del secondo.
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• Questo numero può essere
• Un numero razionale
• Un numero irrazionale

Ad ogni grandezza quindi possiamo associare un
numero reale che è la sua misura rispetto ad una
unità di misura U. ABrU con r numero reale
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Grandezze omogenee

• Grandezze commensurabili e incommensurabili

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• Def. Due grandezze aventi un sottomultiplo in
  comune si dicono commensurabili.
• AB/nCD/m con n e m naturali

In questo caso ABn/m CD Ovvero se due grandezze
sono commensurabili la misura di una rispetto
allaltra è un numero razionale.
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• Teorema
• Il lato del quadrato e la sua diagonale non sono
  commensurabili.

d
l
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• Def. Due grandezze (della stessa specie) si
  dicono incommensurabili quando non hanno
  sottomultipli comuni.
• In questo caso la misura di una rispetto
  allaltra è un numero irrazionale
• AB i CD (i numero irrazionale)