Uno sguardo sull

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Uno sguardo sullinfinito matematico

• a cura della prof. Monica Secco

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Che cosè linfinito?

• Quando proviamo a dare una definizione di
  infinito ci accorgiamo che per farlo utilizziamo
  la negazione del finito

linfinito è ciò che non è finito, non ha
limite né confine
in-finito, un-endlich, a-peiron sono tutti
termini che includono in sé lidea della negazione
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• Per la sua natura, linfinito è stato fin
  dallantichità oggetto di studio di filosofi e
  teologi e solo in tempi relativamente recenti,
  precisamente nellOttocento e nel Novecento, ha
  trovato una sistemazione rigorosa in matematica.

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• Eppure fin dai tempi dellantica Grecia i
  matematici si erano accorti che non si poteva far
  a meno di imbattersi nellinfinito anche quando
  si trattava di questioni matematiche
  apparentemente molto concrete e finite, quali ad
  esempio quelle geometriche.

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• Immaginiamo per un attimo di trovarci
  nellantica Calabria e precisamente a Crotone
  alla scuola di Pitagora di Samo, celebre filosofo
  e matematico del VI secolo a.C.

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• Pitagora afferma che alla base di tutte le cose
  cè il numero

ogni cosa in natura è composta da numeri naturali
e il rapporto tra numeri regola larmonia
dellUniverso.
Linfinito viene guardato con sospetto, come
qualcosa di incompiuto, non terminato e pertanto
non armonioso.
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• In particolare Pitagora pensa che un punto abbia
  unestensione finita e che un segmento sia
  formato da un numero finito di punti.

A
B
8

• Quindi secondo Pitagora il rapporto tra due
  segmenti deve essere per forza uguale al rapporto
  tra i due numeri interi che indicano quanti punti
  sono contenuti nelluno e nellaltro segmento.

Questo si esprime dicendo che tutti i segmenti
sono grandezze commensurabili, ammettono cioè
un sottomultiplo comune (in questo caso il
punto).
Esemplificando se AB contiene 4 punti e CD ne
contiene 9 il rapporto delle loro lunghezze sarà
B
A
C
D
4
AB

9
CD
9

• Accade però limprevedibile un discepolo della
  scuola, tale Ippaso di Metaponto, applicando il
  teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo
  isoscele, trova che la diagonale e il lato del
  quadrato non sono grandezze commensurabili

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• In effetti il rapporto tra la diagonale ed il
  lato di un quadrato non è un numero razionale

esso vale ?2 che è un numero che non è
esprimibile sotto forma di frazione, ma ha
infinite cifre che non si ripetono periodicamente
dopo la virgola.
d
d
??2

l
l
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• Era il crollo di tutta la dottrina pitagorica

era stata scoperta non solo lesistenza di numeri
non razionali, ma anche quella di un segmento
(la diagonale del quadrato di lato unitario) la
cui lunghezza era espressa da un numero che dopo
la virgola era infinitamente lungo.
1, 414212562..
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• La scoperta si abbatte come una bufera sui
  pitagorici

Ippaso viene scacciato dalla scuola (secondo
alcuni condannato a morte) e viene proibito a
tutti di divulgare quella che agli occhi del
maestro è considerata una eresia.
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• Ma Pitagora non fu lunico esponente dellantica
  Grecia a scontrarsi con il concetto di infinito.

Restando sempre nella Magna Grecia dopo Pitagora
un altro filosofo, Zenone di Elea, nel V secolo
a.C., fece al proposito delle considerazioni
interessanti, che avrebbero posto interrogativi
rimasti irrisolti per molti secoli.
Elea
Zenone
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Zenone, la lenta tartaruga e il piè veloce
Achille
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• Zenone immaginò una gara tra il pelide Achille,
  notoriamente veloce, e una lentissima tartaruga.

I due concorrenti devono percorrere solo un
metro ed Achille allora, conscio della propria
superiorità (proprio come nella storia di Esopo
della lepre e della tartaruga) concede un
vantaggio di mezzo metro alla tartaruga.
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• Mentre Achille percorre il mezzo metro che ha
  dato di vantaggio alla tartaruga, questa avrà nel
  frattempo percorso un altro tratto di strada nel
  tempo necessario ad Achille per coprire questo
  piccolo tratto, la tartaruga sarà avanzata di un
  altro piccolo tratto e così via allinfinito,
  cosicchè Achille non potrà mai raggiungere
  lanimale.

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• Questo paradosso creava non pochi problemi. Era
  chiaro che Achille avrebbe potuto facilmente
  raggiungere la tartaruga, essendo molto più
  veloce di lei.

Daltro canto il ragionamento di Zenone sembrava
corretto ci si trovava davanti ad una somma
infinita di segmenti che leroe greco doveva
percorrere.
Come si poteva risolvere il problema?
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• Per sciogliere questo dilemma, bisognerà
  aspettare di arrivare al 1700 quando con
  lintroduzione in matematica del concetto di
  serie, cioè di somma di infiniti termini, si
  potrà dimostrare che la somma di infiniti termini
  non sempre dà un risultato infinito.

?
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• Molto più tardi di Zenone, nel 1600, fu un
  grande uomo di scienza italiano a imbattersi nei
  paradossi dellinfinito

Galileo Galilei (1564-1642)
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• Il più celebre paradosso sullinfinito esaminato
  da Galileo è quello dei quadrati perfetti

egli considera i numeri naturali (che sono
infiniti) e linsieme dei loro quadrati, che ne
è un sottoinsieme proprio e mette in
corrispondenza ogni numero naturale con il
proprio quadrato si può facilmente verificare
che la corrispondenza è biunivoca
0
1
2
3
4
5
6

0
1
4
9
16
25
36
21

• Quindi i quadrati, pur essendo una parte
  dellinsieme dei naturali, sono tanti quanti i
  numeri naturali.

Questo contraddice il fatto che una parte è
minore del tutto, asserzione che era stata posta
da Euclide alla base dei suoi Elementi (libro
I)
Euclide
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Limpossibilità di spiegare questo fatto
convinse Galilei ad abbandonare il tentativo di
investigare sullinfinito, come scriverà lui
stesso
..queste sono di quelle difficoltà che derivano
dal discorrer che noi facciamo al nostro
intelletto finito intorno allinfinito, dandogli
quegli attributi (maggiore, minore, uguale) che
noi diamo alle cose finite e terminate, il che
penso che sia inconveniente
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• Galileo quindi asserisce limpossibilità per
  luomo di indagare linfinito dal punto di vista
  matematico.

Chi affronterà nuovamente la questione in modo
del tutto nuovo e rivoluzionario sarà un geniale
matematico tedesco del 1800
Georg Cantor
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verso linfinito e oltre
ovvero gli infiniti infiniti di Georg Cantor
25

• Nel 1872 il matematico tedesco Dedekind aveva
  dato la seguente definizione di insieme infinito

un insieme è infinito se può essere messo in
corrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme proprio
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• Cantor riprende questa definizione per cui
• per gli insiemi infiniti una parte può
• essere uguale al tutto

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• Si spiegano così i paradossi sui numeri naturali
  che avevano crucciato anche Galilei

i numeri quadrati possono essere tanti quanti
i numeri naturali, perché tra gli elementi dei
due insiemi è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca.
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• Consideriamo ora linsieme Z dei numeri interi

, -3,-2,-1,0,1,2,3,
sembrerebbe a prima vista più grande
dellinsieme N dei naturali
0,1,2,3,
Cantor dimostra invece che tra gli elementi dei
due insiemi si può stabilire una corrispondenza
biunivoca e quindi i due Insiemi contengono lo
stesso numero di elementi
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• Cantor dimostra inoltre che anche tra gli
  elementi di N e di Q, linsieme dei razionali,
  si può stabilire una corrispondenza biunivoca

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• I risultati a cui perviene Cantor nei suoi studi
  sullinfinito sono sorprendenti anche per lui
  stesso

quando dimostra che i punti dello spazio sono
tanti quanti quelli di un segmento scelto
quanto piccolo si voglia, la scoperta lo coglie
talmente di sorpresa che scrive allamico
Dedekind
Lo vedo, ma non ci credo!
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• Cantor si spinge oltre con unaffermazione
  sbalorditiva

afferma che non esiste un unico infinito, come si
era fino ad allora pensato.
Nel 1874 dimostra infatti che i punti di un
segmento sono più dei numeri naturali e che di
conseguenza i numeri reali sono di più dei numeri
naturali.
Cantor giunge a concludere che esistono diversi
infiniti, anzi infiniti modi di essere
infinito.
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Lalbergo del Paradiso

• Per illustrare il fatto che un insieme infinito
  può avere tanti elementi quanti un suo
  sottoinsieme proprio, si può considerare la
  situazione descritta dal matematico Hilbert
  nellalbergo del Paradiso.

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• Lalbergo del Paradiso ha un numero infinito di
  stanze e perciò può ospitare un numero infinito
  di clienti.

Supponiamo che lalbergo sia al completo e
cioè che ogni camera abbia un ospite.
Arriva un nuovo cliente che chiede una stanza.
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• Viene chiamato allora il direttore dellalbergo
  per risolvere la situazione e poter accogliere il
  nuovo cliente

Il direttore risolve così la situazione
sposta lospite della camera 0 nella camera 1,
quello della camera 1 nella camera 2, quello
della camera 2 nella camera 3 e così via
0
1
2
3
35

• In questo modo si è liberata la camera 0 che può
  essere occupata dal nuovo ospite.

0
36

• Anche se al completo lAlbergo del Paradiso può
  addirittura accogliere uninfinità di nuovi
  ospiti

basta infatti spostare tutti gli ospiti nelle
stanze pari, liberando così una infinità di
stanze quelle dispari!
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• Le conclusioni a cui era giunto Cantor nei suoi
  studi sullinfinito erano sorprendenti per lui e
  tanto più per la comunità scientifica a lui
  contemporanea.

Non meraviglia quindi il clima di scetticismo e
di ostilità, salvo qualche eccezione, con cui
vennero accolti i suoi lavori.
Cantor venne isolato e criticato aspramente da
eminenti matematici del tempo che gli negarono
la possibilità di avanzare nella carriera
universitaria.
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• Cantor non riuscì mai ad ottenere una cattedra
  nella prestigiosa università berlinese
  soprattutto per lostilità di alcuni influenti
  colleghi, tra cui il matematico Kronecker che
  riteneva le sue teorie prive di senso.

Leopold Kronecker
Cantor finì i suoi giorni in una clinica
psichiatrica, in ristrettezza economica e
abbandonato alle sue crisi depressive che si
manifestavano sempre più frequentemente.
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• Tra le poche voci che si levarono a difendere ed
  apprezzare il lavoro di Cantor citiamo quella
  delleminente matematico David Hilbert che
  giudicò la sua teoria sullinfinito un prodotto
  sbalorditivo del pensiero umano

David Hilbert
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e quella di Bertrand Russel che disse
la soluzione delle difficoltà che in
passato circondavano linfinito è probabilmente
la massima conquista che la nostra epoca ha da
vantare
Bertrand Russel