Master Intervenci

1
Master Intervención Psicosocial
2
Análisis de la regresión
3
Modelos de análisis estadístico

• I. Conceptos básicos.
• II. Regresión múltiple

4
Parte I. Conceptos básicos
5
Análisis estadístico

• En un sentido amplio, se refiere a todos los
  métodos que describen las relaciones que se dan
  entre diversas variables o dimensiones de
  variación.

6
Modelos de análisis estadístico y diseño de
estudio
7
Conceptos básicos

• Datos observaciones realizadas de los individuos
  o grupos de individuos
• Escalas de medida no métricas (nominales y
  ordinales) y métricas (intervalos y de razón)
• Diseños estrategias de recogida de datos
• Estrategia del diseño transversal o longitudinal
• Modelos de análisis sistemas o ecuaciones que
  permiten inferir el tipo de relación entre los
  datos
• Clases de relaciones asociativas y causales

8
A propósito de los datos (1)
9
Elaboración de datos

• Observación Escala
  Dato científico
• directa de medida
  o valor
  
  numérico
• La conversión de una observación directa en
• un dato científico se realiza mediante la
• aplicación de una adecuada escala de medida.

10
Reunión de datos

• Sistemas de reunión de datos
• Tablas
• Gráficos

11
Tablas

• Las tablas se usan en los informes
  científicos para resumir los datos u otra
  información que no puede ser presentada de forma
  conveniente en la narrativa del texto.
  

12
Acerca de las tablas

• Las tablas deben tener un título que informe
  claramente sobre su contenido como por ejemplo
  preferencias del partido político. Las tablas
  estadísticas deberían informar también sobre el
  número de observaciones que se incluyen
  (frecuencia). La parte superior de la columna del
  lado izquierdo de la tabla es referida como
  título de filas e informa sobre el contenido de
  las fila. El cuerpo de la tabla contiene los
  datos de interés. En el ejemplo propuesto se
  muestra el número de individuos que prefieren un
  partido político. ..//..

13

• Las tablas que se refieren a una sola variable
  son conocidas por representaciones univariadas y
  las que informan sobre dos variables,
  representaciones bivariadas. En la
  representaciones bivariadas una variables está
  asociada a las filas y la otra a las columnas y
  se conocen, también, por tablas de contingencia.
  Ejemplo de tabla bivariada que relaciona
  preferencia de un partido político y afiliación
  religiosa (en paréntesis están los porcentajes).

14
Ejemplos (tablas)
15
Ejemplos (tablas)
16
Gráficos

• Con los gráficos se consigue una representación
  visual de los datos, por lo que es un
  procedimiento útil a la investigación. Los
  gráficos captan mejor la atención del lector,
  permite clarificar los resultados y facilitar su
  interpretación

17
Histograma de frecuencias o gráfico de barras

• El histograma de frecuencias es un gráfico
  que muestra la distribución de frecuencias de una
  variable de intervalo. El eje horizontal del
  histograma o gráfico de barras presenta los
  intervalos y el eje vertical la cantidad de
  puntuaciones de cada intervalo (frecuencia). La
  altura de la barra indica la frecuencia de casos
  de cada categoría. El gráfico siguiente muestra
  la cantidad de amigos reportados por estudiantes
  de un College americano.
  ..//..

18
Cantidad de amigos reportados por estudiantes de
un College
19

• En el segundo ejemplo, se muestra un gráfico de
  barras sobre el efecto de dos drogas
  antiansiolíticas. Se trata de una escala nominal
  y la diferencia entre el primer y segundo panel
  estriba en la forma de representar las unidades
  en el eje vertical (unidades pequeñas en el
  primer panel y punto cero y unidades grandes en
  el segundo). Nótese que la gran diferencia entre
  las dos drogas que se observa en el primer panel
  y que desaparece en la segunda representación.

20
Efectos de dos psicofármacos sobre la ansiedad
21
Polígono de frecuencias

• Es una forma alternativa de representa el
  histograma de frecuencias. Así, en lugar de
  barras se utilizan líneas que conectan las
  frecuencias de los intervalos de clase. En el
  ejemplo siguiente se muestra la misma información
  sobre la cantidad de amigos, pero utilizando el
  sistema de líneas y no de barras. De igual modo,
  se tiene el gráfico de la cantidad de divorcios
  al aprobarse correspondiente ley en el Estado de
  Nebraska.

22
Cantidad de amigos reportados por estudiantes de
un College
23
Cantidad de divorcios antes y después de su
promulgación en el Estado de Nebraska
24
Escalas de medida y datos (2)
25
Cuantificación de las variables

• Las variables se cuantifican al asignar valores
  numéricos a los atributos o características de
  los individuos, objetos y hechos de acuerdo a
  reglas.
• El proceso de asignación de los números de
  acuerdo a reglas se denomina medida.

26
Escalas de medida

• Las reglas particulares de asignación de números
  a las variables se definen como escalas de
  medida.
• Clasificación
• Nominal
• Ordinal
  débiles
• Escalas
• De intervalo
• De razón
  fuertes

27
Escalas de medida

• Nominal 1 varón 2
  hembra
• Ordinal
• 1
  2 3
• De intervalo
• 15 16 17
  18 19 20 21 22 23
  
• De razón
• 0 1 2
  3 4 5 6 7 8
  

28
Ejemplos de escalas

• Nominal los valores sólo representan
  categorías o nombres (género, raza, religión,
  etc.)
• Ordinal los valores representan el orden
  en función del grado como actitud, preferencia,
  etc.
• De intervalo la distancia entre los
  valores se mantiene constante como la
  temperatura, respuestas correctas, etc.
• De razón cuando además de la constancia
  del intervalo hay un valor cero que coincide con
  la ausencia del atributo.

29
Escalas y naturaleza de los datos

• Escala Tipo
  Dato
• Nominal Cualitativa
  No-paramétrico
• Ordinal Cuantitativa
  No-paramétrico
• De intervalo Cuantitativa discreta
  Paramétrico
• De razón Cuantitativa continua
  Paramétrico

30
Naturaleza de los datos y prueba estadística

• Datos de escala Prueba estadística
• Nominal Prueba
• Ordinal no paramétrica
• De intervalo Prueba no
  paramétrica y
• De razón paramétrica

31
Variable dependiente

• Datos métricos o gaussianos
• Datos no métricos o no gaussianos

32
En torno a los diseños (3)
33
Concepto de diseño

• El diseño es una estrategia particular de
  recogida de datos y es función de los objetivos o
  hipótesis propuestos.
• Los diseños son transversales y longitudinales,
  según la no presencia o presencia de la dimensión
  temporal en el estudio.

34
A modo de resumen

• Cuál es la relación entre diseño (estudio)
  matriz de datos y modelo de análisis?
• Cuál es la estructura de cualquier investigación
  científica?

35
Estructura de la investigación en ciencias
sociales

• Diseño Datos
  Modelo análisis
• Problema
  Estadístico
  
• Hipótesis
  Estimación
• Variables
  Inferencia
• Modelo de escala

36
A modo de resumen

• Se ha visto la secuencia entre las tres fases o
  momentos de una investigación diseño, datos y
  análisis.
• Es importante conocer la estructura del diseño,
  así como los distintos procedimientos o tipos de
  investigación

37
Estructura del diseño (4)
38
Tipología del diseño de investigación

• Diseños observacionales
• Diseños correlaciones o predictivos (estudios de
  encuesta)
• Diseños cuasi-experimentales
• Diseños experimentales

39
Naturaleza de los datos (variable dependiente)

• Datos métricos o cuantitativos (de distribución
  gaussiana o normal)
• Datos no métricos o categóricos (de distribución
  no-gaussiana)

40
Estrategia del diseño y modelo de
análisisDiseños experimentales y
cuasi-experimentales
41

• 
  Diseño
• Datos cuantitativos Estrategia
  Datos cualitativos
• ANOVA Transversal
  Longitudinal TC
• Grupos
  Medidas
• AR paralelos
  repetidas Modelo log-lineal
• Factorial
  Cross-over
• MANOVA
  Regresión
• Medidas
  Antes-después logística
• repetidas
  
• 
  Cohortes
• Factorial
• mixto
  Split-plot

42
Diseños no experimentales

• En el contexto no experimental (experimento
  verdadero y cuasi-experimentales) los diseños
  suelen ser observacionales y correlacionales.Los
  diseños correlacionales se basan en el análisis
  de múltiples variables con el propósito de
  estimar la magnitud de cambio entre ellas.

43
Sigue

• El objetivo es poder predecir la variable
  dependiente a partir de la o las variables
  predictoras o independientes. También se pretende
  explicar la proporción de variación de la
  variable dependiente por la o las variables
  independientes.

44
Modelos de análisis estadísticos (5)
45
Cuestión!

• Una vez recogidos los datos, qué hacer con
  ellos?
• A esta cuestión cabe responder lo siguiente los
  datos se analizan de acuerdo con modelos
  estadísticos adecuados a fin de derivar
  consecuencias teóricamente interpretables es
  decir, se obtienen resultados que han de ser
  interpretados.

46
El modelo lineal general
47
Modelo estadístico general

• Y f(X) g(E)
• V.Dep. Parte fija Parte aleatoria
  

48
Concepto

• El modelo estadístico, o ecuación de carácter
  lineal, asume que una observación Y es el
  resultado de la combinación aditiva de alguna
  función f de variables fijas y de alguna función
  g de componentes aleatorios, y que tanto f como g
  pueden tomar parámetros conocidos o desconocidos.
  ..//..

49
continuación

• Considerada esta ecuación como un modelo
  estadístico general, se tiene que cualquier
  observación es la suma de dos partes o
  componentes una parte fija o determinista, f(X),
  y una parte aleatoria desconocida, g(E).

50
Clases de relaciones entre variables o hipótesis
(6)
51
Clases de hipótesis

• Asociativa
• Hipótesis
• Causal

52
Hipótesis asociativa

• X Y
• Los valores de la variable X covarían con los
  valores de la variable Y

53
Ejemplos (hipótesis asociativas)

• a) Hay una correlación entre el estilo de
  dirección y la moral de los empleados
• b) La visualización de los dibujos animados
  está asociado con el comportamiento agresivo de
  los niños.
• c) La percepción de culpabilidad o inocencia de
  los acusados está asociada a los argumentos
  legales.
  ..//..

54

• d) El consumo de heroína es función de la
  clase social.
• e) El consumo de tabaco está positivamente
  relacionado con el nivel de alerta en sujetos
  humanos.
• g) Los niños sensibles al ritmo progresan más
  en el aprendizaje de lectura.

55
Hipótesis causal

• X Y
• Los valores de la variable X determinan los
  valores de la variable Y

56
Ejemplos (hipótesis causales)

• a) Leer dos veces una lista de ítems favorece
  su recuerdo.
• b) La intensidad de un estímulo determina una
  respuesta de discriminación más rápida.
• c) A mayor incentivo más rápido es el
  aprendizaje de una actividad académica.
• 
  ..//..

57

• d) El castigo genera respuesta de evitación.
• e) La frustración es causa de conductas
  agresivas.
• f) El nivel de alerta aumenta la efectividad
  del rendimiento escolar.
• g) El ejercicio aumenta el rendimiento en
  una actividad motora.

58
Contextos de las hipótesis

• Hipótesis
  Contexto
• 
  científico
• asociativas
  correlacional
• causales de
  manipulación

59
Universo de las hipótesis

• Hipótesis de investigación
• Hipótesis estadística

60
Hipótesis de investigación

• Se plantean por intereses teóricos o sustantivos
• Definen cómo se relacionan las variables
• Suelen ser asociativas y causales

61
Hipótesis estadísticas

• Las hipótesis estadísticas se establecen mediante
  características de las poblaciones de origen. Las
  poblaciones de origen están definidas por
  parámetros, que son valores de la distribución
  fijos pero desconocidos. Los parámetros
  poblacionales se asemejan a los estadísticos de
  muestra y se estiman a partir de estos últimos.

62
continuación

• Mediante los datos de muestra podemos aceptar o
  rechazar, con cierto grado de confianza
  determinado numéricamente, una hipótesis hecha
  sobre una población determinada. Tal proceso se
  conoce como contraste de hipótesis estadísticas o
  prueba de significación estadística.

63
Prueba de hipótesis estadística

• En investigación social, interesa más los
  parámetros asociados a la parte fija del modelo
  estadístico porque representan la magnitud de un
  cambio (grado de asociación entre las variables)
  o el efecto causal (el impacto de una variable
  sobre otra). De ahí, el propósito de cualquier
  prueba de hipótesis es determinar el nivel de
  significación de estos parámetros.

64
Hipótesis estadística sobre un parámetro
individual

• H0 parámetro 0
• H0 ß 0

65
O bien, sobre los parámetros del modelo

• En el modelo de la regresión múltiple, se asume
  que los distintos coeficientes (pendientes) son
  cero
• H0 b1 b2 ?p 0

66
en consecuencia,

• Si se demuestra, como resultado de la prueba, que
• H0 bi 0, entonces no hay relación lineal
  entre la variable Xi e Y.
• En caso contrario, se tiene
• H1 bi ? 0, se infiere que hay una relación
  lineal entre ambas v ariables.

67
Hipótesis nula H0

• En teoría estadística se asume, inicialmente, la
  no significación de los parámetros, siendo este
  supuesto la hipótesis que se somete a prueba y es
  conocida por hipótesis nula (H0). Si se demuestra
  que este supuesto no es aceptable, se recurre a
  la hipótesis alternativa (H1) como la explicación
  más plausible de los datos.

68
Prueba de la hipótesis estadística o prueba de
significación

• La prueba de significación estadística contrasta
  la hipótesis de nulidad con los datos del
  estudio. A partir del resultado de la prueba de
  significación, se procede a la toma de decisiones
  estadísticas. El resultado de la prueba consiste,
  de forma sucinta, en la aceptación o no de la
  hipótesis de nulidad que asume la no-relación
  entre la variable independiente (predictora) y la
  variable dependiente (criterio).
  ..//..

69

• Cabe matizar, no obstante, que entre la variable
  independiente y dependiente pueden darse
  relaciones de asociación o de causalidad, de modo
  que la posible implicación de una variable sobre
  otra depende del diseño utilizado (correlacional
  o experimental). La relación de asociación es la
  magnitud de cambio que se da entre dos variables,
  mientras que la relación de causalidad es el
  tamaño del impacto de una variable sobre otra.

70
Inferencia de la hipótesis de nulidad

• La inferencia de la hipótesis nulidad nos lleva a
  aceptar que la variable independiente no está
  relacionada con la dependiente (inferir su
  efecto). En caso contrario, se toma la decisión
  en favor de un modelo alternativo asumiendo, como
  explicación más plausible (no exenta de riesgo),
  el modelo de una relación efectiva entre ambas
  variables. ..//..

71

• Al tomar esta decisión, se corre el riesgo de que
  sea falsa. Este riesgo se define, en teoría
  estadística, en términos de probabilidad y es
  conocido por nivel de significación. El nivel de
  significación describe el grado de credibilidad
  que merece la hipótesis considerada.

72
Errores en el rechazo o aceptación de H0

• Situación actual de la H0
• Decisión Verdadera
  Falsa
• Rechazo H0 Error Tipo I No
  error
• Aceptación H0 No error
  Error Tipo II

73
Error Tipo I y error Tipo II

• A) Error Tipo I o decisión positiva falsa se
  comete al rechazar la hipótesis de nulidad cuando
  es verdadera es decir, cuando se toma una
  decisión positiva, en favor de la existencia de
  un efecto cuando en realidad no existe (falsa
  alarma).
• La probabilidad de cometer este error es el
  nivel de significación o valor a de la prueba
  estadística. ..//..
  

74

• B) Error Tipo II o decisión negativa falsa se
  comete cuando la prueba lleva a la aceptación de
  una hipótesis de nulidad falsa. Se trata de no
  aceptar el hecho de un efecto de la variable
  independiente cuando en realidad ocurre. El error
  de Tipo II se define por la probabilidad ß y está
  asociado inversamente con la probabilidad a y
  directamente con la potencia de la prueba.

75
Decisión estadística y error

• Resultado Probabilidad
  Decisión
• de la prueba de azar
• estadística a 0.05
• Significativo p lt a
  NA(H0)
• H0
• No significativo p gt a
  A(H0)

76
Inferencia de H0

• Probabilidad 1 Región de
• de azar
  decisión
• Si p gt 0.05 A(H0)
• a
  0.05
• Si p lt 0.05 NA(H0)
• 0

77
Sobre la discusión de los resultados
78
Concepto

• Las actividades propias de la discusión de los
  resultados son las siguientes
• a) Inferir a partir de la prueba estadística las
  consecuencias de carácter teórico.
• b) Interpretar estas consecuencias a la luz de
  las hipótesis formuladas
• c) Establecer el alcance de los resultados
  mediante la generalización de los mismos

79
Inferencia teórica de la hipótesis

• Supongamos que la prueba de la hipótesis
  estadística nos lleva a no aceptar la hipótesis
  de nulidad. En este caso, se suele inferir, como
  la más adecuada, la hipótesis alternativa que
  coincide con la hipótesis de trabajo o
  investigación. Está claro que esta inferencia
  está sujeta a un riesgo de error (definido en
  términos de probabilidad).

80
Interpretación de los resultados

• Las actividades propias de la interpretación de
  los resultados son
• a) Examinar y explicar los datos por la
  hipótesis de investigación.
• b) Extraer los contenidos científicamente
  significativos.
• c) Interpretar los resultados en términos de
  hipótesis alternativas o rivales.

81
Generalización de los resultados

• En la generalización se evalúa el alcance de los
  resultados, es decir, para qué poblaciones son
  vigentes los supuestos teóricos probados. La
  generalización de los resultados suele
  realizarse, por lo común, con la población de
  sujetos.

82
Parte II. Modelos de la regresión múltiple y otros
83
Regresión múltiple
Modelos de la Regresión múltiple
No Lineal
Lineal
Lineal
V. Dummy
Interac.
Polinó-mica.
Raíz Cuadrada
Log-lineal
Recípro-ca
Expo-nencial
84
Modelo lineal de la regresión múltiple

• El modelo lineal de la regresión es un caso
  especial Modelo Lineal General. De este modo, el
  componente determinista (parte fija del modelo)
  está formado por un conjunto de variables objeto
  de estudio en la investigación (predictores) y el
  componente aleatorio por un término de error
  (falta de ajuste).
  ..//..

85

• El análisis de la regresión múltiple es utilizado
  cuando se pretende predecir una variable
  dependiente continua de un conjunto de variables
  independientes (predictores). Cuando la variable
  dependiente es dicotómica, se aplica, en este
  caso, la regresión logística .
• Las variables independientes usadas en la
  regresión pueden ser cuantitativas o cualitativas
  (dummy). ..//..

86

• Por lo general, el análisis de la regresión
  múltiple utiliza variables que son propias de los
  contextos naturales, en oposición a variables que
  son manipuladas experimentalmente, aunque es
  posible utilizar la regresión con esta clase de
  variables.
  ..//..

87

• Cabe tener en cuenta, por último, que con el
  análisis de la regresión (en sentido estricto) no
  pueden inferirse relaciones causales entre las
  variables. Por lo general, la terminología es la
  siguiente X predice a Y, y no puede decirse que
  X causa a Y.

88
Modelo de la regresión simple

• Y b0 b1X1 e
• Observación
• Parte fija Parte
  aleatoria
• (determinista) (error)

89
Descripción

• En el modelo de la regresión simple, Y denota la
  variable dependiente (criterio), X la variable
  explicativa, b0 es el intercepto, b1 (la
  pendiente) denota el parámetro estimado de la
  variable X y e es el término de error
  aleatoriamente distribuido. Constituye, con el
  modelo de la regresión múltiple, uno de los
  modelos más utilizados en ciencias sociales.

90
Representación del modelo en forma condensada

• Y1 b0 b1X11 e1
• Y2 b0 b1X21 e2
• ...............................
• Yn b0 b1Xn1 en
• y Xß e (forma
  matricial
• 
  compacta)

91
Modelo de la regresión múltiple

• Y b0 b1X1 b2X2 ... bpXp e
• Forma simplificada
• Y b0 SpbpXp e

92
Modelo de la regresión múltiple

• Expresa un modelo de la regresión de p variables
  como una serie de ecuaciones.
• Las p ecuaciones agrupadas en un sistema nos dan
  el modelo lineal general familiar.
• Los coeficientes ? son conocidos como
  coeficientes de la regresión parciales.

93
Representación del modelo en forma condensada

• Y1 b0 b1X11 b2X21 ... bpXp1 e1
• Y2 b0 b1X12 b2X22 ... bpXp2 e2
• .................................................
  ...............
• Yn b0 b1X1n b2X2n ... bpXpn en
• y X ?
  e

94
Modelos de la regresión de p variables
?1 - Intercepto
?2??p - Coeficientes de pendiente parciales de la regresión
?i - Término residual asociado con Ia i observación
95
Supuestos del modelo de la regresión

• Normalidad
• Linealidad
• Homoscedasticidad
• Multicolinealidad y singularidad

96
Normalidad

• En principio, cabe pensar que los datos tienen
  una distribución normal. Es posible verificar
  este supuesto, construyendo histogramas y
  comprobando la distribución de los datos. A
  veces, en los histogramas se incluye una línea
  que representa la forma de la distribución con la
  que es posible comprobar si la distribución de
  los datos de desvía de esta línea.

97
En otras palabras

• Los valores de la variable dependiente son
  normalmente distribuidos para cada posible
  combinación de los niveles de las variables X.

98
Distribución normal de la variable edad
99
Linealidad

• Se asume una relación lineal recta entre las
  variables independientes y la dependiente. En la
  práctica, este supuesto no suele verificarse,
  dado que los procedimientos de regresión múltiple
  no suelen ser gravemente afectados por leves
  desviaciones de este supuesto. Si la curvatura de
  la relación es evidente, se pueden transformar
  las variables o recurrir de forma explícita a
  componentes no lineales.

100
Definición de modelo lineal

• Los modelos en que todos los parámetros
  (b0,b1,,bp) tienen exponentes de uno se
  denominan modelos lineales.
• Los modelos cuyos parámetros (b0,b1,,bp) tienen
  exponentes con valores distintos de la unidad se
  denominan modelos no-lineales.

101
Línea de ajuste del peso a la altura libras/pulgad
as
102
Líneas de Regresión (línea de mejor ajuste)
103
Cambio en la línea de mejor ajuste
104

• Los supuestos de normalidad, linealidad y
  homoscedasticidad pueden ser examinados al
  inspeccionar el gráfico de dispersión con los
  valores predichos de Y (Y ) en el eje X y los
  residuales (Y-Y) en el eje Y.

105
Homoscedasticidad

• Las variancias de los valores de la variable
  dependiente (datos del estudio), para cada
  posible combinación de niveles de la variable X,
  son iguales es decir, la variancia de los
  residuales es constante.

106
Multicolinealidad

• La multicolinealidad significa que las variables
  independientes están correlacionadas. Supóngase
  que la altura de una persona tiene dos
  predictores peso en libras y peso en kilos.
  Estos dos predictores son redundantes, ya que el
  peso es único independiente de si se mide con
  libras o kilos.
  ..//..

107

• Cuando ocurre esto significa que al menos una de
  las variables predictoras es totalmente
  redundante con otras. Los indicadores
  estadísticos de este fenómeno es conocido por
  tolerancia.

108
Relación entre variables independientes

• De tolerancia el grado en que un predictor puede
  ser predicho por otros predictores. La tolerancia
  es igual a 1 cuando las variables independientes
  no están relacionadas.

109

• Singular De igual modo, la relación es singular
  cuando un predictor es perfectamente predecible
  de otros predictores (tolerancia igual a cero).

110
Resumen supuestos del modelo

• Normalidad
• - Y valores son normalmente distribuidos por
  cada X
• - La distribución de probabilidad del
  error debe ser normal
• Homoscedasticidad (variancia constante)
• E(si2)

111
Sigue

• Independencia de errores E(eiej)0 (i ? j)
• Linealidad
• Las variables independientes son medidas sin
  error
• No debe darse una relación lineal exacta entre
  cualquier subconjunto de variables explicativas
  (perfecta multicolinialidad)

112
Otros modelos
113

• Modelos con variables dummy (categóricas) y de
  interacción

114
Variables dummy

• Las variables dummy (ficticias) se refieren a
  las dimensiones en que se tienen en cuenta dos
  valores o categorías. Por lo general, se utilizan
  los valores 0 y 1 para representar una categoría
  u otra de la variable (por ejemplo género).

115
Diseño experimental

• En el diseño experimental, las variables
  independientes suelen ser categóricas y, a veces,
  dummy.
• Suelen recibir el nombre de variables de
  tratamiento.
• El objetivo es comparar las medidas de los grupos
  de tratamiento.
• Se utiliza el modelo estadístico ANOVA.

116
Modelos con componentes no aditivos o interactivos

• Y b0 b1X1 b2X2 b12X1X2 e
• Y b0 Sj bjXj SjSk bjkXjXk e

117
Modelos no lineales

• Modelos cuyas variables tienen exponentes, como
  por ejemplo, los modelos polinómicos,
  exponenciales, etc.

118
Modelos polinómicos no lineales

• Y b0 b1X1 b2X1² ... bkX1k e

119
Modelo de dos variables, k 2

• Y b0 b1X1 b2X2 b11X1² b22X2²
• b12X1X2 e
• Forma simplificada
• Y b0 Sj bjXj Sj bjjXj² SjSk bjkXjXk
  e

120
Cuestión!

• Hemos presentado un conjunto de modelos
  estadísticos basados en la regresión simple y
  múltiple (lineal y no lineal). La cuestión que se
  nos plantea es la siguiente
• Dados unos datos, cómo se procede para ajustar
  un modelo estadístico?

121
Proceso de ajuste del modelo estadístico

• Selección del modelo
• 
  
  
• Estimación de parámetros
• Inferencia estadística

122
Pasos para el ajuste
123
Selección (1)
124
Selección del modelo

• El modelo de la regresión se selecciona teniendo
  en cuenta
• a) la naturaleza de la variable dependiente
• b) cantidad de variables independientes o
  explicativas (su estatus teórico) ..//..

125

• c) Si la variable dependiente es
  cuantitativa de distribución normal, se aplica la
  regresión lineal. Si la variable dependiente es
  categórica, entonces la alternativa es la
  regresión logística.
• d) Cuando se tiene una sola variable
  independiente, el modelo de la regresión es
  simple. Con dos o más variables explicativas el
  modelo de la regresión es múltiple.

126
Estimación de parámetros (2)
127
Parámetros del modelo

• Sea el modelo
• Yi bo b1X1 b2X2 e
• Los parámetros a estimar son
• b0 intercepto o constante
• b1 efecto asociado a la primera variable X
• b2 efecto asociado a la segunda variable X
• ?2e variancia del error o residual
  ..//..

128

• b1 se interpreta como un cambio en Y por 1 unidad
  de cambio de X1, siendo X2 constante. Este
  enunciado no es muy claro cuando X1 y X2 no son
  independientes.
• Malentendido 1 bj siempre mide el efecto de Xj
  sobre E(Y), independiente de otras variables X.
• Malentendido 2 un valor b significativo
  estadísticamente establece una relación de causa
  y efecto entre X e Y.

129
Resumen interpretación de los parámetros o
coeficientes

• Constante b0
• Intercepto o valor promedio de Y
  cuando todas las Xj 0.
• Pendiente bj
• Cambios estimados de Y por cada 1 unidad
  de cambio en Xj. Siendo todas las
  otras variables constantes.

130
Cuestión!

• Dada la importancia que tienen, para el ajuste el
  modelo y la interpretación de los resultados, los
  parámetros o coeficientes, cabe distinguir entre
  los coeficientes b (no estandarizados) y los
  coeficientes ? (beta o estandarizados).
  ..//..

131

• El coeficiente b es el cambio esperado en Y por
  cada unidad de cambio en Xj, cuando el resto de
  variables están controladas.
• El coeficiente ? es el cambio esperado en Y en
  unidades de desviación estándar por cada unidad
  estándar de cambio en Xj, cuando el resto de
  variables están controladas.

132
A propósito de la interpretación de los
coeficientes

• Los parámetros b tienen la ventaja de que se
  interpretan en unidades de medida originales.
• Los coeficientes ? son directamente comparables
  en cuanto a su importancia en la variable Y. No
  pueden ser interpretados en la escala de medida
  original.
  ..//..

133
Ejemplo de ?

• El valor beta es una medida de la intensidad con
  cada predictor influye en la variable criterio.
  Es medida en unidades de desviación estándar.
  Así, un valor beta de 2.5 indica que un cambio en
  una unidad estándar del predictor resulta un
  cambio de 2.5 unidades estándar en la variable
  criterio.

134
Inferencia y significación estadística (3)
135
Pasos a seguir en la evaluación del modelo

• Una vez se ha especificado el modelo de la
  regresión, se necesita conocer en qué medida se
  ajusta a los datos.
• En primer lugar, probaremos el ajuste del modelo
  global de la regresión.
• Luego, probamos la significación de cada variable
  independiente.

136
Evaluación del modelo de la regresión múltiple

• Medidas de variación
• Pruebas de significación

137
Medidas de variación
138
Coeficiente de determinación múltiple (R2)

• Proporción de variación en Y explicada por
  todas las variables X tomadas en su conjunto.
• Jamás decrece cuando una nueva variable X es
  introducida en el modelo.
• La prueba de R2 0 expresa que todas las
  variables X, de forma conjunta, no explican la
  variación de Y.

139

• Prueba de significación global del modelo

140
Ejemplo práctico (datos simulados)

• Supongamos que se pretende estudiar el impacto
  que sobre un Cuestionario de Satisfacción Vital
  tienen las siguientes variables
• Edad
• Ingresos
• Cantidad hijos
• Salud

141
Pruebas de significación

• En el contexto de la regresión pueden seguirse,
  como se ha indicado, dos estrategias de prueba
• a) Prueba del modelo completo, con todos los
  coeficientes. Para ello se usa el coeficiente de
  determinación (R2) mediante el estadístico F.
• b) Prueba de los coeficientes individuales de la
  regresión con el estadístico t.

142

• c) Cabe también la posibilidad de probar un
  subconjunto de variables independientes o modelos
  parciales.

143
Estadísticos para la prueba del modelo total (a)

• Para conocer el grado de ajuste del modelo se
  utilizan dos estadísticos R2 (coeficiente de
  determinación) y R2 ajustado.
• R2 indica la proporción de variación en la
  variable criterio (y) explicada por el modelo. En
  suma, es un medida de la bondad de la predicción
  de la variable criterio por las variables
  predictoras.
  
  
  ..//..

144

• R2 ajustado el coeficiente de determinación
  tiende, en cierto modo, a sobre-estimar la bondad
  del modelo cuando se aplica al mundo real. Por
  ello, se calcula el coeficiente de determinación
  ajustado que tiene en cuenta el número de
  variables del modelo y el número de observaciones
  (participantes) en que se basa el modelo.
• Inconvenientes de R2 no sirve para comparar
  modelos.

145
R2 ajustado

• Dicho de forma más simple
• El coeficiente de determinación R2 es
  sensitivo a la magnitud de la muestra (n) y a la
  cantidad de variables independientes o regresores
  (p) con muestras pequeñas. Si p es grande en
  relación a n, el modelo tiende a ajustarse muy
  bien. Una medida mejor de bondad de ajuste es
  calculada como sigue

146
cálculo

• n -1
• R2 ajustado 1 - (--------------)(1-R2)
• n p 1
• Ventajas refleja el tamaño de muestra y la
  cantidad de variables independientes sirve para
  comparar modelos

147
Coeficiente de determinación múltiple (R2)

• Proporción de variación en Y explicada por
  todas las variables X tomadas conjuntamente.
• El estadístico R2 mide la contribución total de
  las Xs.

148
Prueba de R2

• Se ha señalado que cuando se prueban todos los
  coeficientes de la regresión, se utiliza el
  coeficiente de determinación. En este caso, se
  prueba si hay una relación lineal entre la
  variable criterio y las variables independientes
  o predictores del modelo.

149

• Hipótesis a probar
• H0 ?1 ?k 0
• H1 al menos un parámetro es no cero,
• ?k ? 0
• Puesto que no hay un forma de distribución de
  probabilidad para el estadístico R2, se utiliza
  en su lugar el estadístico F (ANOVA aplicado a la
  regresión).

150
Qué tipo de prueba ha de usarse?
La distribución utilizada se denomina
distribución de Fisher. El estadístico F es
utilizado con esta
151
Curva de la distribución de F
152
Prueba de significación total Ejemplo hipotético

• H0 ?1 ?2 ?p 0
• H1 Al menos una ?I ? 0
• ? .05
• gl 4 y 14
• Valor crítico

Prueba estadística Decisión Conclusión
?
F
23.751
Rechazo con ? 0.05
Hay evidencia de que al menos una variable
independiente afecta a Y
F
0
3.11
153
Prueba de los coeficientes de la regresión
individuales (b)

• Siguiendo los pasos del programa SPSS
• 1.Se calculan los coeficientes no estandarizados
• 2. Se calcula el error estándar de estos
  coeficientes
• 3. Se calculan los coeficientes beta
• 4. Se calcula la t de los coeficientes no
  estandarizados
• 5. Se obtiene la significación estadística de las
  t

154

• Significación individual de los coeficientes o
  parámetros no estandarizados

155
Pruebas de hipótesis de los parámetros estimados
?

• Prueba de una cola Prueba de dos colas
• H0 ?j 0
  H0 ?j 0
• H1 ?j gt 0, o ?j lt 0
  H1 ?j ? 0
• La prueba es de una cola o dos según se tenga
  una hipótesis unidireccional o bidireccional (no
  importan que el valor del estadístico sea mayor o
  menor que cero). ..//..

156

• Prueba estadística
• Se utiliza la t de Student el valor estimado
  del parámetro partido por su error estándar.
• Región de rechazo de H0
• to gt t? (o to lt t?)
  to gt t?/2

157
Sea, por ejemplo, el siguiente modelo

• Y ?0 ?1X1 ?2X2 ?3X3 ?4X4 e

158
Prueba de H0 bi 0

• H0 ?1 0 (X1 no contribuye)
• H1 ?1 ? 0 (X1 contribuye)
• H0 ?2 0 (X2 no contribuye)
• H1 ?2 ? 0 (X2 contribuye)
• H0 ?3 0 (X3 no contribuye)
• H1 ?3 ? 0 (X3 contribuye)

159
Sigue

• H0 ?4 0 (X4 no contribuye)
• H1 ?4 ? 0 (X4 contribuye)

160
Pruebas estadísticas

• .

161
Significación coeficientes individuales

• El único parámetro estadísticamente significativo
  es el asociado a la Variable Ingresos.

162
t Test Ejemplo hipotético
Test con un ? 0.05.

• H0 ?2 0
• H1 ?2 ? 0
• gl 14 Valores críticos

Prueba estadística Decisión Conclusión
t Test Statistic 3.491
Reject H0 at ? 0.05
Rechazo H
Rechazo H
0
0
.025
.025
Hay evidencia de un efecto significativo.
Z
0
2.145
-2.145
163
Intervalos de confianza

• Algunos autores prefieren los intervalos de
  confianza a la prueba t.
• El Intervalo de confianza se refiere al intervalo
  que, a un cierto nivel de confianza, contiene al
  parámetro estimando.
• Nivel de confianza es la "probabilidad" de que el
  intervalo calculado contenga al verdadero valor
  del parámetro.

164

• El cálculo es como sigue
• b t(?/2, g.l.)sb
• Donde t es el valor de t tabulado para ?/2, con
  los grados de libertad asociados a la SCR (g.l.
  de la Suma de Cuadrados Residual del ANOVA) y sb
  el error estándar de b.

165

• El IC se representa por (1-?)100. Calculemos el
  intervalo de confianza del 95 para un valor
  estimado de b 1.18 y sb .28. Entrando en las
  tablas de t para un alfa de .05/2 .025 y, por
  ejemplo, con 18 g.l. (t 2.101). El intervalo de
  confinaza del 95 es
• 1.18 (2.101)(.28) .59 y 1.77
• Con el intervalo de confianza, la prueba de la
  hipótesis nula, ? 0, viene a ser un caso
  especial. Con el ejemplo presente, 0 no está
  incluido en el rango y la hipótesis de ? 0 es
  por lo tanto rechazada con un ? 0.05.

166

• Prueba de significación de modelos parciales

167
Prueba de modelos parciales (c)

• Se examina la contribución de un conjunto de
  variables en relación a Y.
• La forma como se analiza la específica
  contribución de las variables define el
  procedimiento o método a seguir.
• Hay varios procedimientos que permiten evaluar la
  contribución particular de cada variable o
  predictor.

168
Sigue

• Hipótesis nula
• La variables del conjunto no mejoran
  significativamente el modelo, cuando todas las
  otras son incluidas.
• Los modelos deben estimarse por separado

169
Prueba estadística de partes del modelo
Test H0 b1 0 en un modelo de 2 variables
De la tabla ANOVA de la regresión para
De la tabla ANOVA de la regresión para
170
Prueba estadística de partes del modelo
Test H0 ?1 ? 2 0 en un modelo de 3 variables
De la tabla ANOVA de la regresión para
De la tabla ANOVA de la regresión para
171

• Procedimientos de selección de variables

172
Tipos de procedimientos

• Procedimiento enter o global
• Jerárquico (de acuerdo a un orden)

173
Método simultáneo (Enter)

• En el método simultáneo, denominado en el SPSS
  por ENTER, el investigador define el conjunto de
  predictores que forman el modelo. A continuación
  se evalúa la capacidad de este modelo de predecir
  la variable criterio.
• Se trata, en definitiva, de probar el modelo
  global o completo.

174
Métodos jerárquicos de selección de variables

• En los métodos jerárquicos las variables entran
  en el modelo de acuerdo con un orden determinado.
  El orden depende de las consideraciones teóricas
  o de resultados previos.
• Desde la perspectiva estadística, el orden de
  entrada de las variables en el modelo viene
  determinado por la fuerza de su correlación con
  la variable criterio.

175

• En la actualidad hay diferentes versiones de este
  método stepwise selection, forward selection,
  backward selection y remove.

176
Stepwise selection

• Cada predictor o variable independiente es
  entrando de forma secuencial y su valor es
  evaluado. Si añadir el predictor contribuye al
  modelo, entonces es retenido y el resto de
  variables son entonces reevaluadas para probar si
  siguen contribuyendo al éxito del modelo. Si no
  contribuyen significativamente son eliminadas.

177
Sigue

• A cada paso del proceso, se observa si la
  variable menos significativa del modelo puede ser
  removida debido que a su valor F, FMIN, es menor
  que el especificado o valor F por defecto.

178
Sigue

• Si ninguna variable puede ser removida, se
  verifica si la más significativa que no está en
  el modelo puede ser añadida dado que su valor F,
  FMAX, es el mayor que el especificado o por
  defecto.
• El procedimiento se para cuando no se puede
  añadir o eliminar ninguna otra variable.

179
Forward selection

• Al igual que el procedimiento stepwise, las
  variables son entradas secuencialmente en el
  modelo.
• La primera variable considerada para entrar en el
  modelo es la que tiene una mayor correlación
  positiva o negativa con la variable dependiente.

180
Sigue

• La variable es entrada en el modelo, sólo cuando
  satisface el criterio de entrada (tiene un valor
  F mayor que el criterio).
• El procedimiento se para cuando no hay más
  variables que se ajusten el criterio de entrada.

181
Backward selection

• Se empieza con todas las variables del modelo y
  se elimina la menos útil a un tiempo. Una
  variable, cuyo valor p asociado a la F parcial es
  mayor que un valor prescrito, PMIN, es la menos
  útil y ha de ser eliminada del modelo. El proceso
  continúa hasta que no puede eliminarse ninguna
  otra variable de acuerdo con el criterio
  propuesto.

182
Sigue

• Una vez eliminada la variable del modelo, no
  puede ser entrada de nuevo en un paso posterior.

183
Remove

• Es un procedimiento de selección de variables en
  que se eliminan todas las variables de un bloque
  en un solo paso.

184
A modo de resumen

• Finalizada la prueba de significación del modelo
  o de los coeficientes, es posible llevar a cabo
  un análisis de residuales de forma gráfica
  (mediante los correspondientes plots) o bien
  utilizando la prueba de Durbin-Watson.

185

• Verificación de los supuestos del modelo

186
Multicolinealidad
187
Estadísticos de colinealidadTolerancia y VIF
(variancia inflation factors)

• Tolerancia Una primera medida para para probar
  la colinealidad o no dependencia lineal entre los
  regresores (Tp 1 Rp2).
• Cuando tiene un valor máximo de 1, la variable no
  tiene ningún grado de colinealidad con las
  restantes, Un valor 0 indica que la variable es
  una combinación lineal perfecta de otros
  regresores. Es deseable que, en general, sea
  mayor a .40

188
Sigue

• VIF (variance inflation factor) a medida que es
  mayor la multicolinealidad, en un de los
  regresores, la variancia de su coeficiente
  comienza a crecer. La multicolinealidad infla la
  variancia del coeficiente (VIFp 1/(1-Rxp2).
• La VIF tomará un valor mínimo de 1 cuando no hay
  colinealidad y no tendrá límite superior en el
  caso de multicolinealidad.

189
Sigue..

• En presencia de multicolinealidad, una solución
  lógica consiste en eliminar del modelo aquellas
  variables con más alto VIF (o más baja
  tolerancia).

190
Diagnósticos de colinealidad

• Dimensiones factores diferentes que se hallan en
  el conjunto de variables independientes.
• Autovalores los valores próximos a 0 indican
  colinealidad.
• Índices de condición raíz cuadrada
  (autovalormayor/autovalor). Valores por encima de
  15 indican posibles problemas de colinealidad
• Proporciones de variancia proporción de la
  variancia de cada coeficiente de la regresión
  parcial bj que está explicada por cada factor.

191
Sigue

• Proporciones de variancia Hay problema de
  colinealidad si una dimensión (de índice de
  condición alto) explica gran cantidad de la
  variable de dos o más variables.

192
Resto de supuestos
193
Pruebas del resto de supuestos del modelo

• Prueba de la linealidad
• Pruebas de independencia
• Prueba de homoscedasticidad
• Prueba de normalidad

194
Scatter- plot (gráfico de dispersión)

• El scatter plot nos permite obtener respuesta a
  la siguientes cuestiones
• 1. Las variables X e Y están relacionadas?
• 2. Las variables X e Y están linealmente
  relacionales?
• 3. Las variables X e Y están relacionadas
  no- linealmente?
• 4. La variación en el cambio de Y depende de
  X?
• 5. Hay outliers (valores extremos o atípicos)?

195
Variables listadas en el SPSS

• DEPENDEN variable dependiente.
• ZPRED valores pronósticos tipificados valores
  pronósticos divididos por su desviación estándar
  (media de 0 y desviación 1).
• ZRESID residuos tipificados.

196
Sigue

• DRESID residuos eliminados es decir, al
  efectuar los pronósticos se elimina de la
  ecuación el caso sobre el que se efectúa el
  pronóstico.
• ADJPRED pronósticos ajustados es decir, valores
  pronosticados sin incluir el caso pronosticado.
• SRESID residuos estudentizados divididos por su
  desviación estándar y se distribuyen según la t
  de Student.
• SDRESID residuos estudentizados

197
Interpretando los plots de valores predichos y
residuales

• Los plots de los valores predichos, observados y
  residuales son esenciales en determinar si el
  modelo ajustado satisface los cuatro
  presupuestos de la regresión lineal
• 1. Linealidad de la relación entre la variable
  dependiente e independientes.
• 2. Independencias o no autocorrelación de los
  errores.
• 3. Homoscedasticidad o variancia constante de
  los errores.
• 4. Normalidad de la distribución del error.

198
1. Linealidad

• Se obtiene del plot de los valores observados y
  predichos versus la variable independiente. Si la
  relación no es lineal, la dispersión (scatter) de
  los puntos mostrará una desviación sistemática de
  la línea de regresión.
• Con el modelo de la regresión múltiple es mejor
  generar un gráfico simple (plot) de los valores
  observados versus los valores predichos.
  Teóricamente, en un gráfico de observados vs.
  predichos los puntos deberían moverse entre torno
  a la línea recta diagonal.

199
Sigue

• El gráfico de valores residuales vs. valores
  predichos es esencialmente el mismo que el
  anterior, a excepción de que la línea de
  referencia es horizontal más que de 45 grados.

200
2) Independencia

• Uno de los supuestos básicos del MRL (modelos de
  la regresión lineal) es la independencia entre
  los residuos. El estadístico de Durbin-Watson
  aporta información sobre el grado de
  independencia existente entre ellos

201
El estadístico de Durbin-Watson

• El estadístico de Durbin-Watson (DW) proporciona
  información sobre el grado de independencia entre
  los residuales. El estadístico DW varía entre 0 y
  4, y toma el valor 2 cuando los residuales son
  independientes. Valores menores que 2 indica
  autocorrelación positiva. Podemos asumir
  independencia entre los residuales cuando DW toma
  valores entre 1.5 y 2.5

202
Residual Analysis Autocorrelation

• Durbin-Watson Test for Autocorrelation
• Statistic
• The statistic ranges in value from zero to four.
• If successive values of the residuals are close
  together (positive autocorrelation), the
  statistic will be small.
• If successive values are far apart (negative
  auto-
• correlation), the statistic will be large.
• A value of two indicates no autocorrelation.

203
Sigue..

• El valor del residual se calcula por
• ei Yi - Yi

204
3) Homoscedasticidad

• En el cuadro de diálogo de Gráficos de la
  regresión lineal del SPSS, se obtienen una serie
  de variables listadas para obtener diferentes
  gráficos de dispersión

205
Prueba de homoscedasticidad

• Los valores ZRESID se trasladan al eje Y y los
  valores ZPRED al eje X.
• La variación de los residuos debe ser uniforme en
  todo el rango de valores pronosticados es decir,
  el tamaño de los residuos es independiente del
  tamaño de los pronósticos. Por lo tanto, el
  gráfico de dispersión no debe mostrar ninguna
  pauta de asociación entre los pronósticos y los
  residuos.

206
4) Prueba de normalidad

• A) Mediante el histograma de los residuos
  tipificados. La curva se construye con media 0 y
  un desviación típica de 1.
• B) Gráfico de probabilidad normal. En el eje de
  las abscisas se representa la probabilidad
  acumulada de cada residuo y en de las ordenadas
  la probabilidad acumulada teórica o esperada.

207
Sigue

• Teóricamente este gráfico debería ser una línea
  recta diagonal. Si los datos se inclinan hacia
  arriba o hacia abajo, indica una distribución
  asimétrica (sesgada).
• Si el gráfico de probabilidad normal muestra una
  línea recta, es razonable asumir que los datos
  observados proceden de una distribución normal.
  Si los puntos se desvían de la línea recta, hay
  evidencia en contra de la distribución normal e
  independiente.

208
Correlaciones
209
Correlaciones

• Correlaciones de orden cero Se presentan en la
  matriz de correlaciones simples entre todas las
  variables, incluyendo la variable de control. Se
  trata de la correlación ordinaria entre dos
  variables, no controlando ninguna (cero) otra
  variable.

210
Sigue

• Correlación parcial La correlación que hay entre
  dos variables después de remover la correlación
  debida a su asociación con otras variables. Es
  decir, la correlación entre la variable
  dependiente y una variable independiente cuando
  los efectos lineales de las otras variables
  independientes del modelo han sido removidos.
  Neutralizando su efecto sobre la dependiente e
  independiente.

211
Sigue

• Part Correlation (semiparcial). Es la posible
  relación entre un variable dependiente e
  independiente, controlando la relación que esta
  variable independiente pueda tener con otra u
  otras variables independientes. Se neutraliza los
  efectos lineales de una variable independiente
  del resto de variables independientes.
• Está relacionada al cambio en R al cuadrado
  cuando una variable es añadida a la ecuación.
• Es conocida, también, por correlación semiparcial.

212
Sigue

• El procedimiento de Correlaciones Parciales
  calcula l