La sucesi

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La sucesión de Fibonacci
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Serie de Fibonacci
Leonardo de Pisa (1170-1250) fue un matemático
italiano famoso por la invención de la sucesión
de Fibonacci, surgida como consecuencia del
estudio del crecimiento de las poblaciones de
conejos, y por popularizar el sistema decimal en
Europa. Conocido por Fibonacci, con motivo de sus
continuos viajes a Oriente fue él quien dio a
conocer en Occidente los métodos de los
matemáticos hindúes.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, 2584,
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• ? Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo la
  secuencia áurea había sido descubierta por
  matemáticos hindúes investigando los patrones
  rítmicos que se formaban con sílabas o notas de
  uno o dos pulsos.
• ? Kepler también describió los números de
  Fibonacci.
• ? El matemático escocés Robert Simson descubrió
  en 1753 que la relación entre dos números
  sucesivos de Fibonacci se acerca a la relación
  áurea fi (F) cuanto más se acerque n a infinito.

Obtención del número áureo (F)
Se divide un segmento cualquiera en dos partes de
forma que la razón entre la totalidad del
segmento y una parte (la mayor) sea igual a la
razón entre esta parte y la otra
Esta razón,que cumple la propiedad, es denominada
razón áurea.Se puede obtener este número a partir
de la expresión anterior
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Se puede despejar a utilizando la fórmula general
de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en
cuenta que agt0 y bgt0
Dividiendo todo por b se obtiene
El número de oro se estudió desde la antigüedad,
ya que aparece regularmente en la geometría.
Desde la antigua Grecia ha sido utilizado por los
artistas tanto en pintura como arquitectura,
escultura o música para lograr el equilibrio y la
belleza.
El Partenón, mostrando los rectángulos áureos
utilizados posiblemente en su construcción.
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Los términos de la sucesión de fibonacci vienen
dados por la siguiente función recursiva
Se puede obtener una expresión que nos
proporcione el término n-esimo de la sucesión, a
ésta se la conoce como fórmula de Binet (1843),
aunque se dice que Euler ya la publicó en 1765
Donde Phi es el número áureo y phi su recíproco
(phi1-Phi)
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O de forma equivalente
Éstas fórmulas son válidas para ngt0
Propiedades ? Es una fórmula sorprendente! A
pesar de tratar con potencias de phi, que es
número irracional, nos devuelve un número entero
para cualquier valor entero de n. ? Si F(p)a,
tal que a es un número primo, entonces p también
es un número primo, con una única excepción
F(4)3. ? La suma infinita de los términos de la
secuencia F(n)/10n es exactamente 10/89 ? La suma
de diez números de Fibonacci consecutivos es
siempre 11 veces superior al séptimo número de la
serie. ?La suma de los n primeros números es
igual al número que ocupa la posición n2 menos
uno
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? El último dígito de cada número se repite
periódicamente cada 60 números. los dos últimos
cada 300 a partir de ahí, se repiten cada
1,5x10n números ? Tan sólo un término de cada
tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3,
uno de cada cinco es múltiplo de 5Esto se puede
generalizar de forma que la sucesión de Fibonacci
es periódica en las congruencias de módulo m,
para cualquier m. ? Cualquier número natural se
puede escribir mediante la suma de un número
limitado de términos de la secuencia de
Fibonacci, cada uno de ellos distinto de los
demás. Por ejemplo, 171331, 655582
nlt0 Habíamos encontrado una expresión para Fib(n)
para n enteros y positivos. Sin embargo aplicando
la misma ley de recurrencia para los números
negativos obtenemos n .-6 -5 -4 -3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Fib(n) .-8 5
-3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 . Y esto es
coherente con la fórmula de Binet obtenida para
ngt0. Por lo tanto la fórmula de Binet es válida
para todo n entero.
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De esta forma la sucesión de fibonacci se
extiende hasta el infinito en ambas direcciones,
positiva y negativa.
Donde x es el término de la sucesión de Fibonacci
y F(x) el número de Fibonacci correspondiente a
dicho término.
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Y si n es racional? Fib(n) (Phin
(-phi)n)/v5 El segundo término (-phi)n muestra
que tenemos que calcular la raíz n-ésima de un
numero negativo. El término n-ésimo para n
racionales viene dado por la siguiente fórmula
Donde x es a lo que hemos llamado anteriormente n.
Esta función extiende la sucesión de Fibonacci al
plano complejo!
Demostración Partimos de la ecuación de Binet
para extenderla al plano complejo.
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Para ello utilizamos la ecuación de Euler
ó
Sustituyendo esto en la fórmula de Binet
obtenemos
Expresamos eipn utilizando la expresión
Sustituyendo de nuevo en la fórmula de Binet
obtenemos la fórmula esperada
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Qué pasa si representamos gráficamente F(n),
dada por la fórmula de Binet, en un diagrama de
Argand?
La representación azul es para valores positivos
de n comprendidos entre 0 y 6. Esta curva corta
al eje de abscisas (que representa la parte real
del número complejo) en los números de Fibonacci
0,1,2,3,5,8. Hay un looping en x1 de forma que
ésta es una raíz doble. De esta forma obtenemos
la serie completa de Fibonacci0,1,1,2,3,5,8como
los puntos de corte con el eje. La representación
roja es para valores negativos de n comprendidos
entre -6 y 0. También corta al eje x en los
puntos -8,5,-3,2,-1,1 y 0 que corresponden a los
números de Fibonacci F(-6), F(-5), F(-4), F(-39,
F(-2), F(-1) Y F(0) respectivamente.
Se puede ver una representación 3D del diagrama
de Argand anterior (añadiendo un eje con n) en el
siguiente link http//members.aol.com/kwpapke/Bin
et3D.html
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Para ngt0 el cociente entre dos términos
consecutivos tiende a Phi cuando n tiende a
infinito. Sucede lo mismo para nlt0 en el plano
complejo? Veámoslo con un ejemplo fib (-50.25)
-1003757775610037577756i fib (-49.25)
6203564218-6203564218i Ratio-0,618033989 El
ratio de fib(n1)/fib(n) para nlt0 es phi y NO Phi.
n complejo
Qué pasa si insertamos un n complejo en nuestra
función? Utilizando de nuevo la fórmula de Euler
y sustituyendo en la fórmula de Binet operando un
poco obtenemos
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Sucesión de Fibonacci en la naturaleza Fibonacci
obtuvo la sucesión que lleva su nombre observando
un proceso natural, los ciclos reproductivos de
los conejos. Tuvo en cuenta dos reglas básicas
los conejos sólo tienen una pareja de crías cada
temporada y un conejo tarda una temporada en
alcanzar la edad madura para poder reproducirse.
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Las abejas comunes viven en colonias. En cada
colonia hay una sola reina (hembra), muchas
trabajadoras (hembras estériles), y algunos
zánganos (machos). Los machos nacen de huevos no
fertilizados, por lo que tienen madre, pero no
padre. Las hembras nacen de huevos fertilizados
y, por tanto tienen madre y padre. Estudiemos el
árbol genealógico de 1 zángano tiene 1 madre,2
abuelos (su madre tiene madre y padre), 3
bisabuelos, 5 tatarabuelos, 8 tatara-tatarabuelos,
13 tatara-tatara-tatarabuelos La secuencia
1,1,2,3,5,8,13 es la serie de Fibonacci.
Muchas plantas tienen un número de pétalos que
coincide con esa secuencia de números la flor
del iris tiene 3 pétalos, la rosa silvestre 5, la
del dephinium 8, la de la cineraria 13, la de la
chicoria 21 (las hay con 34,55 y 89 pétalos)
El papel del número áureo en botánica recibe el
nombre de ley de Ludwig
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El número de espirales cercanas al centro de un
girasol que van hacia la izquierda y las que van
hacia la derecha son ,ambos, números de fibonacci.
El número de espirales que en ambos sentidos
presenta la piel de las piñas coincide con sendos
números de Fibonacci.
El número de hojas del cactus es un número de
Fibonacci
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• Las relaciones corporales entre muchas partes
  corporales de los humanos y los animales
• La relación entre la altura del ser humano y la
  altura de su ombligo
• La relación entre la distancia del hombro a los
  dedos y la distancia del codo a los dedos
• La relación entre la altura de la cadera y la
  altura de la rodilla
• La relación entre las divisiones vertebrales
• La relación entre las articulaciones de las manos
  y los pies

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La secuencia de Fibonacci en el arte -Relaciones
arquitectónicas en las Pirámides de Egipto -La
relación entre las partes, el techo y las
columnas del Partenón -En los violines, la
ubicación de las efes se relaciona con el número
áureo. -En las estructuras formales de las
sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de
Beethoven, en obras de Schubert
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La secuencia de Fibonacci en ciencia El interés
por esta secuencia ha sido avivado por
desarrollos recientes en programación de
ordenadores, ya que al parecer tiene aplicación
en clasificación de datos, recuperación de
informaciones, generación de números aleatorios,
e incluso métodos rápidos de calculo aproximado
de valores máximos o mínimos de funciones
complicadas, en casos donde no se conoce la
derivada. Los números de Fibonacci también se
ajustan, en economía, al comportamiento del
mercado. Leo Moser ha estudiado las trayectorias
de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre
dos láminas de vidrio planas y en contacto. Los
rayos que no experimentan reflexión alguna
atraviesan ambas láminas de sólo una forma para
los rayos que sufren una reflexión hay dos rutas
posibles cuando sufren dos reflexiones , las
trayectorias son de tres tipos, y cuando sufren
tres, de cinco. Al ir creciendo el número n de
reflexiones, el número de trayectorias posibles
se va ajustando a la sucesión de Fibonacci para
n reflexiones el número de trayectorias es Fn2.
La sucesión puede utilizarse de forma parecida
para contar el número de distintas rutas que
puede seguir una abeja que va recorriendo las
celdillas hexagonales del panal suponemos que la
abeja se dirige a la celdilla contigua y a la
derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que
hay sólo una ruta hasta la primera casilla, dos
hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco
hasta la cuarta, y así sucesivamente. Pero el
más notable de los problemas abiertos
concernientes a sucesiones de Fibonacci es el de
si contienen o no colecciones infinitas de
números primos.
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Parece ser que la naturaleza siga a raja tabla la
sucesión de Fibonacci. Esto no es así, pero si
representásemos gráficamente nuestros objetos de
estudio frente a conjuntos de números, veríamos
un pico en el conjunto que contuviese los números
de Fibonacci. Por qué sucede esto? En muchos
casos, cómo en los vegetales expuestos (semillas
de girasol, ramificación de árboles o piñas) esto
sucede porque la sucesión de fibonacci es la
manera más eficiente de rellenar el espacio con
formas crecientes
La naturaleza no intenta utilizar los números de
Fibonacci, estos aparecen como parte de un
proceso físico más profundo, esta es la razón del
porqué las espirales que vemos en el centro de un
girasol, o en las piñas de las coniferas, no son
perfectas, no siguen una regla matemática,
simplemente responden a restricciones físicas.
De todas formas sigue siendo sorprendente
encontrar estos patrones en casos tan diferentes.