Alfredo Olvera G

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Condiciones de Superficie LibreReducción de
dimensión Intrusión SalinaFormulación de una
Dimensión Coordenadas Cilíndricas

• Alfredo Olvera Gómez

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Condicione de superficie libre

• Cuando analizamos nivel freático del acuífero, en
  ocasiones tomamos el nivel freático como la
  frontera superior de nuestro dominio. Nosotros
  ya sabemos que, por definición que la presión del
  nivel freático es igual a la presión atmosférica,
  el nosotros típicamente asignamos como una
  referencia de la presión de cero. Por lo tanto
  mientras sabemos estas condiciones, el problema
  observamos que usualmente no sabemos la
  localización del nivel freático, que es una parte
  importante que deseamos predecir.

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El nivel freático se muestra como la superficie
se etiqueta en la figura 4.7.
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Definición

• Sea z(x,y,t) una función de altura del nivel
  freático, donde z está en función de x,y y t, la
  localización del nivel freático varia con
  respecto (x,y) espacio y tiempo. Una equivalencia
  a la función anterior, sabemos que por definición
  asumiremos que la función es igual a cero cuando,
  zb entonces elegimos la función de la siguiente
  manera F(x,y,z,t)z-b(x,y,t) esto significa que
  un punto sobre la superficie de la función
  corresponde a un punto del nivel freático tendrá
  siempre un valor de . F(x,y,z,t)0

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Haciendo uso del concepto introducido de derivada
substancial (o derivada material) y sabemos que
siempre está definida por F(x,y,z,t)0, si
permanecemos sobre la superpie, entonces
(1)
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donde hp es la presión de la carga, ? carga de
elevación. También sabemos que la presión de
carga está dada por
(5)
(6)
7
(7)
8
Reducción de Dimensión
Cuando uno trabaja con modelos continuos en
general siempre se trabajan con el espacio
tridimensional, más la variable del tiempo, si el
problema es transitorio, esto en ocasiones es
conveniente reducirlo de dimensión. Por ejemplo
la mayoría de los acuíferos tienen poco espesor
en su dimensión vertical, sobre el orden de los
diez metros, relativamente a su área extendida,
la cual en ocasiones son miles de kilómetros. Por
lo tanto es razonable eliminar la dimensión
vertical . Modelo de dimensiones físicas En
general se asume que el estudio del flujo y
transporte de agua subterránea necesita una
representación de tres dimensiones. Sin embargo
en ocasiones lo más común es simplificar el
modelo a tres dimensiones de flujo y reducirlo a
un modelos de dos dimensiones tomando la
coordenada vertical como el promedio.
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Integral vertical de la ecuación de flujo
Considerando la representación de tres
dimensiones del acuífero. Para poder eliminar la
dimensión vertical hacemos que la distancia que
(b-a) sea parte de mi dominio, que involucra el
proceso de integración.
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Para poder entender como un modelo complicado se
puede transformase en un modelo de menor
dimensión, despreciaremos la dimensión vertical
en el modelo de flujo agua subterránea uno debe
revisar que es lo que pasa desde el punto de
vista matemático y físico. Comenzaremos flujo de
fluidos en aguas subterráneas ecuación de
conservación de la masa.
(7)
Para poder eliminar la dimensión vertical sacamos
el promedio vertical y normalmente es reemplazado
por sumas que en un concepto más abstracto se
hace uso de la integral la cual hace uso de que
b-a es la altura del acuífero.
(8)
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donde como ya sabemos b(x,y,t) representa la
parte superior del acuífero y a(x,y,t) la parte
inferior del acuífero, haciendo uso de la regla
de Leibnitz, uno puede mostrar la siguiente
equivalencia
(9)
está definido como el gradiente en dos dimensiones
(10)
La expansión de las coordenadas por ecuación (8)
produce lo siguiente
(11)
12
(12)
El termino de la derivada de tiempo es tratado de
la misma forma
(13)
Donde usando un promedio de valores para Sh que
es de acuerdo a la ley de Darcy sabemos
que
Integrando obtenemos el siguiente resultado
(14)
13
(15)
K es un vector unitario en la dirección de las
coordenadas en z. Combinando las ecuaciones (12),
(13),(14) y (15) en ecuación (1) obtenemos
(16)
Está ecuación es equivalente a la ecuación de
flujo subterráneo integrada verticalmente.
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Ahora procedemos a simplificar la ec. (16) por
eliminar la dimensión vertical haciendo uso de
nuestra definición de promedios
donde l(x,y,t)b(x,y,t)-a(x,y,t), a continuación
haciendo uso de la suposición que ha hb h,
por lo tanto por el significado del gradiente
vertical, usando el área de dos dimensiones de la
ecuación de flujo subterráneo no es apropiada a
menos que ha y hb sean conocidos. La ecuación
es sólo apropiada para acuíferos esencialmente
flujo horizontal. Sustituyendo en tal suposición
tenenos
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Tal ecuación puede simplificarse como
Donde el coeficiente de almacenamiento esta
definido como SSl y el tensor de transmisión
está dado por TlK. Los términos denotado por las
letras A y B son el flujo neto a través de la
superficie zb(x,y,z) y za(x,y,z). Denotamos a
qT el flujo a través de la parte superior y qB el
promedio de flujo y como la locación del área
qext(x,y), uno obtiene
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Condiciones de Superficie Libre en el Modelo de
Área
El análisis anterior supusimos acuífero
confinado en donde existe permeabilidad relativa
debajo del reservorio, tal que permanece
totalmente saturado todo el tiempo.
Consideraremos el caso cuando el acuífero
ilimitado, esto es, el reservorio contiene nivel
freático. Tal como se muestra en la siguiente
figura.
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Haciendo uso de análisis de la sección 4.4
tenemos lo siguiente
(20)
Por ley de Darcy tenemos
Dado que bh en el manto freático, podemos
escribir la ecuación anterior como
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Está ecuación puede ser usada para sustituir el
flujo superior qT antes de multiplicarlo por la
ecuación (20) por eD, sustituido por qT y
subsecuentemente sustraído de la ecuación (19).
produce
(21)
donde

Representa el flujo neto fuera del acuífero a
través del nivel freático. Notamos que los
coeficientes Kl y Ssl son funciones de h por que
l(b-a)(h-a) y por lo tanto la ecuación
diferencial parcial es no lineal. Tomemos en
cuenta que el termino involucrado en la derivada
de tiempo de h con coeficiente eD.
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La porosidad drenadle en ocasiones es reemplazada
por el termino equivalente llamado producto
especifico denotado por Sy, y definido como el
volumen del agua que drena por unidad de área del
acuífero cuando el nivel freático está bajo por
una unidad. Así la ecuación (21) podemos
escribirla como
(22)
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Intrusión Salina
Para poder hablar de intrusión salina es
necesario considerar el transporte de masa de
solutos. La lógica de está dependencia en el
factor intrusión salina, como se describió en
capítulos anteriores vía dos fluidos, la
interfase entre estos dos fluidos agua salada y
agua dulce, es dispersiva. Por lo tanto en
algunas zonas existe una zona dispersa tal como
se muestra en la figura las cuales son
consideradas como pequeño sistema de agua salada
y agua dulce.
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El diagrama anterior nos permite visualizar y
definir el concepto físico y la notación que
necesitamos para poder modelar las ecuaciones que
gobiernan la interfase del agua salada. En este
sistema se asume que existen dos pseudofases el
agua salada y agua dulce las cuales no se
comportan independientemente. Así podemos
escribir las ecuaciones de carga para cada una de
las fluidos en una elevación z1 sobre la
interfase como
Haciendo un poco de algebra podemos obtener
(23)
Notemos que en un sistema en equilibrio, la
elevación de la interfase, z, podemos determinar
la constante de carga y sus respectivas
densidades para casos dinámicos.
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De las condiciones de superficie libre, tenemos
la siguiente relación
(24)
Si suponemos fundamentalmente un flujo horizontal
para los dos fluido es apropiado aplicar el
método de promedio de flujo vertical. Aplicando
el proceso de integración para el agua dulce por
capas obtenemos.
(25)
23
Y aplicado para la sal tenemos
(26)
Multiplicando las ecuaciones (20) y (24) por la
porosidad e y sumando el resultado a la ecuación
(26) produce la siguiente ecuación
(27)
24
Similarmente multiplicar la ecuación (24) por e y
subsecuentemente sustrayendo el resultado de la
ecuación (27) podemos obtener
(28)
Derivamos la ecuación (24) con respecto al tiempo
y tenemos
donde
25
Sustituimos en ley de Darcy y dado que la
presión sobre el nivel freático es cero tenemos

• En estás ecuaciones supusimos que
• El flujo es esencialmente horizontal.
• Todo el flujo de la superficie está incorporado
  al termino R
• No hay flujo de la base del acuífero.
• El agua no se mueve a través de la interfase agua
  dulce y agua salina.
• Los subíndices s y f identifican a agua dulce y
  agua salada respectivamente.

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Formulación de una Dimensión
Nosotros hemos visto como uno podría formalmente
reducir la dimensión de un problema de tres a dos
dimensiones. Cuando uno reduce de dimensión, es
cierto que facilitan los cálculos, pero también
hay que tomar en cuenta que se pierde
información, especialmente con respecto a la
dimensión perdida la cual la integración fue se
llevo a cabo. En está breve sección pasaremos de
a tomar el problema de dos dimensiones a una
dimensión. Usemos la siguiente ecuación
(31)
La cual describe el flujo subterráneo en tres
dimensiones
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Consideraremos la integral como cambio en las
direcciones x, y y la ecuación sólo dependerá de
las variables independientes z y t. denotamos el
plano en tres dimensiones que tiene como dominio
Oxy(z). Tal notación queda visualizada e la
figura 4.11. Entonces tenemos
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Proporcionando la divergencia en tras términos
así que tenemos que incluir el tiempo, nos da un
total de cuatro términos a considerar, primero
consideraremos la derivadas de x e,y
Usando el teorema de Gauss podemos reescribir la
ecuación anterior de la siguiente forma
(32)
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El componente qz es muy cambiante. Agregamos este
termino, empleando la regla de Leibnitz para dos
dimensiones para la diferenciación de una
integral y tenemos
(33)
Donde k usualmente es un vector de coordenadas
verticales de z. la derivada de tiempo también
puede ser usada con la regla de Leibnitz. Para el
caso de un acuífero fijo, la forma de la regla es
(34)
30
Ahora definimos el promedio de valores del flujo
qz y de la carga h como
(35)
(36)
Donde Axy(z) es el área del plano xy. Ahora
reunimos los términos considerando por separado
en la ecs. (32) y (34) y los porcentajes
introducidos en ecs. (35) y (36)
31
En general la ecuación anterior es una ecuación
de una dimensión de flujo en agua subterránea e
términos del flujo de fluido. Ahora consideremos
el promedio de la ley de Darcy. Ejecutando la
integración de x y y tenemos
La cual usando notación de porcentaje queda de la
siguiente forma
32
La cual sustituyendo en ec (37) tenemos
Si suponemos que el acuífero es vertical y que no
hay flujo entrante a lo largo del acuífero la
ecuación anterior se reduce a una ecuación de una
dimensión.
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Coordenadas Cilíndricas
Cuando tenemos problemas que envuelven un pozo,
el flujo en la vecindad del pozo tiende a ser
radial. Por lo tanto estamos motivados a escribir
nuestras ecuaciones en coordenadas cilíndricas.
Para comenzar reescribiremos la ecuación de
balance de flujo.
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La divergencia del operador presentado en está
expresión ha sido considerado en el sistema de
coordenadas cartesianas estas son (x,y,z,t). Por
lo tanto uno también puede reescribir en el
sistema de coordenadas cilíndricas definidas
sobre (r,?,z,t,), la cual es ilustrada en la
siguiente figura.
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La dimensión vertical está denotada por z, el
radio como r, el ángulo por ? y el tiempo por t.
en el sistema coordenado, el gradiente está
definido de la siguiente forma
(40)
Y el vector q como
(41)
Donde z, r, y ? son vectores unitarios en las
direcciones z, r, y ?, respectivamente.
Regresemos a la ecuación de flujo para
coordenadas cilíndricas, comenzamos por sustituir
(41) en (40) para obtener
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Sustituimos el gradiente en la ecuación de flujo
y tenemos
Las variables q y h no cambian con respecto al
ángulo ?. Cuando uno hace uso de está suposición
el segundo termino de la ecuacion desaparece or
lo tanto no queda
37
Hacemos uso del método de reducción de dimensión
y obtenemos
Aplicamos la regla de Leibnitz y tenemos que
(42)
38
Ahora definimos el promedio de las cantidades
39
Sustituyendo en la ec. (43) tenemos que
donde
40
De manera similar lo aplicamos a la ley de Darcy
al promedio vertical
Si tomamos como suposición la parte superior del
acuifero es horizontal tenemos
41
Donde qi ahora contiene sólo el flujo vertical,
la ecuación anterior se puede rescribir como