Curso de Derivativos Aplicados Apostila B

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Curso de Derivativos AplicadosApostila Básica

• Caio Ibsen Rodrigues de Almeida
• Ibmec-RJ
• 12/09/2005

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Tópicos por Aula

• Introdução aos Futuros e Opções.
• 2. Limites para Preços de Opções e Paridade
  Put-Call
• 3. O Modelo Binomial
• 4. O Modelo de Black Scholes
• 5. Opções sobre Dólar e IDI
• Gerenciamento de Risco com Opções
• A Estrutura a Termo da Taxa de Juros
• O Modelo de Black, Derman e Toy para Opções de
  Renda Fixa

3
Aula 1 Introdução aos Futuros e Opções
4
Tópicos da aula

• O que são derivativos?
• Revisão de conceitos de estatística necessários
• Exemplos de derivativos Contrato a termo de uma
  ação, Futuro de DI, títulos de renda fixa.
• Fatores que afetam o preço de uma opção

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1. O que são Derivativos?

• Dependem de ativos mais básicos.
• Contratos a termo definem trocas futuras.
• Contratos futuros são semelhantes aos a termo mas
  marcados a mercado frequentemente.
• Opções são direitos de operações futuras.
• Como calcular/gerenciar preços de tais
  instrumentos?

6
Exemplo de uma Opção de Compra

• Sejam S o preço da ação, T data de vencimento da
  opção, e K preço de exercício da opção.
• O comprador de tal opção tem o direito de comprar
  uma unidade da ação no instante T por K unidades
  financeiras.
• Isto significa que a opção paga
  no seu vencimento.
• Qual deve ser o prêmio desta opção?

7
Ainda sobre a opção de compra

• Suponha que o valor de K seja 60, r 0.17 e que
  seja igual a
• 55 - Neste caso a opção paga...
• 62 - Neste caso a opção paga...
• 60 - Neste caso a opção paga...
• 70 - Neste caso a opção paga...
• Quanto vale a opção em cada estado da natureza?
• E se estes fossem todos os estados da natureza,
  como vc calcularia o preço da opção?

8
2. Preços e Fatores de Risco Variáveis
Aleatórias

• O que é uma variável aleatória?
• Seja o espaço probabilístico
  composto por espaço amostral, sigma-álgebra de
  eventos e medida de probabilidade.
• é uma variável aleatória, ou
  seja, uma função que leva cada ponto do espaço de
  amostras em um número real.
• O uso destas variáveis facilita as contas em
  probabilidade.

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Variável Aleatória Exemplo I

• Considere o seguinte experimento Lançar um dado
  com 6 faces para cima e observar a face superior.
• O espaço amostral é composto por todos os
  possíveis estados do universo, que neste evento
  são representados por w1,w2,...,w6, onde wi
  significa número observado é i.
• Alguns possíveis eventos Número observado é par,
  é 1, é maior que 3, ...
• Qual a probabilidade de w2? E de w2,w4,w6?
• .
  Estas são exemplos de V.A.s.

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Variável Aleatória Exemplo II

• Fixada a data t, seja S(t)12 o preço de uma ação
  em t, e S(t1) o preço desta ação no dia
  seguinte, t1. Suponha que este preço pode
  assumir os seguintes valores 9, com
  probabilidade 20, 11 com prob. 30, se manter
  igual a 12 com probabilidade de 10 e atingir 16
  com probabilidade de 40.
• Você é capaz de me dizer qual será o preço da
  ação amanhã?
• Qual é a média do preço S(t1)?
• Qual o risco que correríamos ao comprar esta
  ação?
• Você compraria?

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Variável Aleatória Exemplo III

• Suponha que estejamos interessados em calcular o
  preço de uma opção de compra sob a ação da IBM,
  com vencimento de 2 meses. Como devemos proceder?
• Uma possível solução é utilizar um modelo para
  apreçamento de derivativos (Black and Scholes
  (1973) por exemplo) para obter o preço da call.
  Quais variáveis são determinísticas neste
  problema e quais são estocásticas?
• Certamente o preço da ação na data de vencimento
  da opção é uma variável aleatória. Existem
  outras?

12
Distribuição do Preço de uma Ação sob o Modelo BS

• Sob tal modelo a ação segue um movimento
  browniano
• geométrico
• O que é o movimento browniano?
• Processo que
• Inicia-se em zero
• Apresenta incrementos estacionários e
  independentes
• Para quaisquer o incremento
  apresenta
• distribuição normal com média 0 e variância
  .

13
Simulação de alguns caminhos para uma ação
seguindo o modelo de BS

• Supondo taxa livre de risco de 3 e volatilidade
  de 40.

14
Distribuição Normal
15
Distribuição Normal

• Completamente caracterizada pela média e a
  variância.
• Sua densidade de probabilidades é dada por
• O que são os seguintes termos distribuição de
  probabilidades e densidade de probabilidades?
• A distribuição de uma V.A. X é dada por
• A densidade de uma V.A. É obtida derivando-se sua
  distr.

16
Relação entre a Densidade e o Cálculo de uma
Probabilidade
17
3. Alguns Exemplos de Derivativos

• 3.1 Futuros
• 3.2 A Estrutura a Termo da Taxa de Juros
• 3.3 Alguns Instrumentos de renda fixa Bradies,
  Globals, LTN, LFT, NTN

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3.1 Futuros sobre Ação

• Em geral, a relação entre o futuro de um ativo e
  seu preço à vista é balizada pela taxa de juros
  cobrada para o prazo de vencimento do futuro.
• Quando entramos em uma posição de futuro nenhum
  pagamento é realizado pois o exercício é fixado
  propositalmente para que isto ocorra.
• Por não arbitragem
• Onde representa o preço de exercício e
  a taxa de juros para o prazo (T-t).

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Futuro de DI

• Um dos ativos de renda fixa mais importantes no
  mercado brasileiro.
• CDI representa a taxa de juros de curto prazo
  para empréstimos interbancários. (informado pela
  CETIP)
• O DI é um instrumento futuro que aposta na
  expectativa da taxa de curto prazo acumulada até
  uma certa data futura (prazo de vencimento do
  DI).
• Utiliza-se para seu apreçamento um título de
  referência do tipo zero cupom que paga R
  100.000,00 no vencimento.
• Então quando entramos em uma posição de DI com
  vencimento de T anos, e o mercado oferece uma
  taxa para este prazo, este ativo de referência
  vale

20
Futuro de DI continua...

• Os resultados da operação são marcados a mercado
  diariamente através de uma conta de margem, que
  utiliza diretamente o preço do ativo de
  referência

21
DI é como a compra de um título pré financiado a
CDI

• Investindo-se o ajuste diário a taxa de CDI do
  dia obtemos o seguinte fluxo de caixa a receber
  no vencimento do contrato de DI
• Note que estamos pagando o CDI acumulado!
• Quando entramos no contrato a taxa justa
  é aquela que gera um fluxo nulo para o
  vencimento.

22
3.2 - Estrutura a Termo da Taxa de Juros

• Mapa que relaciona prazos de maturação à taxa de
  juros cobrada em um empréstimo que dura tais
  prazos.
• Pode ser observável (Dis, strips) ou não
  observável ( Treasuries, Brady and Global bonds).
• fluxo de
  caixa
• -Taxa empréstimo para T anos

C2
C1
C3
C4
Ck
...
...
t1
t3
t2
...
t4
tk
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Papéis do tipo zero cupom e com cupom

• Zero cupom é um ativo vanila que paga um valor
  fixo na data de vencimento.
• Papel que paga cupom apresenta um fluxo mais
  complexo. Exemplo Bônus do tesouro americano

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Alguns instrumentos de renda fixa

• Brady Bonds Títulos soberanos provenientes de
  uma renegociação da dívida externa de alguns
  países.
• Eurobonds Títulos de renda fixa lançados em
  mercado internacional e moeda estrangeira.
• Global Bonds Eurobonds soberanos lançados em
  mais de um mercado simultaneamente.
• Títulos Locais LTN, NBC-E, NTN-D.
• Derivativos locais DI, DDI, FRA (BMF).

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Como calculamos o preço de um título de renda
fixa?

• É necessário conhecermos a estrutura a termo da
  taxa de juros do mercado em questão.
• ETTJ é uma função que relaciona a variável
  maturação com a variável taxa de juros cobrada em
  um empréstimo com tal duração.
• Calculamos o preço descontando cada fluxo de
  caixa pela taxa de juros correspondente a data de
  pagamento destes fluxos.

26
Exemplo C-BOND - Fluxo de Caixa
27
Exemplo C-BOND
28
Alguns conceitos matemáticos adotados pelo mercado

• Simplificação do tratamento de papéis com cupom.
  Frequentemente assume-se que, fixado um ativo, a
  estrutura a termo pode ser expressa por uma única
  variável Y, que é a taxa interna de retorno do
  fluxo do papel
• Quais são algumas consequências desta
  simplificação?
• 1- Inconsistência teórica quando consideramos
  mais de um ativo de renda fixa simultaneamente.
• 2- Somente um único tipo de movimento para a
  estrutura a termo.
• 3 - Função P(Y) é convexa.

29
Exemplo de preço em função da taxa interna de
retorno
30
Preços de Bônus Vanila

• Ex Quando os instantes de pagamento são todos
  igualmente espaçados, o preço se torna
• Pergunta 1 Demonstre que o preço de um bônus que
  paga ao final do i-ésimo ano o cupom crescente c
  (i-1)r , tem maturação igual a n anos, valor de
  face M e taxa requerida igual a Y é dado por

31
Letras do Tesouro Nacional - LTNs

• Títulos pré-fixados da dívida pública (do tipo
  zero) que pagam somente no vencimento.
• Negociados com um prêmio de risco de crédito com
  relação aos Dis.

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Notas do Tesouro Nacional - NTNs

• Títulos lançados pelo governo através de leilões
  mensais
• Pagam cupons semestrais indexados a diferentes
  índices
• Exemplos NTN-D ao dolar, NTN-C (IGP-M) e NTN-F
  (Pré).
• Negociada através da taxa interna de retorno que
  incorpora expectativas futuras de taxa de juros
  somadas a expectativasdo indexador em questão.

33
Letras Financeiras do Tesouro - LFTs

• Títulos pós-fixados da dívida pública.
• Pagam indexados a SELIC deságio/ágio.
• Representam mais de 60 da dívida publica.

34
4. Fatores que Afetam o Preço de uma Opção

• Preço atual da ação Quando aumenta, torna uma
  call mais valiosa.
• Preço de exercício Efeito inverso ao do preço
  da ação.
• Vencimento Quando aumenta, torna mais valiosas
  opções americanas.
• Volatilidade do preço da ação Quando aumenta,
  torna mais valiosas calls e puts.
• Taxa de juros Quando aumenta, diminui o valor
  de uma put e aumenta o de uma call.
• Dividendos Diminuem o valor de uma call e
  aumentam o de uma put.

35
Aula 2 Limites para Preços de Opções e Paridade
Put-Call
36
Limites Inferiores e Superiores

• São limites que quando não são respeitados
  permitem aos investidores que arbitrem o mercado.
• Exemplo Uma opção de compra oferece o direito de
  comprar uma ação. Se em algum ponto no tempo esta
  opção tiver valor superior à ação, pode-se
  vendê-la e comprar a ação com sobra de capital. A
  posição está coberta e recebe-se dinheiro sem
  risco!
• Este tipo de argumento nos permitirá definir
  vários limites
• Para os preços de opções.

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Notação

• S Preço atual da ação
• X Preço de exercício
• T Data de vencimento da opção
• t Hoje
• r Taxa de juros
• C preço opção de compra americana
• c preço opção compra européia
• P e p correspondentes opções de venda
• Volatilidade da ação

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Limites

• Superiores Inferiores
• Para demonstrar devemos supor que os limites
  propostos não valem e construir uma carteira que
  caracterize uma arbitragem!

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Exemplo de uma demonstração

• Suponha que .
  
• Como podemos arbitrar o mercado?
• Neste caso note que a put está barata. Vamos
  então comprar a opção e comprar a ação. Como
  financiamos estas compras? Tomando dinheiro
  emprestado à taxa livre de risco r. Tome em
  particular a quantia
• No vencimento da opção se a ação vale menos do
  que X exercemos a opção vendendo a ação por X,
  caso contrário podemos vender a ação e receber um
  valor superior a X.
• Em qualquer dos dois casos pagamos a dívida com
  sobra de um valor não negativo advindo da
  operação estruturada.

40
Paridade entre Opções de Compra e de Venda

• Quando temos duas opções com mesmo preço de
  exercício X e mesmo prazo até o vencimento (T-t),
  seus preços estão relacionados pela seguinte
  equação
• Demonstração
• Se montarmos duas carteiras
• Compra de opção de compra e investimento de
  à taxa livre de risco.
• Compra de opção de venda e compra de ação.
• Ambas têm o mesmo valor na data de vencimento e
  portanto devem apresentar o mesmo valor na data
  t.

41
Aula 3 O Modelo Binomial para Opções
42
Exemplo 1 Irrelevância do retorno esperado
43

• Não requer a informação do retorno esperado da
  ação (a probabilidade de cada estado)
• Exemplifica a inovação chave da formula de
  Black-Scholes, i.e., que é o retorno livre de
  risco e não o retorno esperado da ação que
  determina o valor da opção
• Quando se relaxa as hipóteses simplificadoras e
  se deixa a ação assumir vários valores ao longo
  do tempo, o mesmo princípio fundamental sobre a
  natureza livre de risco de uma posição de hedge
  se aplica.

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Exemplo 2 (Avaliação Neutra ao Risco)
45
Comentários sobre os Exemplos 1 e 2 da aula
anterior

• Note que as probabilidades foram escolhidas de
  forma que o preço da ação descontado a valor
  presente é um jogo justo. O que significa isto?
• Significa que apesar de existirem estados da
  natureza em que o jogador obtém retornos altos e
  outros onde ele obtém retornos baixos, em média
  seu retorno é o mesmo que o de um título de renda
  fixa pré-fixado à taxa r, livre de risco.
• O que será que aconteceria se as probabilidades
  não fossem escolhidas desta forma?
• Vamos ver...

46
Jogo Viesado

• Suponha que as probabilidades de subida e de
  descida do preço da ação fossem respectivamente
  0.5 e 0.5 no lugar de 0.45 e 0.55.
• Isto significa que estamos viesando o jogo
  (compra da ação) para ter uma média acima da
  média anterior, concordam?
• Parece que existe então uma possibilidade de se
  montar uma carteira que explore este viéz.
• Note que pelo exemplo 1 escolhemos os pesos de
  uma carteira composta por compra de ação e venda
  de opção que reproduzia o pagamento de um título
  de renda fixa de um período.
• Usando estes mesmos pesos e mais a venda de um
  título que paga à taxa r, construímos uma
  arbitragem!

47
Jogo Viesado

• De acordo com as novas probabilidades a opção
  vale
• No lugar de 12.5. Como a opção está cara e nós
  estamos vendendo 1.33 unidades dela, parece que
  nossa carteira está explorando as oportunidades
  da melhor forma possível. Vamos ver?
• Compra de uma ação, venda de 1.33 opções e venda
  de um título de renda fixa, nos entrega um valor
  positivo de 1.847 reais.
• Como a carteira ação-opção sintetiza o título de
  renda fixa, no vencimento não precisamos colocar
  nenhum capital, implicando na arbitragem que
  desejávamos obter.

48
O Modelo Binomial

• Os exemplos anteriores já introduzem o conceito
  de uma árvore binomial.
• A idéia geral é a de um modelo de dois períodos
  onde o preço da ação sobe de S para Su com
  probabilidade p, ou desce para Sd com
  probabilidade 1-p.
• O preço da opção pode ser obtido a partir de uma
  carteira que sintetiza um bônus (carteira de
  hedge), ou a partir de uma média sob as
  probabilidades neutras ao risco, que geram o
  jogo justo para a ação.

49
Obtendo-se o preço da opção

• Suponha que vamos comprar uma unidade de ação e
  vender
• unidades da opção de forma a sintetizar o ativo
  de renda fixa.
• Sabemos que por construção esta carteira vai
  apresentar o mesmo valor para qualquer estado da
  natureza no segundo período.
• Igualando seus valores teóricos nos dois estados
  da natureza no segundo período obtemos o valor de
  .
• Igualando-se seu preço inicial ao
  valor comum obtido no segundo período, obtemos o
  preço da opção

50
Estendendo para múltiplos períodos

• Na prática quando desejamos apreçar opções vamos
  montar árvores com vários passos intermediários
  até o vencimento da opção.
• Frequências típicas para o tamanho do passo são
  diárias para opções de curto prazo (1 a 5 meses),
  e semanais para opções de médio e longo prazo.
• No entanto a idéia utilizada continua a mesma
  Fixado um instante de tempo e um nó da árvore, o
  preço justo em qualquer ponto é dado pelo valor
  presente da média dos valores no próximo
  instante, de nós adjacentes.

51
Exemplo Prático de uma Árvore de três períodos

• Suponha que desejamos apreçar uma opção de venda
  européia, com preço de exercício 52, para uma
  ação com preço atual de 50 reais.
• Assuma que o preço da ação se movimenta sofrendo
  uma das seguintes alterações Ou aumenta 20 ou
  diminui 20.
• Calcule o preço da opção sabendo que o custo de
  oportunidade é de 5 (taxa livre de risco).
• E qual seria o preço se esta opção fosse
  americana?
• Neste caso devemos levar em conta a possibilidade
  de exercício em qualquer ponto da árvore.

52
Obtendo-se p,u e d a partir de dados reais

• Os valores destes parâmetros são obtidos de forma
  a se fazer um matching com as características
  estatísticas do preço da ação subjacente.
• Estas características são representadas pelos
  dois primeiros momentos, média e variância do
  preço no instante t , respectivamente
• Lembre-se que em média, sob o mundo neutro ao
  risco, a ação rende à taxa livre de risco r.
• Calculando-se estes momentos em função de p, u e
  d e impondo-se uma restrição extra, de que a
  árvore binomial
• será recombinativa obtemos os
  seguintes valores

53

• Exemplo Considere uma opção de venda americana,
  at the money, strike50, taxa livre de risco de
  10 aa, e volatilidade do ativo de 40. Suponha
  que ela vence em 5 meses.
• Usando-se os dados do problema obtemos
• Construindo-se uma árvore com frequência mensal,
  temos 6 períodos.
• Vindo do final da árvore para o começo calculamos
  o preço da opção em cada nó, e comparamos com o
  valor obtido se ela for exercida.

54
(No Transcript)
55
Exemplo Numérico Real
56
Exemplo Numérico Real

• Obtenha o preço da opção apresentada na tela da
  Bloomberg por 3 métodos distintos
• Fórmula de Black and Scholes
• Modelo Binomial com unidade de tempo igual a 1
  dia.
• Simulação de Monte Carlo com 1000 caminhos
• Usando a fórmula de Black and Scholes no Matlab
  blsprice(39.3,38,0.2,19/252,0.34933) 2.5871
• No Excel, com simulações, preço 2.4775
• Pelo modelo binomial, preço ...2.5951

57
Usando o modelo binomial no Matlab

• P,O
• Onde o flag1 indica call, Q representa uma taxa
  contínua de pagamento de dividendos e de forma
  alternativa, DIV (valores) e EXDIV (períodos onde
  são pagos) são vetores que representam
  pagamentos de dividendos de forma discreta ao
  longo do tempo.
• P contém a árvore para o preço da ação e O a
  árvore para o preço da opção.

58
A árvore P para o preço da ação
59
A árvore O para o preço da opção
60
Aula 4 O Modelo de Black Scholes
61
Premissas Básicas

• O preço da ação segue um movimento browniano
  geométrico.
• Vendas a descoberto são permitidas.
• Não há custos de transações ou taxas.
• Não há pagamentos de dividendos durante a
  existência do derivativo.
• Transações podem ser realizadas continuamente.
• A taxa de juros básica é constante e a mesma para
  todos os prazos de maturação.
• Assumindo-se ausência de arbitragens obtemos o
  preço justo dos derivativos.

62
Idéia para obtenção da fórmula de apreçamento

• O movimento geométrico browniano é representado
  pela seguinte Equação Diferencial Estocástica
• Esta indica como o preço da ação evolui ao longo
  do tempo Ele depende de uma componente
  determinística que gera um rendimento contínuo à
  taxa livre de risco r, e mais um termo
  estocástico que depende do movimento browniano, e
  devido à volatilidade constante, apresenta
  distribuição normal.
• A partir deste ponto, tudo o que precisamos é
  obter como os preços dos derivativos variam ao
  longo do tempo, usando uma equação semelhante à
  anterior.

63
O Lema de Ito

• Esta ferramenta é útil para nos informar quanto
  varia uma função de uma variável aleatória X,
  quando esta variável aleatória sofre uma pequena
  variação em seu valor.
• Qual a importância disto no contexto de
  apreçamento de derivativos?
• Através deste lema somos capazes de identificar
  qual a sensibilidade do preço de um derivativo
  com relação ao seu ativo subjacente.
• Isto irá nos ajudar diretamente a montar
  carteiras que replicam o ativo livre de risco, e
  que portanto devem rendar à taxa livre de risco r.

64
Motivando o Lema de Ito

• Considere a função .
• Quanto varia aproximadamente f quando t sofre uma
  pequena variação de unidades de tempo?
• A resposta é dada por
• Quando t2 e obtemos
  , o que implica em uma variação de
  0.41.
• Já coma nossa fórmula aproximada obtemos uma
  variação de 220.10.4, bem próxima do valor
  real.
• Então notamos que aproximações para variações nos
  valores de uma função nos ajudam a manter-nos
  informados sobre os valores da função ao longo do
  tempo.
• O lema de Ito nos dá estas variações quando as
  variáveis são estocásticas, isto é, não
  determinísticas.

65
Apresentação do Lema de Ito

• Seja X um processo estocástico descrito pela
  seguinte equação dinâmica
• Seja uma função contínua
  e diferenciável.
• Então vale que
• Note que o fato de X ser estocástico e em
  particular dependente de um movimento browniano
  nos dá um termo extra no que seria a fórmula de
  Taylor usual para aproximação da variação de uma
  função!

66
Obtendo-se uma carteira instantaneamente livre de
risco

• Voltando ao MGB
  
• Somente assumimos que o preço de uma opção, em um
  dado instante de tempo t, será uma função do
  preço da ação (neste instante) e do próprio
  instante de tempo t
• Então, aplicando-se o lema de Ito obtemos

67
A Carteira de Hedge

• Então, observando que toda a incerteza no preço
  da opção e no preço da ação está representada
  pelo termo que contém o movimento browniano,
  podemos montar uma carteira que
• anule tal efeito, por exemplo, comprando-se
  
• unidades da ação e vendendo-se uma unidade
  da opção.
• Como esta carteira não apresenta incerteza, ela
  deve render o mesmo que um ativo livre de risco.
• Mas ao mesmo tempo a variação da carteira é dada
  por
• 
  Substituindo

68
A Fórmula de Black Scholes

• Combinando-se as equações anteriores obtemos a
  seguinte equação diferencial parcial
• Para uma opção de compra que paga
  a solução é dada por
  

69
O Sorriso da Volatilidade

• A partir da fórmula de BS, e de dados observados
  em mercado para taxa de juros, preço atual da
  ação, e preços para opções, é possível se
  inverter a fórmula obtendo-se o que é chamado de
  volatilidade implícita.
• O gráfico que relaciona, volatilidade implícita
  (eixo y) com preços de exercício de opções de
  compra (eixo x), fixados prazo de vencimento e
  ativo subjacente, é denominado sorriso da
  volatilidade.

70
Black Scholes quando a ação paga dividendos

• Suponha que a ação pague dividendos a uma taxa
  contínua q. Suponha a existência de uma ação
  idêntica que não paga dividendos mas que
  apresente o mesmo retorno total. Então, como o
  retorno de ambas deve ser o mesmo, se a que paga
  dividendos apresenta um valor final , a
  que não paga deve apresentar um valor
  .
• Fazendo uso deste fato identificamos que a
  fórmula de BS pode ser utilizada com o preço
  inicial da ação descontado pela taxa dos
  dividendos.
• Quando os dividendos são pagos em instantes
  discretos, pode-se descontá-los a valor presente,
  descontá-los do preço inicial da ação, e aplicar
  a fórmula de BS.

71
Limites e paridade quando a ação paga dividendos

• Todos os limites superiores se mantém os mesmos
  que vimos anteriormente.
• Já os limites inferiores se alteram para
• Que representam exatamente os resultados
  anteriores com substituído por
  .
• Da mesma forma a paridade put-call passa a ser

72
A Fórmula de Apreçamento quando a ação paga
dividendos

• Exemplo 1
• Considere uma opção de compra européia sobre uma
  ação que paga dividendos em 2 e 5 meses
  respectivamente, de 0.5. O preço atual desta
  ação é de 40, o preço de exercício é de 40, a
  volatilidade do preço é de 0.30, r0.09, e a
  opção vence em 6 meses. Qual o preço da opção?
• Resp Basta usar a fórmula de BS com S
  descontada do valor presente dos dividendos,
  obtendo-se 3.67.

73
Opçoes sobre Moedas

• Uma moeda estrangeira funciona como uma ação
  pagando dividendos à taxa de juros r_f, básica da
  economia estrangeira.
• Então podemos apreçar opções sobre moedas
  utilizando os resultados anteriores de opções
  sobre ações que pagam dividendos, substituindo
  qr_f.
• Exemplo Considere uma opção que vale 0.043, at
  the money de 4 meses sobre a libra esterlina. A
  libra vale 1.6 dolares, a taxa de juros de 4
  meses na inglaterra é de 11 a.a. e a taxa de 4
  meses nos estados unidos é de 8 a.a. Qual a
  volatilidade implícita desta opção?
• Resp 14.1

74
Aula 5 Opções sobre Dólar e IDIExóticas a
partir do Sorriso da Volatilidade
75
Opçoes sobre Moedas

• Uma moeda estrangeira funciona como uma ação
  pagando dividendos à taxa de juros r_f, básica de
  economia estrangeira.
• Então podemos apreçar opções sobre moedas
  utilizando os resultados anteriores de opções
  sobre ações que pagam dividendos, substituindo
  qr_f.
• Exemplo Considere uma opção que vale 0.043, at
  the money de 4 meses sobre a libra esterlina. A
  libra vale 1.6 dolares, a taxa de juros de 4
  meses na inglaterra é de 11 a.a. e a taxa de 4
  meses nos estados unidos é de 8 a.a. Qual a
  volatilidade implícita desta opção?
• Resp 14.1

76
(No Transcript)
77
Estrutura a Termo Brasileira no dia 14 de Julho
78
Obtendo-se o Sorriso da Volatilidade para Opções
sobre o Dólar

• Para o dia 13 de julho de 2005, a tela da
  Bloomberg apresenta os preços de opções que
  vencem no dia 31 de julho, com diferentes preços
  de exercícios.
• Vamos utilizar o matlab para extrair qual o
  sorriso da volatilidade para este mercado, ou em
  outras palavras, qual a função que relaciona
  volatilidades implícitas aos preços de exercício
  das opções.
• As opções para AGOSTO05 vencem no último dia do
  mês anterior, 31/07/2005. Existem 13 dias úteis
  entre as duas datas.
• Pela tabela anterior da BMF o DI para AGOSTO05
  apresenta taxa de 19.71

79
Aplicação para uma opção exótica sobre dólar
usando-se o sorriso

• Suponha que ainda no dia 13 de julho um
  investidor esteja interessado em comprar uma
  opção com strike2370, que pague o valor do dólar
  no vencimento se o dólar no vencimento for maior
  que o strike, ou caso contrário pague 0.
• Se você fosse abrir mercado para este investidor,
  qual o valor mínimo que vc cobraria dele?

80
Solução para o problema anterior

• Suponha que D represente o dolar. Esta opção
  propõe pagar
• A idéia é tentar expressar esta valor da forma
  mais simples de se calcular
• Então esta opção irá custar o valor de uma opção
  de compra mais aquele segundo termo que pode ser
  obtido por simulação, lembrando-se que o dolar
  segue o seguinte processo
• A volatilidade proposta para esta simulação é
  então obtida a partir de uma interpolação da
  curva do sorriso da volatilidade, utilizando-se
  os vértices 2350 e 2400.

81
Opções sobre Futuros

• Um futuro se comporta como uma ação que paga
  dividendos à taxa qr.
• A explicação é que quando entramos em um contrato
  futuro sobre ação estamos travando o custo para
  se obter a ação em uma data T em , de forma
  que podemos a priori reservar o valor
  trazido a valor presente e
  colocá-lo em uma conta corrente rendendo ao custo
  de oportunidade que este será suficiente para
  honrar o compromisso futuro e obter a ação
  .
• Note que para obtermos basta termos
  e esta é precisamente a correção que
  usamos em Black and Scholes para uma ação que
  paga dividendos qr.

82
O Modelo de Black

• Este modelo é simplesmente uma adaptação do
  modelo de Black and Scholes para opções sobre
  futuros.
• O ativo objeto passa a ser o futuro em questão, F
  no lugar da ação, e utiliza-se a fórmula de BS
  para uma ação que paga dividendos à taxa r,
  obtendo-se

83
Aplicação prática Calls sobre o índice IDI
84
(No Transcript)
85
Aula 6 Gerenciamento de Risco de
OpçõesIntrodução às Gregas de Black and Scholes
86
Sensibilidade do Preço de uma Opção

• Como observamos anteriormente o preço de uma
  opção é sensível a mudanças
• No preço da ação
• Na taxa de juros
• Na volatilidade
• No prazo de vencimento da opção
• Através de uma análise das primeiras derivadas do
  preço com relação a estas diferentes variáveis
  podemos aproximar a variação do preço dada em um
  curto intervalo de tempo.
• Estas derivadas são denotadas por letras gregas e
  são diretamente utilizadas para o gerenciamento
  de risco de opções.

87
O Delta de uma Opção

• Mede a sensibilidade do preço de uma opção a
  variações pequenas do preço do ativo objeto.
• É positivo para opções de compra (número entre 0
  e 1) e negativo para opções de venda.
• Que opções são mais sensíveis a variações nos
  preços do ativo objeto, as dentro ou fora do
  dinheiro (respectivamente in the money ou out
  of the money)?
• Sob o modelo de Black Scholes o delta pode ser
  obtido por
• Sem dividendo com dividendo moeda
  futuro

88
O Delta de uma Opção

• O delta de uma carteira de opções é a soma
  ponderada dos deltas de cada uma das opções.
• Um hedge de uma carteira baseado no delta protege
  o investidor de mudanças no preço do ativo objeto
  mas deixa a carteira sujeita ao risco das outras
  variáveis que influenciam no preço de uma opção,
  como a taxa de juros e a volatilidade.
• Exemplo 1 Um banco vendeu uma opção de venda
  européia com 6 meses até o vencimento, para uma
  venda de 1000 libras esterlinas a uma taxa de 1.6
  dólares/libra. Suponha que a libra valha
  atualmente 1.62, que a taxa de juros livre de
  risco na Inglaterra seja de 13 a.a., e nos
  estados unidos de 10 a.a. e que a vol da libra é
  de 15 a.a.
• Quantas libras devem ser compradas/vendidas para
  delta hedgear esta posição?

89
Exemplo 2

• Exemplo Considere as cinco opções de compra
  (todas sobre a mesma ação, com vencimentos
  idênticos) cujas gregas estão dadas abaixo
• Assuma que você seja responsável pela gestão de
  riscos de derivativos em um banco brasileiro, e
  que este banco vendeu exóticas (todas sobre a
  mesma ação das cinco opções acima, com vencimento
  idêntico), resultando em uma exposição dada pelas
  gregas da tabela
• Em um hedge delta neutro usando somente a
  primeira opção (CFM-JUN), quantas opções são
  necessárias? É necessário comprar ou vender estas
  opções?

90
Exemplos Gráficos de Deltas

• Estas opções apresentam prazo de vencimento de 1
  ano, preço de exercício igual a 70, e taxa de
  juros de 20 a.a.
• Vols são de 30 (caso padrão) e 80 (caso de
  volatilidade alta).

91
Exemplos Gráficos de Deltas Opção sobre a Libra

• Estas opções apresentam prazo de vencimento de
  0.5 anos, preço de exercício igual a 1.6, taxa de
  juros americana de 10 a.a., Britânica de 13
• Vols são de 15 (linha azul) e 55 (linha
  vermelha).

92
O Theta de uma Opção

• Fixadas todas as outras variáveis, o preço de uma
  opção ainda varia com a passagem do tempo.
• Isto porque o tempo altera o prazo até o
  vencimento das opções.
• A taxa de variação do preço da opção em função do
  tempo é denominada theta.
• Utilizando-se do modelo de BS podemos obter

93
Exemplo Gráfico do Theta de uma Opção de Compra

• Note como o theta é negativo (normalmente) e mais
  pronunciado para opções perto do dinheiro.

94
Exemplo Numérico

• Considere uma opção de venda européia sobre uma
  ação que vence em 8 meses. O valor atual da ação
  é de R 35. O preçode exercício é de R 30. A
  taxa de juros é de 23 a.a. E a volatilidade da
  ação é de 40. Qual o valor do theta desta opção?
• Resposta -6.48. Como este valor esta expresso em
  anos, para se obter a sensibilidade do preço da
  opção com relação a mudança do tempo, em dias,
  basta dividir tal resultado por 252, obtendo-se
  0.0257 R/dias.

95
O Gama de uma Opção

• Mede a taxa de variação do delta de uma opção,
  sendo portanto a derivada segunda do preço da
  opção com relação ao ativo objeto.
• Carteiras com gamas pequenos indicam que hedges
  delta-neutros não vão precisar ser reavaliados
  com uma frequência muito grande.
• Utilizando-se do modelo de BS podemos obter

96
Exemplo do Gamma de uma Opção

• Note que este número é sempre positivo como
  mostra a figura abaixo em um exemplo padrão.

97
Exemplo Numérico

• Considere uma opção de venda européia sobre uma
  ação que vence em 8 meses. O valor atual da ação
  é de R 35. O preçode exercício é de R 30. A
  taxa de juros é de 23 a.a. E a volatilidade da
  ação é de 40. Qual o valor do gama desta opção?
• Resposta 0.0190, o que significa na prática que
  um aumento de um real no preço da ação aumenta o
  delta desta opção em 0.019, representando um
  aumento de 2.31 no delta.

98
Relação Entre Delta, Theta, e Gamma

• Sabemos do modelo de BS, a partir da replicação
  do valor de uma carteira de opções a partir do
  ativo objeto e bônus de renda fixa que o valor da
  carteira deve satisfazer à seguinte equação
  diferencial parcial

99
Aula 7 A Estrutura a Termo da Taxa de Juros
Tipos de Movimentos
100
Movimentos da Estrutura a Termo

• Fato empiricamente aclamado Na grande maioria
  dos mercados de renda fixa mundiais, a estrutura
  a termo apresenta sua dinâmica regida por pelo
  menos dois tipos de movimentos desvios paralelos
  e mudanças de inclinação.
• Litterman Scheinkman (1991), Almeida e outros
  (2003).
• Quando escrevemos variações na curva sendo
  regidas por uma única variável estamos
  negligenciando alguns tipos de movimentos.
• Neste caso, mesmo que o hedge esteja
  perfeitamente implementado, o risco de mercado
  estará longe de ser eliminado.
• Como então identificar os tipos de movimentos de
  uma curva de juros?

101
Análise de Componentes Principais e a Curva de
Juros

• Assuma conhecido um histórico contendo taxas de
  juros de um mercado, para diferentes prazos de
  vencimento.
• Estas taxas apresentam uma estrutura de
  correlação, ou seja, quando uma se modifica, as
  outras seguem um certo padrão de modificação que
  depende da mudança de primeira taxa considerada.
• Para isolarmos movimentos completos da curva de
  juros, devemos realizar uma rotação no conjunto
  de taxas iniciais observadas de forma a se obter
  um novo conjunto de variáveis ortogonais.
• Ortogonais no sentido de que os movimentos entre
  tais variáveis não são linearmente dependentes.
• Estas novas variáveis são chamadas componentes
  principais.

102
Componentes Principais da Curva de DI

• 3 tipos de movimentos são identificados como
  importantes.
• Descrevem respectivamente 79, 13 e 5 dos
  movimentos.
• Representam aproximadamente desvios paralelos,
  mudanças na inclinação e mudanças na curvatura.
• Suas volatilidades são respectivamente 1.09,
  0.44 e 0.26.

103
Movimentos quando a curva é não-observável

• Para curvas de juros de papeis que pagam cupons o
  problema da extração dos movimentos é mais
  complicado
• Isto ocorre porque neste caso não observamos as
  taxas de juros de papeis zero cupom e estas devem
  ser estimadas para que possamos identificar os
  movimentos mais importantes destas curvas.
• Esta dificuldade aparece em mercados de bônus
  corporativos, Bradies, Globals, do tesouro
  americano, etc...
• Como proceder?

104
Interest Rate Risk Measurement inLatin
American Emerging Markets
Using Orthogonal Polynomials

• Caio Ibsen R. de Almeida
• Antonio Marcos Duarte Junior
• Cristiano A.C. Fernandes
• Rio de Janeiro, Outubro 2001

105
Tópicos

• Motivação
• Estruturas a Termo em Países Emergentes
• Estimação de VaR de uma Carteira Brasileira
• Conclusão

106
Motivação

• Em geral, investimentos em mercados emergentes
  apresentam níveis altos de risco.
• Fundamental mensurar este risco.
• Um possível procedimento consiste em
• Definir os fatores de risco.
• Estabelescer um modelo probabilístico para estes
  fatores.
• Estimar suas F.D.P.s a partir de dados
  históricos.
• Obter a F.D.P da v.a. variação da carteira.
• Como adaptar esta sequência a mercados emergentes
  de renda fixa?

107
Problema

• Neste contexto, o principal fator de risco não é
  observável.
• Solução possível
• Decompor a estrutura a termo através de uma
  parametrização por fatores ortogonais (Pol. de
  Legendre).
• Estimar a série histórica destes fatores.
• Nossos fatores de risco são obtidos a partir dos
  coeficientes de Legendre e da curva dos strips
  americanos.
• Obtemos as distribuições de probabilidades dos
  fatores por Simulação Histórica (HS Jorion
  1997).

108
Estrut. a Termo em Países Emergentes

• Conhecemos os fluxos de caixa e os preços de
  mercado de um conjunto de ativos de renda fixa.
• Desejamos estimar a sua estrutura a termo da taxa
  de juros.
• fluxo de caixa

C2
C1
C3
C4
Ck
...
...
t1
t3
t2
...
t4
tk
109
Estrutura do modelo

• Estimado a partir da seguinte regressão
  não-linear

110
Os quatro primeiros Polinômios de Legendre
111
Modelo de Rating

• Como incorporar diferentes ratings no processo de
  estimação ?
• 1. Através da função de spread
• e ainda
• 2. Modelar a função de spread como uma combinação
  linear de polinômios de Legendre.

112
Exemplos

• Exemplo 1 Capturando a diferença em risco de
  crédito dos diferentes ratings usando somente o
  fator de translação
• Exemplo 2 Capturando a diferença em risco de
  crédito dos mercados de Globals e Brady Bonds
  usando os fatores de translação e torsão
• Consequência Permite que o spread das curvas
  apresente volatilidade dependente da maturação.

113
Bonds utilizados no processo de estimação
114
Estimação Conjunta das Estruturas a Termo dos
Mercados de Bradies e Global Bonds Brasileiros
115
Estimando o VaR de uma Carteira

• Para cada data no passado devemos
• Estimar as ETTJs de Bradies e Globals.
• Armazenar os coeficientes de Legendre.
• Em seguida
• Obter os histogramas das variações percentuais
  dos coeficientes de Legendre.
• Obter as distribuições de probabilidades
  históricas das variações dos fatores de risco a
  partir dos histogramas.

116
Estimando o VaR de uma Carteira

• Simulação histórica
• A partir da distribuição conjunta dos fatores de
  risco, reapreçar os ativos de renda fixa
  aplicando cada cenário à estrutura a termo atual.
  
• O VaR das carteiras é obtido a partir dos
  cenários gerados para os preços dos ativos.

117
Evolução Histórica das Estruturas a Termo
Estimadas
118
Um Exemplo de Fator de Legendre
119
Distribuições Históricas das Variações
Percentuais dos Coeficientes de Legendre
120
Distribuições Históricas das Variações
Percentuais dos Coeficientes de Legendre
121
Carteiras Analisadas

• Carteira 1
• Long US 20 milhões em CBOND.
• Long US 20 milhões em DCB.
• Long US 10 milhões em GLOBAL 30.
• Short US 20 milhões em EI.
• Short US 15 milhões em IDU.
• Short US 15 milhões em GLOBAL 01.
• Carteira 2
• Long US 20 milhões em CBOND.
• Long US 20 milhões em DCB.
• Long US 10 milhões em GLOBAL 30.
• Long US 20 milhões em EI.
• Long US 15 milhões em IDU.
• Long US 15 milhões em GLOBAL 01.

122
Densidade de Probabilidades dos Retornos da
Carteira 1 obtida por S.H.
123
Densidade de Probabilidades dos Retornos da
Carteira 2 obtida por S.H.
124
VaR Estimado para Globals e Brady Bonds Baseado
em S.H.

• Se X é v.a. que representa resultado do
  investimento, então estimamos o pela
  seguinte equação

125
Var Estimado para as Carteiras 1 e 2 baseado em
S.H.
126
Conclusão

• Modelo propõe a estimação de risco em mercados
  cuja estrutura a termo da taxa de juros não é
  observável.
• Sugerimos a realização de testes de
  estacionariedade e independência para as séries
  dos fatores de risco.
• Quando as hipóteses de estacionariedade e
  independência são válidas, o modelo equivale à
  aplicação da técnica de componentes principais.
• Metodologia pode ser aplicada em análise de
  risco, alocação de carteiras, imunização de
  carteiras e otimização estocástica dinâmica.

127
Aula 8 O Modelo de Black, Derman Toy
128
Propriedades Gerais

• É um modelo para a taxa de curto prazo, nos
  mesmos moldes que o modelo de Vasicek (1977) e
  Hull White (1993), implementado via uma árvore
  binomial.
• Seu equivalente em tempo contínuo é
• onde representa a volatilidade condicional do
  log da taxa de curto prazo.
• O modelo é capaz de incorporar a estrutura a
  termo atual e a estrutura a termo das
  volatilidades dos ativos cupom-zero atuais.
• A distribuição da taxa de curto prazo é
  log-normal, portanto apresentando probabilidade
  nula de atingir valores negativos.

129
Propriedades Gerais

• Note que o modelo somente apresenta reversão à
  média quando a volatilidade condicional
  instantânea da log-taxa de curto prazo é
  decrescente no tempo. (imposição não muito
  razoável!).
• Não apresenta formulas analíticas para preços de
  ativos cupom-zero ou opções, se fazendo
  necessária a utilização de métodos numéricos
  (entre os quais árvores binomiais) para resolver
  o problema de apreçamento.

130
Versão Discreta Árvores Binomiais

• Árvores binomiais e modelos de taxa de juros
  consistência no mundo neutro ao risco
• A idéia é construir uma árvore binomial para as
  taxas de curto prazo que reproduza as variâncias
  e esperanças condicionais do processo seguido
  pela taxa r_t sob a medida neutra ao risco.
• Garante-se que os preços descontados da ativos de
  renda fixa são martingais através de uma
  estrutura de apreçamento na árvore onde isto é
  imposto por construção.
• Uma vez conhecida a árvore para r_t, o
  apreçamento de bônus e derivativos é imediato.

131
Árvore para a taxa de curto prazo

• A estrutura básica é mantida por uma bifurcação
  em duas possibilidades, da passagem de uma
  unidade de tempo
• Ex Suponha que a árvore para a taxa de curto
  prazo sob o mundo neutro ao risco seja dada
  abaixo.

132
Apreçando-se zeros quando a árvore é conhecida

• Como apreçar um papel cupom-zero de n periodos?
• Note que na data de vencimento, em todos os
  possíveis estados da natureza o ativo zero paga o
  valor de face (no caso 100,00).
• Defina o fator de desconto
• O processo r_t está ligado a um empréstimo para o
  intervalo t,tdelta_t.
• O preço do bônus em um instante arbitrário t em
  função de seus possíveis valores futuros é dado
  por

133
Apreçando-se zeros de 1 e 2 períodos

• Abaixo aparecem as árvores de precificação dos
  zeros de 1 e 2 anos

134
Apreçando-se um Bônus que paga cupom

• Considere um bônus que paga 10 de cupom anual,
  vence em 3 anos, e apresenta valor de face de
  100.
• Qual seria a árvore de precificação deste Bônus?

135
Apreçando-se uma Opção sobre o Bônus que paga
cupom

• Qual seria a árvore de precificação
  correspondente a uma opção de compra européia
  sobre este Bônus, com strike 95, e vencimento de
  2 anos?
• Para obter esta árvore fazemos uso da árvore do
  Bônus para saber o que ocorre nos nós
  correspondentes ao segundo ano.

136
Algumas considerações

• Até este ponto sabemos como apreçar zeros, bônus
  e opções européias sobre estes ativos,
  partindo-se do pressuposto de que conhecemos a
  árvore para a evolução da taxa de curto prazo.
• Uma pergunta natural seria Como fazemos para
  montar a árvore da taxa, de forma a
  compatibilizar o modelo com as informações de
  mercado?
• Isto será visto na próxima sessão...