AUBER F1

1
CD5560 FABER Formal Languages, Automata and
Models of Computation Lecture 0 -
Intro Mälardalen University 2005
2

• Content
• Adminstrivia
• Mathematical Preliminaries
• Countable Sets (Uppräkneliga mängder)
• Uncountable sets (Överuppräkneliga mängder)

3
Lecturer Examiner Gordana Dodig-Crnkovic
4
Teaching Assistent Andreas Ermedahl
5
Course Home Page
6
How Much Work?

• 20 hours a week for this type of course (norm)
• 4 hours lectures
• 2 hours exercises
• 14 hours own work a week!

7
Mathematical Preliminaries
8

• Sets
• Functions
• Relations
• Proof Techniques
• Languages, Alphabets and Strings
• Strings String Operations
• Languages Language Operations

9
SETS
A set is a collection of elements
We write
10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
(No Transcript)
13

• Complement
• Universal set 1, , 7
• A 1, 2, 3 A 4, 5, 6, 7

4
A
A
6
3
1
2
5
7
A A
14
(No Transcript)
15
(No Transcript)
16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
(No Transcript)
20
(No Transcript)
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
Construction
We define a graph to be k-regular if every node
in the graph has degree k.
Theorem. For each even number n gt 2 there
exists 3-regular graph with n nodes.
n 6
n 4
24
(No Transcript)
25
Induction
We have statements P1, P2, P3,

• If we know
• for some k that P1, P2, , Pk are true
• for any n ? k that
• P1, P2, , Pn imply Pn1
• Then
• Every Pi is true

26
Proof by Induction

• Inductive basis
• Find P1, P2, , Pk which are true
• Inductive hypothesis
• Lets assume P1, P2, , Pn are true,
• for any n ? k
• Inductive step
• Show that Pn1 is true

27
Example
Theorem A binary tree of height n
has at most 2n leaves.
Proof let L(i) be the number of
leaves at level i
28

• We want to show L(i) ? 2i
• Inductive basis
• L(0) 1 (the root node)
• Inductive hypothesis
• Lets assume L(i) ? 2i for all i 0, 1, , n
• Induction step
• we need to show that L(n 1) ? 2n1

29
(No Transcript)
30
(No Transcript)
31
Inductionsbevis Potensmängdens kardinalitet
Påstående En mängd med n element har 2n
delmängder

• Kontroll
• Tomma mängden (med noll element) har bara en
  delmängd .
• Mängden a (med ett element) har två
  delmängder och a

32
Påstående En mängd med n element har 2n
delmängder

• Kontroll (forts.)
• Mängden a, b (med två element) har fyra
  delmängder , a, b och a,b
• Mängden a, b, c (med tre element) har åtta
  delmängder , a, b, c och a,b,
  a,c, b,c, a,b,c
• Påstående stämmer så här långt.

33

• Bassteg
• Enklaste fallet är en mängd med noll element (det
  finns bara en sådan), som har 20 1 delmängder.

34

• Induktionssteg
• Antag att påståendet gäller för alla mängder med
  k element, dvs antag att varje mängd med k
  element har 2k delmängder.
• Visa att påståendet i så fall också gäller för
  alla mängder med k1 element, dvs visa att varje
  mängd med k1 element har 2k1 delmängder.

35

• Vi betraktar en godtycklig mängd med k1 element.
  Delmängderna till mängden kan delas upp i två
  sorter
• Delmängder som inte innehåller element nr k1 En
  sådan delmängd är en delmängd till mängden med de
  k första elementen, och delmängder till en mängd
  med k element finns det (enligt antagandet) 2k
  stycken.

36

• Delmängder som innehåller element nr k1 En
  sådan delmängd kan man skapa genom att ta en
  delmängd som inte innehåller element nr k1 och
  lägga till detta element. Eftersom det finns 2k
  delmängder utan element nr k1 kan man även skapa
  2k delmängder med detta element.
• Totalt har man 2k 2k 2. 2k 2k1 delmängder
  till den betraktade mängden.
• END OF PROOF
• (Exempel från boken Diskret matematik och
  diskreta modeller, K Eriksson, H. Gavel)

37
(No Transcript)
38
(No Transcript)
39
(No Transcript)
40
Languages, Alphabets and Strings
41
Languages
A language is a set of strings
A String is a sequence of letters

• defined over an alphabet

An alphabet is a set of symbols
42
Alphabets and Strings

• We will use small alphabets

Strings
43
Operations on Strings
44
String Operations
Concatenation (sammanfogning)
xy ? abbabbbaaa
45
Reverse (reversering)
Example Longest odd length palindrome in a
natural language saippuakauppias (Finnish soap
sailsman)
46
String Length
Examples
47
Empty String

• A string with no letters
• (Also denoted as ?)
• Observations

48
Substring (delsträng)

• Substring of string
• a subsequence of consecutive characters
• String
  Substring

49
Prefix and Suffix

• Suffixes

Prefixes
50
Repetition
n

w
ww...
w

n

• Example
• Definition

51
The (Kleene star) Operation

• the set of all possible strings from
  alphabet

Kleene is pronounced "clay-knee
52
The Operation
the set of all possible strings from
alphabet except



S
,
b
a