Wave Motion

1
?????????????????????

• Wave Motion

2
????????????

• ??????????????????? 2 ???????? ? ???
• ??????? (Mechanical waves)
• ?????????????????
• ??????????????? (propagation) ????????????????????
  ??
• ?????????????????? (Electromagnetic waves)
• ???????????????????????????
• ???????????? ???(light) , ?????????? (radio
  waves) , ??????????? (x-rays)

3
????????????????????

• ??????????????????????? ?????????????????????????
  ??????????????????????????????? ? ???
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????
• ??????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????

4
?????????????? (Mechanical Wave)

• ?????????????????????????????? (disturbance)
• ????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????? ?

5
????????????????(Pulse on a Rope)

• ??????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????(tension)
• ???????? 1 ?????????????????????????? ?????
  (pulse) ??????????? ????????????????????????

6
????????????????(Pulse on a Rope) , ???

• ?????????????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????
• ????????????????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????(????????
  ???? Sinusoidal Waves )????????????????????????
  ??

7
????????????(Transverse Wave)

• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ? ???????????????????? (transverse wave)
• ?????????????????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????????????

8
???????????(Longitudinal Wave)

• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????? ???????????(longitudi
  nal wave)
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?

9
???????????

• ??????????????????? (Complex Waves)
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???

10
???????????????????????Traveling Pulse , 1

• ????????????????????????????????????????????????(P
  ulse) ??????? t 0
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???? ????????????
• y (x,0) f (x)
• ??????????????????????????????????????????????????
  ????????? y ????????????????????? x ??????? t
  0

11
???????????????????????Traveling Pulse, 2

• ?????????????????????? ???? v
• ????????????????????????????? vt ??????? t
• ????????????????????????? ???????????????????
• ??????????????? y ????????????????????
• y f (x vt)

12
???????????????????????Traveling Pulse, 3

• ???????????????????????????????????????? Origin
  ??????????????? y ?????????????????????????
• y (x, t) f (x vt)
• ????????????????????????????????????????? Origin
  ??????????????? y ?????????????????????????
• y (x, t) f (x vt)
• ???????? y ????????????? ????????????? (wave
  function) y (x, t)
• ????????????? ?????????? y ???????????????????
  x ??????? t
• ????? y ???????????????????????????????????

13
???????????????????????Traveling Pulse, 4

• ??????? t ??? fixed ( ??????? )
  ????????????????????????????????? ????????
  (waveform)
• ???????????????????????????????????????????????? t

14
???????? ?????????????????????????????? Origin, 1

• ?????????????????????????????????? x
  ?????????????????
• ????? x ??? y ??????????????????? ??????? t
  ?????????? ??????
• ????????????????????????? ??????? t0 , t1.0
  ??? t2.0 s

15
???????? ?????????????????????????????? Origin,2

• Solution
• ???????????????????????????????? yf(x-vt)
• ??????????????????????????? 3.0 cm/s
• ??????? ?????????????????? y 2.0 cm

16
???????? ?????????????????????????????? Origin,3

• Solution
• ????????????????????????? ??????????? ? ??????
• ??????? t0
• ???????????????

17
???????? ?????????????????????????????? Origin,4

• Solution
• ????????????????????????? ??????????? ? ??????
• ??????? t1.0 s
• ???????????????

18
???????? ?????????????????????????????? Origin,5

• Solution
• ????????????????????????? ??????????? ? ??????
• ??????? t2.0 s
• ???????????????

19
????????????(Sinusoidal Waves)

• ?????????????????????????????????(sinusoidal
  wave)
• ?????????????????????? sin q ??????????????? q
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????(periodic continuous wave)
  
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????

20
????????????(Sinusoidal Waves) , ???

• ??????????????????????????????? Origin
• ?????? ?????????????????????????????????????
• ???????????????????????????? ???????????????? ?
  ????????????????????????????????????
• ????????????????????????????????? ( ???? )
  ????????? ????????????????????????
  ???????????????? (harmonic motion)
• ?????????????????????????? ?????????????????????
  ??? ????????????????????????????????

21
??????????????????????????????????????????????????
?????????(Amplitude) ??? ????????????
(Wavelength)

• ???????? (crest) ?????????? ????????????????????
  ??????????????????????????????
• ????????? (trough) ?????????? ???????????????????
  ???????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ????????? ????????? (amplitude, A)
• ???????????? (wavelength, l) ???
  ??????????????????????????
• ??????????????????????????????????? ???
  ????????????????????????????????????????????????

22
??????????????????????????????????????????????????
???(Period)

• ??? (period, T) ?????????????????????????????????
  ????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????

23
??????????????????????????????????????????????????
???????(Frequency)

• ??????? (frequency, ƒ) ??????????????????????????
  ??? ? ?????????????????????
• ??????????????? ?????? (second)
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????????????????????

24
??????????????????????????????????????????????????
???????(Frequency)

• ??????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????(second),
  ????????????????????????? ???????????? ( s-1
  Hz)
• Hz ??????? ?????? (hertz)

25
????????

• ???????????????( l )
• l 40.0 cm
• ???????????? ( A )
• A 15.0 cm
• ???????????????? ???
• y A cos(kx ?t)

26
?????????????????(Speed of Waves)

• ?????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????
• ????????????????????????????? 1 ?????????????
  ????????????????????? ??????????
• v s / t l / T

27
????????????? (wave function),1

• ?????? ??????????????????????? t 0?????
• ???????? a
• ????????????????????????? t ???
• ???????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????
• x vt ???? x vt

28
????????????? (wave function),2

• ????????????????????????????? 1 ?????????????
  ????????????????????? ?????????? v l / T
• ????????????????????????????????
• ?????????????????????????????? y
  ?????????????????????(periodic)

29
????????????? (wave function),3

• ?????????????? ???????? ??????????????? (angular
  wave number) ????????????? ? ??? ???????? (wave
  number) ???????????????? k ????????
• ???????????????????? (angular frequency)

30
????????????? (wave function),4

• ????????????????????????????????????
• y A sin (k x wt)
• ??? v s / t l / T ??????????????????????????
  
• v lƒ
• ??? y ¹ 0 ??? x 0 ??? t 0
  ?????????????????????????????????????????????????
  
• y A sin (k x wt f)
• ????? f ???????? ???????????

31
???????????

• ????????????????????? f ????????????????????????
  ?????????????????????? ???????????????? 2
  ???????????????? 2f ??????????????????????????????
  ???? ?????? ????????? ???????????????????????????
  ???
• ?????????????????????????
• ????????????????????????????
• ????????????????????
• ????????????
• ??? ??? 3 ?????????????????????????
  ???????????????????????????????????
  ????????????????????????????

32
???????????

• ????????????????????? f ????????????????????????
  ?????????????????????? ???????????????? 2
  ???????????????? 2f ??????????????????????????????
  ???? ?????? ???????????? ????????????????????????
  ??????
• ?????????????????????????
• ????????????????????????????
• ????????????????????
• ????????????
• ?????? 2 ???????? ?????????????????????????????
  ? ??????????????????????? 2 ????????????????????
  ???????????????????????????????????? ???????? v
  lƒ

33
???????????

• ????????????????????? f ????????????????????????
  ?????????????????????? ???????????????? 2
  ???????????????? 2f ??????????????????????????????
  ???? ?????? ????????? ???????????????????????????
  ???
• ?????????????????????????
• ????????????????????????????
• ????????????????????
• ????????????
• ?????? 4 ???????? ?????????????????????????????
  ????????????????????

34
???????? ????????????????????????????

• ????????????????????????????? x ???????????
  15.0 cm , ???????????? 40.0 cm , ??????? 8.00 Hz
  ??? ?????????(y) ??? x0 ??? t 0 ???? 15.0 cm
  ??????
• ???? ???????? k , ??? T , ?????????????? ???
  ????????????????? v
• ????????????????????

35
???????? ????????????????????????????

• Solution 1

36
???????? ????????????????????????????

• Solution 2
• ??? y A sin (k x wt f) ??? x0 ??? t0
  ?????
• ???????
• ??????????????????
• ???????

37
??????????????????????? , 1Sinusoidal Wave on a
String

• ?????????????????????(???????) ???????????????????
  ??????????????????????????? ?????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????????? ???????????????????????????
  ???????
• ????????????????????????????? ????????(waveform)
  ????????????
• ????????????????????????????????????? ?????????
  ??????? ??? ??????????????? ????????
• v lƒ ???

38
??????????????????????? , 2Sinusoidal Wave on a
String

• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????? ?????????????????????????????????????
  ???
• ??????? P ???????
• ???????????? ? ?????????????????????????????????
  ?????????????????????????????????????????????????

39
??????????????????????? , 3Sinusoidal Wave on a
String

• ??????????????? (t 0) ????? ( b )
• ??????????????????????

40
??????????????????????? , 4Sinusoidal Wave on a
String

• ???????????????????????(???????)
  ????????????????? ???????????? P ??????????? ?
  ?????????????????????????????????????????????
  ???????????????????? x ??????? ???????????????????
  ???????????????? ???
• ????????????????????????????

41
??????????????????????? , 5Sinusoidal Wave on a
String

• ????????????????????????????????

42
??????????????????????? , 6Sinusoidal Wave on a
String

• ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????
• vy, max wA
• ay, max w2A
• ????????????????????????????????????????????????
  ???????????
• v ????????????????? y 0
• a ????????????????? y A

43
???????????

• ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????????? ? ?????????????????????????
  ????? ?????????????????????
• ???????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????
• ????????????????????????????????????????????????
• ?????????
• ?????????????
• ??? ??? 3 ????????????? ????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????????????????????????
  ??????

44
???????? ???????????????????????

• ?????? ???????????????????????? 5.00 Hz
  ????????????? 12.0 cm ???????????????????????
  20.0 m/s ?????????????????? ,
• ???????? ?????????????????????

45
???????? ???????????????????????

• Solution

46
???????????????????????????????????

• ??????????????????????????????????????????????????
  ????????????????????????????????????

47
???????????????????????????????????

• ????????????
• ??????

48
???????? ??????????????????????????????

• ?????????????????? 0.300 kg ???????????? 6.00 m
  ???????????? 2.00 kg ??????????????????
  ???????????????????????????????????????????????

49
???????? ??????????????????????????????

• Solution
• ??????????????????????????????????????????????????
  ? 2.00 kg
• ???????
• ??????
• ???????

50
??????????????????????(Reflection of a Wave,
Fixed End)

• ??????????????????????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????????????
• ??????????????? (reflection) ?????????????????????
  
• ???????????????????

51
???????????????????????Reflection of a Wave,
Free End

• ?????????????????? ??????????????????????????????
  ????????????????
• ????????????????????????????

52
??????????????????Transmission of a Wave,1

• ???????????????? 2 ????????????????????(??????)
  ??? ?????????????(???????)
• ??????????????????????????????????????
  ??????????????????????????????
• ???????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ???
• ?????????????????????????????????????????????????
• ???????????????????????????????????????????
• ???? ????????????????????????????????

53
??????????????????Transmission of a Wave, 2

• ???????????????????????????????????????
• ?????????????????????????????????????????
• ????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??????????????? ?????????????????????????????????
  ???????????????????????????????????????

54
??????????????????????????Energy in Waves in a
String

• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ?????????
• ?????????????????????????????????? y
• ??? ? ????????????????????????????????

55
??????????????????????????Energy in Waves in a
String

• ???????????? ? ??????????????????????????? Dm
• ??????????????????????????????????? DK ½ (Dm)
  vy2
• ??????? Dm ????????? mDx ?????
• DK ½ (mDx) vy2
• ??????????????????????????? ? ??????????????????

56
??????????????????????????Energy in Waves in a
String

• ??????????????????????????????????????????????????
  
• Kl ¼mw2A 2l
• ???????????????????????????????????????
• Ul ¼mw2A 2l
• ??????????????????????????????
• El Kl Ul ½mw2A 2l

57
?????????????

• ??????????(power) ??????? ??????????????????????
  ????????????
• ??????????????????????????????????????????????????
  ??
• ???????????????
• ?????????????????
• ?????????????????

58
???????? ??????????????????????????

• ????????????????????????????????????? 5.00 ? 10-2
  kg/m ????????????? 80.0 N ????????????????????
  ???????????????????????????????? 60.0 Hz
  ?????????????? 6.00 cm

59
??????????????????????????

• Solution
• ???????????????????
• ????????????????
• ?????????????????

60
The Linear Wave Equation

• The wave functions y (x, t) represent solutions
  of an equation called the linear wave equation
• This equation gives a complete description of the
  wave motion
• From it you can determine the wave speed
• The linear wave equation is basic to many forms
  of wave motion

61
Linear Wave Equation Applied to a Wave on a
String

• The string is under tension T
• Consider one small string element of length Dx
• The net force acting in the y direction is
• This uses the small-angle approximation

62
Linear Wave Equation Applied to Wave on a String

• Applying Newtons Second Law gives
• In the limit as Dx0, this becomes
• This is the linear wave equation as it applies to
  waves on a string

63
Linear Wave Equation and Waves on a String, cont

• The sinusoidal wave function represents a
  solution of the linear wave equation
• Applying the sinusoidal wave function to the
  linear wave equation and following the
  derivatives, we find that
• This verifies the speed of a wave on a string

64
Linear Wave Equation, General

• The equation can be written as
• This applies in general to various types of
  traveling waves
• y represents various positions
• For a string, it is the vertical displacement of
  the elements of the string
• For a sound wave, it is the longitudinal position
  of the elements from the equilibrium position
• For em waves, it is the electric or magnetic
  field components

65
Linear Wave Equation, General cont

• The linear wave equation is satisfied by any wave
  function having the form
• y f (x vt)
• The linear wave equation is also a direct
  consequence of Newtons Second Law applied to any
  element of a string carrying a traveling wave