LOS POLIEDROS

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LOS POLIEDROS

• REGULARES
• IRREGULARES
• CUERPOS REDONDOS

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JUSTIFICACIÓN DEL TEMA

• Hemos elegido el tema de los poliedros porque nos
  parece interesante y un buen tema a tratar, ya
  que vivimos en una sociedad donde muchos de
  los objetos que nos rodean poseen formas
  poliédricas y hemos considerado que es por ello
  un tema importante y que puede resultar atractivo
  para los alumnos ya que conviven diariamente con
  ello.
• Este trabajo, está enfocado especialmente, para
  el Tercer Ciclo de Educación Primaria,
  concretamente para el 6 ºcurso. Nos hemos basado,
  para su elaboración, en la Ley Orgánica de
  Educación (L. O. E.2006) ,que es la ley que está
  vigente actualmente.
• El nivel socioeconómico de los alumnos a los que
  va dirigida es un nivel medio-alto.

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CONCEPTOS PREVIOSDE LOS ALUMNOS

• Estos objetivos centrándonos en el área de
  geometría del segundo ciclo de primaria son
• La situación en el espacio, distancias, ángulos y
  giros.
• Localización precisa de elementos en el espacio.
• Representación elemental de espacios conocidos
  planos y maquetas.
• Descripción de posiciones y movimientos en un
  contexto topográfico.
• Localización de puntos, dado un sistema de
  referencia ortonormal,utilizando coordenadas
  cartesianas.
• Interpretación de croquis y planos sencillos.
• Líneas rectas y curvas. Rectas paralelas,
  perpendiculares y oblicuas.
• Relación entre el concepto de ángulo y el de
  giro.
• Formas planas y espaciales.

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• Figuras geométricas. Elementos básicos lado,
  vértice, base, diagonal, ángulo, ejes de
  simetría.
• Clasificación de polígonos. Lados y vértices.
  Composición y descomposición de polígonos.
  Iniciación al concepto de área. Estimación y
  cálculo del área de cuadrados, rectángulos y
  triángulos rectángulos.
• La circunferencia y el círculo. Elementos
  básicos centro, radio, diámetro, cuerda y arco.
• Cuerpos geométricos reconocimiento de prismas,
  pirámides y cuerpos redondos. Elementos básicos
  de poliedros caras, vértices y aristas.
• Clasificación de figuras y cuerpos geométricos
  utilizando diversos criterios.
• Identificación de figuras planas y espaciales en
  la vida cotidiana.
• Descripción de la forma de objetos utilizando el
  vocabulario geométrico básico.
• Construcción de figuras geométricas planas a
  partir de datos y de cuerpos geométricos a partir
  de un desarrollo.
• Exploración de formas geométricas elementales.
• Comparación y clasificación de ángulos rectos,
  agudos, obtusos, llanos, mayores de 180º y
  completos.
• Regularidades y simetrías.
• Transformaciones métricas traslaciones, giros y
  simetrías.
• Identificación de traslaciones, giros y
  simetrías en el entorno familiar y en la
  naturaleza.

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CONCEPTOS PREVIOS DEL PROFESOR

• Los conceptos en este ciclo en los cuales el
  profesor debe mantener muy presentes son los
  siguientes
• 1. Utilizar el conocimiento matemático para
  comprender, valorar y producir informaciones y
  mensajes sobre hechos y situaciones de la vida
  cotidiana y reconocer su carácter instrumental
  para otros campos de conocimiento.
• 2. Reconocer situaciones de su medio habitual
  para cuya comprensión o tratamiento se requieran
  operaciones elementales de cálculo, formularlas
  mediante formas sencillas de expresión matemática
  o resolverlas utilizando los algoritmos
  correspondientes, valorar el sentido de los
  resultados y explicar oralmente y por escrito los
  procesos seguidos.
• 3. Apreciar el papel de las matemáticas en la
  vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer
  el valor de actitudes como la exploración de
  distintas alternativas, la conveniencia de la
  precisión o la perseverancia en la búsqueda de
  soluciones, y el esfuerzo e interés por su
  aprendizaje.
• 4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las
  propias habilidades matemáticas para afrontar
  situaciones diversas que permitan disfrutar de
  los aspectos creativos, estéticos o utilitarios,
  y confiar en sus posibilidades de uso.
• 5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias
  personales de cálculo mental y medida, así como
  procedimientos de orientación espacial, en
  contextos de resolución de problemas, decidiendo,
  en cada caso, las ventajas de su uso y valorando
  la coherencia de los resultados.

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• 6. Utilizar de forma adecuada los medios
  tecnológicos tanto en el cálculo como en la
  búsqueda, tratamiento y representación de
  informaciones diversas, así como para la
  ampliación de los contenidos matemáticos y su
  relación con otros de las distintas áreas del
  currículo.
• 7. Identificar formas geométricas del entorno
  natural y cultural, utilizando el conocimiento de
  sus elementos y propiedades para describir la
  realidad y desarrollar nuevas posibilidades de
  acción.
• 8. Utilizar técnicas elementales de recogida de
  datos para obtener información sobre fenómenos y
  situaciones de su entorno representarla de forma
  gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la
  misma.
• 9. Plantear y resolver problemas matemáticos
  utilizando los procedimientos adecuados de
  cálculo, medida, estimación y comprobación de
  resultados.
• 10. Inventar y formular problemas matemáticos
  utilizando de forma lógica y creativa la
  comunicación oral y la expresión escrita en un
  castellano correcto.
• 11. Utilizar el lenguaje propio del campo
  científico con precisión y, en particular,
  emplear adecuadamente el lenguaje matemático para
  identificar relaciones y conceptos aprendidos y
  para comprender y nombrar otros nuevos.
• 12. Comprender la necesidad de la argumentación
  mediante razonamientos lógicos en el estudio y
  utilización de las Matemáticas.
• 13. Desarrollar estrategias de comprensión
  lectora en los mensajes transmitidos por los
  textos escritos utilizados en el área.

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1. DEFINICIÓN DE POLIEDROS

• Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos
  cuyas caras son polígonos.
• Una caja de zapatos, un dado y muchos otros
  objetos con superficies planas que podéis ver
  a vuestro alrededor, tienen forma poliédrica.

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2. LOS POLIEDROS EXPLICAN EL MUNDO

• Antiguamente se creía que todos los cuerpos de la
  Tierra eran mezcla de 4 elementos básicos
  tierra, fuego, aire y agua.
• Su clasificación la realizo de la siguiente
  manera El cubo pertenecería a la tierra. El
  tetraedro lo relacionó con el fuego. El Octaedro
  se lo atribuyó al aire y el icosaedro fue
  relacionado con agua.

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• Se dice también en esta relación de poliedros con
  cuerpos de la tierra y del conjunto de todo, como
  el universo, que el dodecaedro se asoció al
  universo porque tiene 12 caras, como los 12
  signos del Zodíaco.
• Kepler aún creía en la relación entre el universo
  y los poliedros regulares. Construyó un modelo
  del Sistema Solar con esferas y estos poliedros.
  Cada una de las esferas representaba la órbita de
  los planetas.

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3. LA FÓRMULA DE EULER

• La fórmula de Euler indica que si C representa el
  número de caras del poliedro, A representa el
  número de aristas y V representa el número de
  vértices del poliedro entonces se cumple que C
  V A 2.
• Para llevar a cabo esta clase es necesario que
  los estudiantes conozcan los cinco poliedros
  regulares tetraedro, hexaedro, octaedro,
  dodecaedro e icosaedro. Es necesario que conozcan
  los conceptos de vértice, arista y cara de un
  poliedro.

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• Si tomamos un cubo cualquiera este tendrá 6
  caras, 8 vértices y 12 aristas. C 6, V 8,
  A 12 de donde fácilmente vemos que
• C V A 6 8 12 2
• Si hacemos un corte en una esquina obtenemos
  poliedro irregular. C 7, V 10, A 15, vemos
  que al aplicar la fórmula se produce el mismo
  resultado, 2. 

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4. POLIEDROS IRREGULARES

• 4.1 Prisma

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• 4.1 El prisma
• Definición Un prisma, en geometría, es un
  poliedro que consta de dos caras iguales y
  paralelas llamadas bases, y de caras laterales
  que son paralelogramos.
• Un prisma se llama recto cuando las caras
  laterales son rectangulares, sus aristas
  laterales son perpendiculares a las bases.
• El prisma rectangular, y el prisma octagonal se
  encuentran entre los tipos de prisma recto, con
  una base rectangular y octagonal,
  respectivamente. 

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• Los elementos de un prisma son
• Las bases son la cara en la que se apoya el
  prisma y su opuesta.
• Las caras laterales son las caras que comparten
  dos de sus lados con las bases. La suma de sus
  áreas es la superficie lateral del prisma.
• Las aristas son los lados de las bases y de las
  caras laterales.
• Los vértices son los puntos en donde se
  encuentran cada par de aristas. 

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• Volumen El volumen de un prisma recto es el
  producto del área de una de las bases por la
  distancia entre ellas V volumen, Ab  área de
  la base es decir del polígono de la base, h
  altura
• V Ab x h
• Si la base es un cuadrado
• Si la base es un pentágono
• A (perímetro x apotema) / 2
• Área lateral el área lateral es igual al
  perímetro del polígono de la base multiplicado
  por la altura (h) del prisma. 
• AL P x h
• Perímetro Para conocerlo debemos medir y
  sumar las longitudes de sus lados.
• Área total es igual al área lateral más el área
  de los polígonos de las dos bases.
• AT  AL 2 x Ab

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4.2 La pirámide
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• 4.2 La pirámide
• Definición Las pirámides son poliedros que
  tienen una sola base, que es un polígono
  cualquiera y sus otras caras son triángulos que
  se unen en un vértice común que se llama cúspide
  o vértice de la pirámide.
• Los elementos de la pirámide
• La base es la cara en la que se apoya la
  pirámide.
• Las caras laterales son las caras que comparten
  uno de sus lados con la base. La suma de sus
  áreas es la superficie lateral de la pirámide.
• Las aristas son los lados de las bases y de las
  caras laterales.

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• Los vértices son los puntos en donde se
  encuentran cada par de aristas.
• Los apotemas son las alturas de las caras
  laterales de la pirámide.
• Volumen Para calcular el área total habrá que
  sumar al área lateral el área de la base
• A T perímetro de la base h 2 perímetro de
  la base a 2
• A T A L A B n l h 2 P B a 2
• Área El volumen de la pirámide es un tercio del
  volumen del prisma.
• V pirámide Volumen prisma 3 A B h 3

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• Tipos de pirámides según sea el polígono de su
  base

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5. POLIEDROS REGULARES

• 5.1 Tetraedro

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• 5.1 Tetraedro
• Definición Es un poliedro de cuatro caras, todas
  iguales, siendo cada una un triángulo equilátero.
  
• Sus partes principales son
• Cara cada uno de los cuatro triángulos
  equiláteros que definen al tetraedro regular.
  Puede dibujarse a partir de una arista.
• Vértice punto al que concurren tres aristas. En
  total hay cuatro.
• Arista segmento que une dos vértices. En total
  hay seis.

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• Aristas opuestas son dos aristas que no se
  cortan.
• Eje recta que pasa por un vértice y es
  perpendicular a la cara opuesta a él.
• Centro de cara punto de intersección entre un
  eje y la cara perpendicular a él. Es también el
  centro de gravedad de la cara.
• Punto medio de arista es el punto medio entre
  los dos vértices que limitan a una arista.
• Altura de cara segmento definido por un vértice
  y un punto medio de una arista no concurrente a
  él. 

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• Área
• Como un tetraedro está formado por 4 triángulos
  equiláteros, podemos hallar el área de un
  triángulo equilátero y multiplicar por 4 para
  obtener el área del tetraedro.

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3.2 Cubo
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• 3.2 Cubo
• Definición El cubo es un poliedro regular ya que
  en estos sus caras son polígonos regulares
  iguales. 
• Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de
  seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de
  los llamados sólidos platónicos.
• Características
• Tiene 6 caras.
• Tiene 12 aristas.
• Tiene 8 vértices.
• Tiene 3 caras concurrentes en cada vértice.

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• Volumen El volumen de un cubo es igual al valor
  de su arista elevada a tres podemos calcular su
  volumen V mediante la siguiente fórmula V a3.
• El volumen a x a x a a3 de un cubo se puede
  también definir como el producto del área de la
  cara basal a x a por la altura a, es decir
• V a x a x a (a x a ) x a   a2 x a    a3
• Área el área total de sus caras A (que es 6
  veces el área de una de ellas, Ac), mediante
• Área de una cara

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5.3 El octaedro
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• 5.3 El octaedro
• Definición Un octaedro es un poliedro de ocho
  caras. Con este número de caras puede ser un
  poliedro convexo o un poliedro cóncavo.
• Características del octaedro 
• Número de caras 8.
• Número de vértices 6.
• Número de aristas 12.

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• Área Y el área total de sus caras A (que es 8
  veces el área de una de ellas, Ac), mediante
• Volumen Dado un Octaedro regular de arista a,
  podemos calcular su volumen V mediante la
  siguiente fórmula

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5.4 Dodecaedro
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• 5.4 Dodecaedro
• DefiniciónUn dodecaedro es un poliedro de doce
  caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser
  polígonos de once lados o menos.
• Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos
  regulares, forzosamente iguales entre sí, el
  dodecaedro es convexo y se denomina regular,
  siendo entonces uno de los llamados sólidos
  platónicos.

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• Características
• Tiene 12 caras.
• Los polígonos que forman las caras son pentágonos
  regulares.
• Tiene 30 aristas.
• Tiene 20 vértices

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• Volumen un dodecaedro de arista A, le podemos
  calcular su volumen V mediante la siguiente
  fórmula
• Área el área total de sus caras A (que es 12
  veces el área de una de ellas, Ac), mediante

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5.5. Icosaedro
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• 5.5 Icosaedro
• Definición Un icosaedro es un poliedro de veinte
  caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser
  polígonos de diecinueve lados o menos.
• Si las veinte caras del icosaedro son triángulos
  equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el
  icosaedro es convexo y se denomina regular,
  siendo entonces uno de los llamados sólidos
  platónicos.
• Características
• Tiene 30 aristas,
• Tiene12 vértices,
• Tiene 5 caras concurrentes,
• Tiene 3 vértices contenidos en cada cara.

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• Volumen Dado un Icosaedro regular de arista a,
  se puede calcular su volumen V mediante la
  siguiente fórmula
• Área el área total de sus caras A (que es 20
  veces el área de una de ellas, Ac), mediante

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6. LOS CUERPOS REDONDOS6.1 El cilindro
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• 6.1 El cilindro
• Definición Un cilindro es una figura geométrica
  limitada por una superficie cilíndrica cerrada
  lateral y dos planos que la cortan en sus bases.
  Como cuerpo de revolución, se obtiene mediante el
  giro de una superficie rectangular alrededor de
  uno de sus lados.
• El eje del cilindro es la recta que pasa por los
  centros geométricos de las bases es paralelo a
  la generatriz.

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• Los cilindros pueden ser
• Cilindro recto si el eje del cilindro es
  perpendicular a las bases.
• Cilindro oblicuo si el eje no es perpendicular a
  las bases.
• Cilindro de revolución si está limitado por una
  superficie cilíndrica de revolución.
• Cilindro de revolución recto si el eje es
  perpendicular a las bases.
• Cilindro de revolución oblicuo si el eje no es
  perpendicular a las bases  

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• Área de la superficie cilíndrica El área de la
  superficie de un cilindro es la suma de la
  superficie lateral más la superficie de las dos
  base. En un cilindro recto de base circular, es
• Área lateral es el área de la superficie lateral
  de un cuerpo de revolución.
• AL 2 p r g

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• Volumen El volumen es la capacidad que tiene ese
  cuerpo geométrico. El volumen de un cilindro es
  el producto del área de la base por la altura
  del cilindro. El volumen de un cilindro de base
  circular, es
• Un rectángulo al girar origina un cilindro

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• 6.2 El cono

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• 6.2 El cono
• Definición El cono es un cuerpo geométrico
  generado por el giro de un triangulo rectángulo
  alrededor de uno de sus catetos .Al circulo
  conformado por el otro cateto se denomina base y
  al punto donde confluyen las generatrices se
  llama vértice.
• Tipos de conos
• Se denomina cono recto si el vértice equidista de
  la base circular.

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• Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su
  base.
• Cono elíptico si la base es una elipse.

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• Área lateral El área lateral es igual a p (pi)
  multiplicado por el radio (r) de la base y
  multiplicado por la generatriz (g) del cono) AL
  p r g
• Por el teorema de Pitágoras la generatriz del
  cono será igual a
• Área total Á. Total A. Lateral 2 A. Base
• Área de la base A ?R2
• Volumen Volumen A. Base Altura
• Área de la base A ?R2

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6.3 La esfera
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• 6.3 La esfera
• Definición Una esfera, es un cuerpo sólido
  limitado por una superficie curva cuyos puntos
  equidistan de otro interior llamado centro de la
  esfera. Es decir, la distancia al centro desde
  cualquier punto de la esfera es siempre la misma.
  
• También se denomina esfera, o superficie
  esférica, a la conformada por los puntos del
  espacio tales que la distancia (llamada radio) a
  un punto denominado centro, es siempre la misma.

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• Características
• La esfera tiene un radio.
• Una superficie curva.
• Un centro.
• Un diámetro.
• Una circunferencia máxima.
• Un eje de giro.

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• Volumen El volumen de una esfera de radio, r, es
  
• V 4pr3/3
• Superficie La superficie de una esfera de radio,
  r, es
• S 4pr2
• Área El área de una superficie esférica de radio
  r, es

50

• Leila González Pinto
• Sara Iglesias
• Antonio Jiménez Arco
• Juan Carlos Martínez González
• Itziar Millán Rodríguez
• Sandra Fernández Melcón