SUPERFICIES MINIMAS.

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SUPERFICIES MINIMAS.

• Daniel Barriga
• Natalia Gaviria

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Glosario básico

• Superficie - En matemática, es una variedad
  bidimensional, es decir, un objeto topológico
  que, intuitivamente hablando, es localmente
  "parecido" al plano cartesiano.1
• Geometría - estudia idealizaciones del espacio
  puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros,
  curvas, superficies, etc.
• Paraboloide - es una cuadrica, un tipo de
  superficie tridimensional.
• Hiperbólico paraboloide - Al paraboloide
  hiperbólico también se lo denomina silla de
  montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de
  contener rectas en su superficie.
• Parábolas curva abierta simétrica respecto de
  un eje, con un solo foco y que resulta de contar
  un cono circular recto por un plano paralelo a
  una de sus generatrices.
• Hipérbolas curva plana y simétrica respecto de
  dos planos perpendiculares entre sí, y cuya
  distancia con respecto a dos puntos o focos es
  constante.2

1 http//es.wikipedia.org/wiki/Superficie 2
http//www.wordreference.com/definicion/hipE9rbol
a
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• Superficies regladas - Superficie generada por el
  movimiento de una recta, denominada generatriz,
  manteniéndose en contacto con otra u otras
  líneas, denominadas directrices, cumpliendo
  además en su desplazamiento ciertas condiciones
  particulares.3
• Hiperboloide de revolución - Generatriz recta que
  gira alrededor de una directriz no paralela y no
  concurrente a ella, o también generatriz recta
  que se apoya sobre dos directrices circulares,
  concéntricas, planas y forma ángulo constante con
  ellas.4
• Tensión - la fuerza interna que actúa por unidad
  de superficie

3 http//webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/al
perez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-supe
rficie.htmsupregala 4 http//html.rincondelvago
.com/geometria_13.html
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IDEAS PRINCIPALES.

• Toda creación arquitectónica es geométrica.
• Una de las superficies mas aplicadas en la
  arquitectura ha sido el paraboloide hiperbólico.
• El paraboloide hiperbólico, aun siendo una
  superficie curvada se puede construir con líneas
  rectas.
• Las superficies mínimas, aunque permite más
  grados de libertad que el uso de los paraboloides
  hiperbólico, continúan teniendo restricciones.
• Gaudí fue uno de los que la empleo, esto se puede
  ver en la sagrada familia pero quien más la ha
  trabajado ha sido Félix Candela.
• Feliz Candela mostro una maestría sublima en la
  utilización de la paraboloides hiperbólicos, el
  mejor ejemplo de este es el restaurante Los
  Manantiales, en la Ciudad de México.

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. RELACION CON SISTEMAS COMPLEJOS.

• La relación de las superficies mínimas con los
  sistemas complejos, es muy grande como por
  ejemplo la relación que existe entre las
  matemáticas y la arquitectura los arquitectos
  han aplicado superficies y las combinaban
  claramente con sus diseños y todavía lo continúan
  haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies
  de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a
  principios de la década de los 60 en empresas
  automovilísticas y de construcción de aviones,
  ayuda al arquitecto a diseñar superficies de
  manera absurda (ya que son formas que para la
  gente del común es imposible de fabricarse) con
  sencillez y elegancia.

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• Las superficies mínimas que mas se emplea en la
  arquitectura es el paraboloide hiperbólico Gaudí
  lo empleo, pero Félix Candela es el que más lo ha
  utilizado. Lo que las curvas cónicas (la elipse,
  la parábola y la hipérbole) son para la dimensión
  dos, en dimensión tres lo son las superficies
  cuádricas. Los nombres de estas superficies
  tienen que ver con las curvas que aparecen como
  secciones con planos. En el paraboloide
  hiperbólico, una de las superficies cuádricas,
  estas secciones son parábolas y hipérbolas.

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• Para Gaudi y Candela lo que mas los motivo a
  utilizar el paraboloide hiperbólico es que es una
  superficie curvada que se puede construir con
  líneas rectas, lo único que toca hacer es variar
  el ángulo de inclinación de una recta que se
  mueve encima de otra curva, a estas superficies
  las hacen llamar superficies regladas, y así fue
  que Gaudi pudo realizar el techo de la sagrada
  familia a partir de un paraboloide hiperbólico en
  el año de 1883.

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RELACION MODELADO Y SIMULACION.

• La relación de las superficies mínimas con el
  modelado o están complicada como todo el mundo
  cree, para poder modelar o construir una
  superficie, como un paraboloide hiperbólico al
  haber encontrado los cuatro puntos en el espacio
  que no estén en un mismo plano, hay un único
  paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por
  estos cuatro puntos. Esta es la misma propiedad
  que dice que dos puntos determinan una única
  recta.

Como se construye el paraboloide hiperbólico a
partir de los 4 ptos como una superficie reglada.
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• Lo que tenían que hacer los obreros era unir con
  rutas de barras uno de los pares de puntos de una
  parte, y el otro par opuesto por la otra. Después
  sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre
  las dos anteriores manteniendo una velocidad
  constante en los extremos. Gaudí utilizó muchas
  veces el paraboloide hiperbólico y también otras
  superficies doblemente regladas como el
  hiperboloide de revolución. El Arquitecto Félix
  Candela fue el que se dedico a utilizar mucho las
  superficies su mejor ejemplo se puede encontrar
  en el restaurante Los Manantiales (1958) del
  parque de Choximilco en la ciudad de México. El
  techo está formado por ocho paraboloides
  hiperbólicos.

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• También el nuevo Oceanográfic (2002) de la Ciudad
  de las Artes y de las Ciencias de Valencia su
  techo está formado por ocho paraboloides
  hiperbólicos.
• Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies
  matemáticas definidas y estudiadas, con
  ecuaciones determinadas y una manera de
  construirlas totalmente establecida. Esto implica
  una falta de libertad en el diseño de la forma
  deseada. Sólo podían utilizar una determinada
  familia de superficies dependiendo de unos pocos
  parámetros. La única variación permitida consiste
  en jugar con diferentes valores de los
  parámetros. El genio de los dos arquitectos y la
  experiencia lograda tras muchas pruebas con
  maquetas suplió este defecto1.

• 1 Modelos Matemáticos y Simulación Numérica en
  Arquitectura, Universidad de los Andes, Pág. 23

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• Otro ejemplo sorprendente de la relación de los
  modelos de las superficies mínimas es el estadio
  olímpico de Munich, la cubierta de las gradas
  como la de la piscina son ejemplos de las
  superficies mínimas. Estas superficies, conocidas
  en geometría desde el tienen área mínima. La
  propiedad de minimizar el área es la que
  aprovechó el arquitecto Frei Otto, para levantar,
  mediante un sistema de apoyos y cables, una
  estructura sorprendentemente ligera donde las
  tensiones interiores se anulaban, permitiendo a
  la vez una economía de material y una forma
  sorprendente.

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CONCLUSIONES.

• Toda creación arquitectónica es geométrica es
  de esta forma en la cual el arquitecto se ha
  tomado muy enserio el concepto de las superficies
  mínimas ya que se apropian de este concepto
  diseñando cubiertas que parezcan totalmente
  imposibles de construir.
• Las superficies mínimas, aunque tienen más
  facilidad de manejarse y contienen más grados de
  libertad que los paraboloides hiperbólicos,
  siguen teniendo algunas restricciones. Estas
  restricciones aparecen por el hecho de que, dada
  la frontera, la superficie mínima está totalmente
  determinada. Por lo tanto, los diseñadores de
  superficies sólo pueden actuar sobre la frontera
  y tienen que esperar que la superficie mínima que
  resulte de la forma deseada.