Freiformfl

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Freiformflächen mit Microstation
Andreas Asperl, Stefan LeopoldsederInstitut für
Diskrete Mathematik und GeometrieTU
Wienzahlreiche Figuren mit freundlicher
Genehmigung von Helmut Pottmann und Michael Hofer
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KurzfassungBézier-Kurven
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Bézier KurvenAlgorithmus von de Casteljau

• Bézier-Kurven sind die einfachsten Freiformkurven
  und sind in fast allen CAD-Paketen standardmäßig
  enthalten.

b2
b1
de Casteljau-Schema b0 b1 b01 b2 b11 b02 b3 b21 b
12 b03
b3
0
1
t
b0
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Mathematische Beschreibungeiner Bézier-Kurve
Bézier-Kurve mit n1 Kontrollpunkten b0,,bn
(Grad n) b0n(t) wobei
Bernstein Polynome Bézier-Ku
rve mit 4 Kontrollpunkten b0,,b3 b03(t) (1 -
t)3 b0 3(1 - t)2 t b1 3(1 - t) t2 b2 t3
b3 Bézier-Kurve mit 3 Kontrollpunkten b0,b1,b2
b02(t) (1 - t)2 b0 2(1 - t) t b1 t2
b2 Bézier-Kurve mit 2 Kontrollpunkten b0,b1
b01(t) (1 - t) b0 t b1
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Bézier-Flächen
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Bézier-Flächen

• Bézier-Flächen vom Grad (m,n) werden durch ein
  Netz von Kontrollpunkten bi,j bestimmt,
  0ltiltm, 0ltjltn.
• Parametrisierung einer Bézier-Fläche

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Bézier-Flächen

• Zur Konstruktion eines Flächenpunktes einer (m,n)
  Bézier-Fläche
• Jede der m1 Zeilen (verbinden jeweils n1
  Punkte mit festem Index i) als Kontrollpolygone
  auffassen und zum selbenTeilverhältnis
  Kurvenpunkte konstruieren.
• Dies liefert m1 Punkte, welche die
  Kontrollpunkte einer Bézier-Kurve m-ten Grades
  sind, die ganz auf der Fläche liegt.

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Bézier-Flächen

• Auf einer Bézier-Fläche vom Grad (m,n) liegt eine
  Schar von Bézier-Kurven vom Grad m, sowie eine
  Schar von Bézier-Kurven vom Grad n, die ganz auf
  der Fläche liegen.

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Bézier-Flächen

• Randkurven eines Bézier-Flächenstücks sind
  Bézier-Kurven
• Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des
  zugehörigen Bézier-Flächenstücks

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Bézier-Regelflächen
Da eine Bézier-Kurve ersten Grades eine
geradlinige Strecke ist, ist eine Bézier-Fläche
vom Grad (1,n) oder (m,1) ein Regelflächenstück.
Sind bei einer Bézier-Fläche vom Grad (1,n) die
n1 Spaltenstrecken parallel, so erhält man ein
Stück einer Zylinderfläche, das von den
Bézier-Kurven zu den Randpolygonen des Netzes
begrenzt wird.
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HP-Fläche als Bézier-Fläche

• Eine Bézierfläche vom Grad (1,1) ist eine
  HP-Fläche
• Eine Bézier-Fläche vom Grad (1,1) ist durch 4
  Kontrollpunkte B0,0, B0,1, B1,0, B1,1 gegeben,
  welche zu einem Kontrollvierseit verbunden werden
• Falls dieses Vierseit nicht in einer Ebene liegt,
  ist die Bézier-Fläche das HP-Flächenstück mit dem
  Kontrollvierseit als Erzeugendenvierseit

B1,0
B0,1
B0,0
B1,1
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HP-Fläche als (2,2)-Bézier-Fläche

• Eine HP-Fläche entsteht auch durch das
  Ver-schieben einer Parabel p längs einer Parabel
  q (p,q mit parallelen Achsenrichtungen,
  gegengleich geöffnet)
• Eine HP-Fläche kann also auch als Bézier-Fläche
  vom Grad (2,2) modelliert werden.
• Analog kann auch ein elliptisches Paraboloid so
  erzeugt werden.
• Achtung Eine Bézier-fläche vom Grad (2,2) ist im
  allg. keine Quadrik!

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Abwickelbarkeit vonBézier-Regelflächen
Eine Erzeugende heisst torsal, wenn längs der
gesamten Erzeugenden dieselbe Tangentialebene
berührt. Das Regelflächenstück ist abwickelbar
(ohne Verzerrungen in die Ebene abbildbar) genau
dann, wenn alle Erzeugenden torsal sind. Das
Modellieren einer abwickelbaren Regelflächen
durch Bézier-Flächen ist sehr komplex. Es gelten
nichtlineare Nebenbedingungen an die Position der
Kontrollpunkte. Mit Ausnahme von Zylinder- und
Kegelflächen sind abwickelbare Freiformflächen in
CAD Paketen nicht enthalten.
torsale Erzeugende
nichttorsale Erzeugende
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KurzfassungB-Spline-Kurven
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Grad und Kontrollpunkte von Splines

• Splines sind Kurven, welche aus mehreren
  Kurvenstücken niedrigen Grades zusammen gesetzt
  sind.
• Der Grad der Bezier-Segmente heißt Grad der
  Splinekurve.
• Die Kontrollpunkte des Splines sind oft von den
  Kontrollpunkten der Beziersegmente verschieden.

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Grad und Kontrollpunktevon B-Spline-Kurven

• kubische B-Spline-Kurve
• mit B-Spline Kontrollpolygon di
• mit Kontrollpolygonen der kubischen Béziersegmente

d1
d2
d5
d0
d3
d4
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B-Spline-Kurven, NURBS
B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design
von J. Ferguson (1964) bei Boeing eingeführt. In
CAD-Systemen taucht auch oft der Name NURBS (
Non-Uniform Rational B-Splines) auf.
B-Spline-KurveGrad 2
B-Spline-KurveGrad 3
B-Spline-KurveGrad 7( Bézier)
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B-Spline Kurven

• B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen
  sein (in CAD Paketen als Option wählbar)
• Bei einer geschlossenen B-Spline-Kurve
  (periodische B-Spline-Kurve) ist das
  Kontrollpolygon ein geschlossenes Polygon.
• Die ersten und letzten Kontrollpunkte stimmen
  überein.

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B-Spline-Flächen
20
B-Spline-Flächen

• Die Bézier-Methode ist zum Design komplizierterer
  Formen deshalb kaum geeignet, weil bei höherem
  Grad die Fläche die From der Eingabefigur nicht
  gut wiedergibt. Oft ist auch der globale Einfluss
  der Kontrollpunkte unerwünscht Änderung eines
  einzigen Punktes beeinflusst das Flächenstück im
  gesamten Bereich.
• In der Praxis verwendet man daher oft
  B-Spline-Flächen. Auf dieselbe Art wie man von
  Bezier-Kurven auf Bezier-Flächen erweitert,
  gelangt man von B-Spline-Kurven auf
  B-Spline-Flächen

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B-Spline-Flächen

• Die mathematische Beschreibung einer
  B-Spline-Fläche basiert auf einem Vierecksnetz
  dieses besitzt im allgemeinen vier Randpolygone
  und beschreibt demnach ein von vier Randkurven
  begrenztes Flächenstück
• Fallen ein oder zwei Paare gegenüberliegender
  Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so
  entstehen schlauchförmige bzw. torusförmige
  Flächen

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Beispiel Verbindungstorse

• Zwei (ebene oder Raum-)Kurven p und q sollen
  durch eine abwickelbare Fläche (Torse) verbunden
  werden.
• Diese Fläche ist eine Regelfläche und jede
  Erzeugende ei verbindet jeweils zwei Kurvenpunkte
  pi und qi, deren Kurventangenten gemeinsam mit
  der Erzeugenden e in einer Ebene liegen.

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Beispiel Verbindungstorse

• In Microstation ist eine Verbindungsregelfläche
  implementiert Die Kurven p und q werden
  parametrisiert und als B-Splinekurven p(t) und
  q(t) approximiert.
• Danach werden die Kurvenpunkte p(ti) und q(ti) zu
  gleichem Parameter ti mit einer Erzeugenden
  verbunden.

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Anwendungen vonFreiformflächen
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Freiformflächen
Kunsthalle Graz Planung Peter
Cook, Colin Fournier
Preston Scott CohenTorus House Old Chatham

• Freiformflächen sind wegen ihrer großen Bedeutung
  im industriellen Design (z.B. Automobilindustrie,
  Schiffbau) entwickelt worden. Sie finden
  inzwischen auch grosses Interesse für
  repräsentative Architekturen
• Freiformmodule findet man in allen CAD-Systemen

Frank O. Gehry Experience Music Project
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Freiformflächen in der Forschung

• Approximation einer gegebenen Fläche durch eine
  B-Splinefläche. Das nichtlineare
  Optimierungs-problem (unbekannte Position der
  Kontroll-punkte) wird iterativ mit einer
  Newton-Methode gelöst.

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Freiformflächen in der Forschung

• Approximation einer gegebenen Fläche durch eine
  B-Spline Regelfläche vom Grad (3,1). Die
  approximierende Regelfläche ist nicht
  abwickelbar, kann in einem nächsten Schritt aber
  durch eine Torse angenähert werden.

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Anwendung Reverse Engineering eines Werkstücks
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Punktwolke
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Polygonmodell
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Digitales Flächenmodell
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CAD Modell
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3D Ausdruck
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Unterteilungskurven(Subdivision curves)
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Unterteilungskurven(Subdivision curves)

• Grundideen der Unterteilung gehen zurück in die
  40er Jahre als G. Rahm corner cutting dazu
  verwendete glatte Kurven zu beschreiben
• Anwendungen im CAD, geometrischen Modellieren und
  in der Computergraphik

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Chaikins Algorithmus

• In jedem Iterationsschritt k1,2, wird dieselbe
  Methode (corner cutting) angewendet
• für k ? erhält man so eine quadratische
  B-Spline Kurve

P4

• In jedem Iterationsschritt werden die einzelnen
  Zwischenstrecken bei 1/4 bzw. 3/4 geteilt.

P1
P2
Q1
R1
R3
R0
Q2
Q0
Q3
R2
P0
P3
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Chaikins Algorithmus
k 1
k 2
k 0
k 3
k 5
k 4
38
Unterteilungsflächen(Subdivision surfaces)
39
Unterteilungsflächen (Subdivision surfaces)

• Analog zum Kurvenfall wird in jedem
  Iterationsschritt die polygonale
  Flächendarstellung verfeinert, durch geeignetes
  Einfügen neuer Punkte
• Bsp Interpolierende Unterteilungsschemata,
  welche auf einer Triangulierung basieren

P.Zorin
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Unterteilungsflächen(Subdivision Surfaces)

• Können im Gegensatz zu klassischen
  Freiformflächen (NURBS-Flächen, ) Flächen
  beliebiger Topologie darstellen
• Methode Ausgehend von einem polygonalen Netz
  wird dieses nach gegebenen Unterteilungsregeln
  verfeinert, bis man eine hinreichend glatte
  Fläche erhält

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Unterteilungsflächen

• Für Anwendungen noch wichtiger als der
  Kurvenfall, weil mit Unterteilungsflächen ein
  einfacher Zugang zur Modellierung komplizierter
  glatter Formen mit beliebiger Topologie gegeben
  ist

Geris game, Pixar
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Doo-Sabin-Schema

• Einer der ersten Unterteilungsalgorithmen für
  Flächen wurde von Doo und Sabin 1978 vorgestellt
• Der Algorithmus geht von einem Vierecksnetz aus,
  welches sodann schrittweise verfeinert wird

Orginaler Würfel
Erste Unterteilung
Zweite Unterteilung
Dritte Unterteilung
Fünfte Unterteilung
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Doo-Sabin-Schema

• In jeder Vierecksmasche wird der Schwerpunkt S
  bestimmt (liegt im Schnitt der Verbindungsgeraden
  gegenüberliegender Seitenmitten)
• Die neu eingefügten Punkte sind die Mittelpunkte
  der Verbindungsstrecken zwischen dem Schwerpunkt
  und den Ecken der Ausgangsmasche

S
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Doo-Sabin-Schema

• Die eingefügten Punkte werden nach untenstehendem
  Prinzip verbunden
• In einer Ecke mit Valenz k entsteht dabei ein
  k-Eck als Masche (vergleiche die Dreiecke im
  angegebenen Beispiel, welche aus Ecken mit Valenz
  drei entstehen)
• Die alten Punkte werden nicht weiter verwendet
  approximierender Algorithmus

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Doo-Sabin-Schema

• Aus Ecken mit Valenz k entstehen k-eckige Maschen
• In diesen Maschen werden die neuen Punkte analog
  zu der bei den Vierecken angewandten Regel
  konstruiert Man bestimmt den Schwerpunkt S und
  sodann die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken
  von S mit den Maschenecken

S
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Doo-Sabin-Schema

• Erzeugt eine Folge von polygonalen Netzen, welche
  gegen eine bi-quadratische B-spline Fläche
  konvergieren, bis auf die Umgebung der
  irregulären Punkte des Ausgangsnetzes
• Eine Doo-Sabin-Fläche interpoliert die
  Schwerpunkte der Maschen des Ausgangsnetzes

Orginaler Würfel
Erste Unterteilung
Zweite Unterteilung
Dritte Unterteilung
Fünfte Unterteilung
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Beispiele zum Doo-Sabin-Schema

• Man beachte die Möglichkeit der Modellierung von
  glatten Flächen beliebiger Topologie
• Dies wäre mit B-Spline-Flächen nur durch
  kompliziertes Zusammenfügen von B-Spline-Patches
  möglich

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Beispiele zum Doo-Sabin-Schema