Matematisk sp

1
Matematisk spådom en inledning till
spelteori

• Kathryn Hess
• Département de mathématiques
• Ecole Polytechnique Fédérale
• de Lausanne

2
Syftet med spelteori

• Att analysera och förutspå deltagarnas beteende
  i alla slags konflikter

3
Tillämpningar

• Ekonomi
• Statsvetenskap
• Antropologi
• Etologi
• Biologi

4
Ett spel består av...

• åtminstone två spelare
• en lista över varje spelares tillåtna drag
• fastställande av en spelrundas utgång, som beror
  på spelarnas dragval
• utbetalning till varje spelare av en belöning,
  som beror på spelrundans utgång.

5
En oumbärlig förutsättning

• Alla spelare anses vara fullständigt
  förståndiga
• de analyserar läget helt logiskt, sökande efter
  bästa sättet att göra maximal sin belöning.

6
Spelteoretikerns mål

• Att fastställa vilka utgånger är mest sannolika.

7
Dagens exempel

• Ickekooperativa spel med precis två spelare
  Rakel och Konrad.
• Rakel har m tillåtna drag.
• Konrad har n tillåtna drag.

8
Matriser

• är en matris med m rader och n kolonner.
  Vi skriver även

9
Belöningsmatriserna

• Matriser med m rader och n kolonner
• och där

10
Kommentar

• Det kan hända att (eller
  ) är negativ för vissa i och j.
• Detta betyder bara att Rakel (eller Konrad)
  förlorar enheter (kronor eller marknadsdelar
  eller poäng, osv) när hon väljer sitt ite
  drag och Konrad väljer sitt jte
  drag.

11
Fångarnas Dilemma Inledning I

• Konrad och Rakel är två förbrytare som
  tillsammans har förövt ett avskyvärt brott.
• Nu har de arresterats av polisen och sitter i
  var sitt fängelsehål.

12
Fångarnas Dilemma Inledning II

• Där får de veta att om den ena erkänner allt,
  och den andra förnekar, då ska den första friges
  omedelbart, medan den andra får sitta nio år i
  fängelset.

13
Fångarnas Dilemma Inledning III

• Om båda två erkänner, ska bådadera sitta sex år
  i fängelset.
• Om ingen av dem erkänner, kommer polisen endast
  att kunna bevisa att de begick ett mindre brott.
  Då ska båda avtjäna bara ett års straff.

14
Fångarnas DilemmaRakels Belöningsmatris

• Konrads Drag
• Förneka Erkänna
• Förneka
• Rakels
• Drag
• Erkänna

15
Fångarnas DilemmaKonrads Belöningsmatris

• Konrads Drag
• Förneka Erkänna
• Förneka
• Rakels
• Drag
• Erkänna

16
Opera eller bio? Inledning

• Rakel och Konrad är sambor.
• Liksom varje lördag, måste de förhandla om vad
  de kommer att ägna kvällen åt.

17
Opera eller bio?Spelarnas önskemål

• Idag vill Rakel gå på bio för att se Bridget
  Jones Dagbok för tredje
  gången.
• Konrad skulle hellre gå på Operan för att se den
  nya uppsättningen av Rigoletto.

18
Opera eller bio?RakelsBelöningsmatris

• Konrads Drag
• Opera Bio
• Opera
• Rakels
• Drag
• Bio

19
Opera eller bio?KonradsBelöningsmatris

• Konrads Drag
• Opera Bio
• Opera
• Rakels
• Drag
• Bio

20
Presidentvalet Inledning

• Både Konrad och Rakel vill bli USAs president.
  Men...
• för ett antal år sen begick Konrad ett hemskt
  brott.
• Rakel har hört talas om det och kan även bevisa
  att Konrad är en vulgär
  brottsling. Och
  det vet Konrad.

21
Presidentvalet Kampanjstrategi I

• Ska Rakel
• starkt betona Konrads brottsliga förflutna
• eller
• inte säga ett knyst om det?

22
Presidentvalet Kampanjstrategi II

• Ska Konrad
• erkänna gråtande och skenbart ångerfull i en TV
  intervju med Oprah
• eller
• vägra säga ett enda ord om affären
• eller
• förneka bestämt att historien är sann?

23
Presidentvalet Politisk analys

• Konrads och Rakels politiska rådgivare har
  beräknat att följande belöningsamatris
  representerar nettobelopp röster som
  Konrad skulle vinna, beroende på bådas
  dragval.

24
Presidentvalet Belöningsmatriser

• Konrads Drag
• Erkänna "No comment"
  Förneka
• Betona
• Rakels
• Drag
• Tyst
• Detta är Konrads belöningmatris, men det är
  klart att det räcker att växla med - för att få
  Rakels belöningsmatris.

25
Televisionchefernas Batalj Inledning

• Konrad och Rakel är cheferna på konkurrerande
  TV-kanaler.
• De måste bestämma vilka program ska sändas nästa
  måndag kl. 20.

26
Televisionchefernas Batalj Strategi I

• Ska Rakel välja att sända
• Emil i Lönneberga
• eller
• en två timmars hyllning till Abba
• eller
• Sex in the City the movie?

27
Televisionchefernas Batalj Strategi II

• Ska Konrad sända
• Vita lögner
• eller
• en footbollsmatch AIK
  mot Djurgården
• eller
• Expedition Robinson?

28
Televisionchefernas Batalj
Marknadsanalys

• Rakels och Konrads assistenter har arbetat hårt
  för att förespå tittarsiffrorna beroende på vilka
  program sänds.
• De har kommit fram till följande matris, där
  koefficienterna står för Rakels kanals
  tittarsiffror minus Konrads kanals
  tittarsiffror.

29
Televisionchefernas BataljBelöningsmatriser

• Konrads Drag
• Rakels
• Drag

30
Analysera ett spel

• För att det ska vara sannolikt att Rakel och
  Konrad väljer drag ri och kj, måste båda tycka
  att sin belöning inte kan förbättras genom att
  välja ett annat drag, om den andra spelare inte
  förändrar sitt dragval.
• Sannolikhet kräver stabilitet.

31
Nashjämvikt

• Ett par dragval (ri,kj) är en Nashjämvikt
  om
• för alla s, och
• för alla t.

32
Nashjämvikter i våra exempel

• Fångarnas dilemma
• Opera eller bio?
• Presidentvalet
• Televisionchefernas batalj

33
Sammanfattning och slutsatser

• Matriser kan användas för att beskriva tydligt
  icke-kooperativa spel med två spelare.
• Ett sätt att hitta sannolika utgånger är att
  räkna ut Nashjämvikter.
• Ett spel kan ha en eller flera Nashjämvikter,
  eller inga Nashjämvikter alls.
• Vi behöver alltså andra begrepp för att föra
  analyset vidare och djupare.

34
Hej då! Lycka till!
35
Televisionchefernas Batalj
Paret (Sex in the City, Expedition Robinson) är
alltså den enda Nashjämvikten i detta spel.
36
Presidentvalet
Alltså finns det inga Nashjämvikter i detta spel.

Dess analys kräver andra begrepp.
37
Fångarnas dilemma
Den enda Nashjämvikten är paret (Erkänna,
Erkänna)!!
38
Opera eller bio?
Det finns alltså två Nashjämvikter paren (Opera,
Opera) och (Bio, Bio)