Integra

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Integração Numérica
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Integral

• O conceito de integral esta ligado ao problema de
  determinar a área de uma figura plana qualquer.
• Integral de uma função f(x) no intervalo a,b

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• A integral da função f(x) é representada por F(x)
• Em determinados casos, F(x) não pode ser
  calculada
• Obter F(x) não é trivial.
• Nem sempre se tem a forma analítica da função a
  ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que
  descreve o comportamento da função
• Nestes casos, utilizamos a integração numérica

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Integração Numérica

• A solução numérica de uma integral é chamada de
  quadratura. Há dois métodos bastante empregados
  para calcular a quadratura de uma função que são
  chamadas regras de Newton-Cotes
• Regra dos trapézios
• Regra de Simpson

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Regra dos trapézios

• substituição da função f(x) por um polinômio que
  a aproxime no intervalo a, b em pontos
  igualmente espaçados
• O problema fica resolvido pela integração de um
  polinômio
• Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio
  interpolador de Lagrange do primeiro grau
• onde

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• Integrando no intervalo a,b teremos
• O que é a formula da área do trapézio, como
  mostrado na figura

onde
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• Quanto for maior o intervalo, maior será o erro
  do método. Dessa forma, um melhoramento no método
  consiste em dividir o intervalo em vários
  pedaços, calcular a área de cada um deles e em
  seguida somar todos

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(No Transcript)
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• ExCalcule a integral de no
  intervalo 0,1 com 10 subintervalos

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Regra 1/3 de Simpson

• podemos usar a fórmula de Lagrange para
  estabelecer a fórmula de integração resultante da
  aproximação de f(x) por um polinômio interpolador
  de grau 2
• Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos
• x0 a
• x1 x0 h
• x2 x0 2h b

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Regra 1/3 de Simpson
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Resolvendo L0
Substituindo (x-x0)/hy temos que dx hdy. Daí,
temos X-x1 x0yh-(x0h)(y-1)h X-x2
x0yh-(x02h)(y-2)h Xx0-gty0 e Xx2-gty2
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(No Transcript)
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Exemplo

• Estimar o valor da integral de ex no intervalo
  0,1 através da regra 1/3 de Simpson

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Regra 1/3 de Simpson Repetida
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(No Transcript)
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Exercício

• Estimar a integral de ex no intervalo de zero a
  um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes

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(No Transcript)