ACM ICPC Praktikum

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ACM ICPC Praktikum

• Kapitel 5 Arithmetik und Algebra

2
Übersicht

• Libraries
• Exakte Arithmetik
• Wichtige Basen
• Wichtige Mengen
• Reelle Zahlen
• Algebra

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Integer Libraries

• C/Cstdlib.h, math.h
• GNU g Integer class
• Java.math BigInteger
• .

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Exakte Arithmetik

1. include ltstdio.hgt
2. define MAXDIGITS 100 / maximum length bignum
   /
3. define PLUS 1 / positive sign bit /
4. define MINUS -1 / negative sign bit /
5. typedef struct
6. char digitsMAXDIGITS /
   represent the number /
7. int signbit / 1 if positive, -1 if negative
   /
8. int lastdigit / index of high-order
   digit /
9. bignum
10. print_bignum(bignum n)
12. int i
13. if (n-gtsignbit MINUS) printf("- ")

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Exakte Arithmetik

• int_to_bignum(int s, bignum n)
• int i / counter /
• int t / int to work with /
• if (s gt 0) n-gtsignbit PLUS
• else n-gtsignbit MINUS
• for (i0 iltMAXDIGITS i) n-gtdigitsi
  (char) 0
• n-gtlastdigit -1
• t abs(s)
• while (t gt 0)
• n-gtlastdigit
• n-gtdigits n-gtlastdigit (t 10)
• t t / 10

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Exakte Arithmetik

• initialize_bignum(bignum n)
• int_to_bignum(0,n)
• int max(int a, int b)
• if (a gt b) return(a) else return(b)

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Exakte Arithmetik

• add_bignum(bignum a, bignum b, bignum c)
• int carry / carry digit /
• int i / counter /
• initialize_bignum(c)
• if (a-gtsignbit b-gtsignbit) c-gtsignbit
  a-gtsignbit
• else
• if (a-gtsignbit MINUS)
• a-gtsignbit PLUS
• subtract_bignum(b,a,c)
• a-gtsignbit MINUS
• else
• b-gtsignbit PLUS
• subtract_bignum(a,b,c)
• b-gtsignbit MINUS
• return

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Exakte Arithmetik

1. subtract_bignum(bignum a, bignum b, bignum c)
3. int borrow / has anything been borrowed? /
4. int v / placeholder digit /
5. int i / counter /
6. if ((a-gtsignbit MINUS) (b-gtsignbit
   MINUS))
7. b-gtsignbit -1 b-gtsignbit
8. add_bignum(a,b,c)
9. b-gtsignbit -1 b-gtsignbit
10. return
12. if (compare_bignum(a,b) PLUS)
13. subtract_bignum(b,a,c)
14. c-gtsignbit MINUS
15. return

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Exakte Arithmetik

1. compare_bignum(bignum a, bignum b)
3. int i / counter /
4. if ((a-gtsignbit MINUS) (b-gtsignbit
   PLUS)) return(PLUS)
5. if ((a-gtsignbit PLUS) (b-gtsignbit
   MINUS)) return(MINUS)
6. if (b-gtlastdigit gt a-gtlastdigit) return (PLUS
   a-gtsignbit)
7. if (a-gtlastdigit gt b-gtlastdigit) return (MINUS
   a-gtsignbit)
8. for (i a-gtlastdigit igt0 i--)
9. if (a-gtdigitsi gt b-gtdigitsi) return(MINUS
   a-gtsignbit)
10. if (b-gtdigitsi gt a-gtdigitsi) return(PLUS
    a-gtsignbit)
12. return(0)

10
Exakte Arithmetik

1. zero_justify(bignum n)
3. while ((n-gtlastdigit gt 0) (n-gtdigits
   n-gtlastdigit 0))
4. n-gtlastdigit --
5. if ((n-gtlastdigit 0) (n-gtdigits0
   0))
6. n-gtsignbit PLUS / hack to avoid -0 /
8. digit_shift(bignum n, int d) / multiply n by
   10d /
10. int i / counter /
11. if ((n-gtlastdigit 0) (n-gtdigits0 0))
    return
12. for (in-gtlastdigit igt0 i--)
13. n-gtdigitsid n-gtdigitsi

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Exakte Arithmetik

• multiply_bignum(bignum a, bignum b, bignum c)
• bignum row / represent shifted row /
• bignum tmp / placeholder bignum /
• int i,j / counters /
• initialize_bignum(c)
• row a
• for (i0 iltb-gtlastdigit i)
• for (j1 jltb-gtdigitsi j)
• add_bignum(c,row,tmp)
• c tmp
• digit_shift(row,1)
• c-gtsignbit a-gtsignbit b-gtsignbit

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Exakte Arithmetik

• divide_bignum(bignum a, bignum b, bignum c)
• bignum row /
  represent shifted row /
• bignum tmp /
  placeholder bignum /
• int asign, bsign / temporary signs /
• int i,j /
  counters /
• initialize_bignum(c)
• c-gtsignbit a-gtsignbit b-gtsignbit
• asign a-gtsignbit
• bsign b-gtsignbit
• a-gtsignbit PLUS
• b-gtsignbit PLUS
• initialize_bignum(row)
• initialize_bignum(tmp)

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Exakte Arithmetik

1. main()
3. int a,b
4. bignum n1,n2,n3,zero
5. while (scanf("d d\n",a,b) ! EOF)
6. printf("a d b d\n",a,b)
7. int_to_bignum(a,n1)
8. int_to_bignum(b,n2)
9. add_bignum(n1,n2,n3)
10. printf("addition -- ")
11. print_bignum(n3)
12. printf("compare_bignum a ? b
    d\n",compare_bignum(n1, n2))
13. subtract_bignum(n1,n2,n3)
14. printf("subtraction -- ")
15. print_bignum(n3)

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Wichtige Basen

• Binärsystem
• Zahlen basierend auf 0,1
• Wird in Computern verwendet
• x 2 0,1 Bit, y 2 0,18 Byte, z 2 0,116
  Wort
• Ganze Zahlen in C 8 Bits (char), 16 Bits
  (int), 32 Bits (long), 64 Bits (long long)
• Umwandlung in Dezimalsystem (z31
  z30 z0)2 (?i0..31 zi 2i)10
• Beispiel 101110012 18510

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Wichtige Basen

• Hexadezimalsystem
• Zahlen basierend auf 0,,9,A,,F(16 Ziffern)
• Wurde für kompaktere Binärdarstellungen
  eingeführt (2 Hexzahlen 1 Byte)
• Umwandlung in Dezimalsystem(z7 z6 z0)2
  (?i0..7 zi16i)10
• Beispiel AF16 17510

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Wichtige Mengen

• IN 1,2,3, Menge der natürlichen Zahlen
• Z ...,-2,-1,0,1,2,... Menge der ganzen
  Zahlen
• Q x/y x 2 Z, y 2 IN Menge der rationalen
  Zahlen
• IR Menge der reellen Zahlen
• C IR IR Menge der komplexen Zahlen

Z
Z
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Reelle Zahlen

• Numerik Lehre der Rundungsfehler
• Wichtig für reelle Zahlen!!
• IEEE Standard Ergebnis muss so gerundet werden,
  dass es am nächsten am tatsächlichen Wert ist
  (nichttrivial für Funktionen wie x )
• Regel vermeide Divisionen soweit es
  geht(Division durch 2-Potenz OK)

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Algebra

• Polynome
• Repräsentation von f(x) an xn an-1
  xn-1 a0 x0als Vektor (an,an-1,,a0)
• f(x)(an,an-1,,a0), g(x) (bn,bn-1,,b0)-
  f(x)g(x) (anbn,an-1bn-1,,a0b0)- f(x)g(x)
  (c2n,c2n-1,,c0) mit ck
  ?ijk ai bj

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Algebra

• Division von Polynomen
• Kniffelig, da Polynome gemäß Division nicht
  abgeschlossen sind.
• Wie bei Division von ganzen Zahlen, d.h. für
  beliebiges f(x) und g(x) suchen wir h(x) und r(x)
  mit Grad(r(x))ltGrad(g(x)), so dass
  f(x) h(x) g(x) r(x)
• Dann ist f(x) div g(x) h(x) und f(x) mod g(x)
  r(x)

20
Algebra

• Lösungen quadratischer Gleichungen
• Lösungen von x2pxq 0sind
  x1/2 -(p/2) (p/2)2-q
• (p/2)2-q lt 0 keine Lösung

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Algebra

• Logarithmus
• f(x) logb x ist die inverse Funktion zu g(x)
  bx, d.h. für das y mit ybx gilt xlogb y.
• Für beliebige b,b 2 IN gilt logb x
  (logb x)/(logb b)