?????????? ???????? .878 ???? ver. C.22

1
?????????????????? .878 ????ver. C.22

• ?????????????
• ??????
• ????

2
????

• Improved Approximation Algorithms for
• Maximum Cut and Satisfiability Problems
• Using Semidefinite Programming,
• M. X. Goemans and D. P. Williamson,
• J. ACM, 42 (1995), pp.1115-1145.
• Approximation Algorithm ????
• Maximum Cut Problem ???????
• Maximum Satisfiability Problem??????????
• Semidefinite Programming ??????

3
MAX CUT??(???)

• ?????8 ?????14

4
5
3
3
2
1
4
5
4
??????

• ???G(V,E) V???? E???

d(U)??? w(U)?????14
5
MAX CUT??(??)

• MAX CUT??
• ???????G(V,E),???????wE?Z.
• ??G??????,
• ?????????????.
• ??????U?V ???????
• d(U)e?E e ?U?????U ????????
• ???d(U)???
• w(U) d(U)????????.
• MAX CUT??max w(U ) U?V
• NP-?? Karp 72

6
MAX CUT ??????

• 0-1??2?????(????)
• max xtQx ctx x ?0,1n (Q????)
  

????
n??????
x i 1
d( i ) i ????? ???
7
???????

• ???????????????.
• ?????????????????????.
• ????????????.
• ???? (????????)
• (???????????)/(???)
• a????
• ????a????????????.

8
MAX CUT?1/2 ????

• ??????????????.

9
1/2????

• MAX CUT??max w(U) U ?V
• 1/2????
• ????1/2????U????.
• ????????,????
• ???????U??????1/2.
• ??????????z ?,
• z ?e ?E w(e ) Pr?e ???????
• ?e ?E w(e )(1/2)
• (1/2) (??????)
• ? (1/2)(???????) (1/2)(???).

10
MAX CUT????????

• (1/2) 1976 Sahni and Gonzales
• (1/2)(1/2m) 1981 Vitany
• (1/2)((n -1)/4m)1982 Poljak and Turzik
• (1/2)(1/2n) 1991 Haglin and Venkatesan
• (1/2)(1/2D) 1995 Hofmeister and Lefmann
• n ???
• m ??
• D ???? (???????????)
• 0.878 1995 Goemans and
  Williamson

11
MAX CUT?0.878 ????

• Goemans and Williamson 95
• ?MAX CUT?
• ??2???????????.
• ?????????.
• ????????????.

12
????????(?)

• ???G??????S??????,
• ?????????????????.
• max?w(i,j) d(v(i )v( j)) v(i )? S (? i ?V )

i,j
13
????????

• ???????G(V,E),?????wE? Z,
• S???????,??1/p ?????.
• ?????. (?????????1).
• ?v,?v? S ,
• d(vv) v ? v?????????????.
• ????????
• ???G????S??????,
• ?????????????????.
• max?w(i,j) d(v(i )v( j)) v(i )? S (? i ?V )

i,j
14
????????(?)

• ???G??????S??????,
• ?????????????????.
• max?w (i,j) d(v(i )v( j)) v(i )? S (? i ?V )

i,j
15
????????(??)

• max?w (i,j) d(v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• ??
• d(U)?????.
• v (i ? U ),
• ? v?S, v(i ) ????,
• - v (i? V-U ),
• ? v(i )?????????????.
• ???????1
• ???????,
• ???????????.

i,j
16
?????(?)

• ??v ???????
• ?w (i,j) d(v(i )v( j)) w (U) (???????).
• (?????v???????)? w (U) ???.
• H????????????.
• V(H)v(i)???H????????.
• w(H)V(H)???????????.
• ????????????
• ????????????.
• ????????H???,
• w(H)??????

i,j
17
?????(?)

• ?????????????????????.
• ????????H???, w(H)??????
• ??i,j??????d(v(i )v( j))??,
• ???????????i,j???????,
• d(v(i )v( j))/(?????????)d(v(i )v( j))

i
d(v(i )v( j))
j
??????1
18
?????(?)

• ?????????????????????.
• ????????H???, w(H)??????
• Ew(H)?w (i,j) Pr?H???i,j????
• ?w (i,j) d(v(i )v( j))
• w(H)?????????????????,
• Ew(H)? w (U) (???????).
• ????,?????v(i )????,
• ?w (i,j) d(v(i )v( j)) Ew(H)? w (U) .

i,j
i,j
i,j
19
MAX CUT??????????

• max?w(i,j) d(v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• ?? d(U)?????.
• v (i ? U )
• ? v?S, v(i )
• - v (i? V-U )
• ? v(i )?????????????.
• MAX CUT????????????
• ??????.

i,j
20
??????????????

• max?w(i,j) d(v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• ????????? v ???,??????.
• ?????????????
• ????(??)??????,
• (??????????????)E(H)
• ?i,j ?E w(i,j) Pr?H???i,j????
• ?i,j ?E w(i,j) d(v(i )v( j))
• (??v ??????????)
• ??????????
• ?????????.

i,j
21
?????????

• MAX CUT????????????????.
• ????????????.
• ?v,?v? S ,
• f(vv) v v ???????p/2??2?.
• (d(vv)1 ? v v?S??? ? f(vv)1)
• ???d?f??????.
• f(vv)(p/2)2v - v2
• (1/2)(1-p2 vt v)

S
1/p
d
1/2
22
????

• ????????
• max?w(i,j) d(v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• ????
• max?w(i,j) f (v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)

i,j
i,j
23
???????????????

• ????? v
• ? U ??????.
• v (i ? U )
• ? v?S, v(i )
• - v (i? V-U).
• v ????????i,?j, d(v(i )v( j))?0,1
• ? ?i,?j, f (v(i )v( j)) ?0,1
• ? ?w(i,j) d(v(i )v( j)) ?w(i,j) f (v(i )v( j))
• ????????
• ????????d?????????
• ????????f ?????????
• ?(????????) ????????????

24
?????

• ??
• ?v,?v? S , d(vv)gt 0.878 f (vv)
• d(vv)?/p
• f (vv)(1-cos?)/2
• d(vv)/f (vv)
• ? (2/p)(?/(1-cos?))

25
0.878?????????
1
0.878
0.8
0.6
0.4
f (1-cos(?))/2
0.878(1-cos(?))/2
0.2
d?/p

?
p
p/2
0
26
??????

• ?? v(i )????????.
• (??v(i )?d?????????)
• ?0.878(???????)
• v(i )????????.
• v(i )????????????(???????).
• ?w(i,j) d(v(i )v( j))
• ?0.878?w(i,j) f (v(i )v( j))
• ?0.878?w(i,j) f (v(i )v( j))
• 0.878?w(i,j) d(v(i )v( j) )

i,j
i,j
i, j
i, j
27
0.878????

• ???????v???,????????????
• ????????????????, v??????
• ?w(i,j) d(v(i )v( j)) ????????????.
• ?? (??????????????)
• ?0.878 (????????)
• 0.878????
• (1)??????????v(i )????.
• (2)????v(i )??????
• ???????????.

i,j
28
??????????????

• ????????? 0.87856??
• ??????????
• (??????)/(????????)
• ??5????? 0.88445??
• Petersen graph 0.8787
• GW 95??103?????0.8786

29
??????

• Goemans and Williamson 95
• ???????????????,
• ?????????????.

30
???????????

• ???????????????(MC)
• max?w (i,j) d(v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• ????(MC)
• max?w (i,j) f (v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)

i,j
i,j
31
?????????

• MC
• max?w(i,j) f (v(i )v( j)) v(i )?S (?i?V)
• max?w(i,j) (1-p2v(i )tv( j) ) v(i)?S(?i?V)
• ??Yy i j?y i j (pv(i))t(pv( j ))?????.
• X (v(1),..., v(n))????, Y p2X tX ??,
• (1) Y ?????????,
• (2) y i i1 (?i?V).
• ?????.

i,j
i,j
32
??????????

• MC
• max?w(i,j) (1-p2v(i )tv( j) ) v(i)?S(?i?V)
• ??Yy i j?y i j (pv(i))t(pv( j ))?????.
• ?? ??
• max. ?w(i,j) (1-y i j )
• sub.to Y y i j?????????,
• y ii1 (?i?V),
• Y p2X tX , X (v(1),..., v(n)).

i,j
i,j
33
???????????

• MC
• max?w(i,j) (1-p2v(i )tv( j) ) v(i)?S(?i?V)
• (S ?n ??????,2???????)
• max. ?w(i,j) (1-y i j )
• sub.to Y y i j?????????,
• y ii1 (?i?V).
• ?(1/p2)Y ?Cholesky???(1/p2)Y X tX.
• X (v(1),..., v(n))????, v(i) ?MC????.
• ????????????????????.

i,j
i,j
34
??????????

• max. ?w(i,j) (1-y i j )
• sub. to Y y i j?????????,
• y ii1 (?i?V).
• ???????????
• max. W?Y
• sub. to Y ?????????,
• Qi?Ybi ( i?1,2,...,m).
• ???,W, Qi ?????, A?B?i?j aij bij .
• ????????????????????.

i,j
35
??????? ?? ????????(1)

• max. W?Y
• sub. to Y ?????????,
• Qi?Ybi ( i?1,2,...,m).
• ???,W, Qi ?????, A?B?i?j ai j bi j .
• ????,??????????????.
• ???????????????.
• Y?RnnY ????????
• ?????

36
??????? ?? ????????(2)

• max. W?Y
• sub. to Y? ,
• Qi?Ybi ( i?1,2,...,m).
• ???,W, Qi ?????, A?B?i?j ai j bi j .
• Y?RnnY ????????
• ?????????.

(???? ?????)
? ???????????(LP)?LP??????
37
??????????????

• ??SDP max. W?Y
• sub.to Y ?????????,
• Qi?Ybi (
  i?1,2,...,m).
• ??SDP(µ) max. W?Yµlog det Y
• sub.to Y ?????????,
• Qi?Ybi (
  i?1,2,...,m).
• Y (µ)??SDP(µ) ????
• ???? Y (µ) µgt 0 ?Newton??????.
• ??????????.

38
?????

• ???? ??? ??? ?? ???
• A 50 50 0.96988 36.28
• 100 20 0.96783 323.08 Sun SPARC
  station 1
• 200 5 0.97209 4629.62
• B 50 50 0.97202 23.06 CodeVanderbei
• 100 20 0.97097 217.42 1995
• 200 5 0.97237 2989.00
• C 50 50 0.95746 23.53 ????50???
• 100 20 0.94214 306.84
• 200 5 0.92362 2546.42
• D 50 50 0.95855 27.35
• 100 20 0.93984 355.32
• 200 5 0.93635 10709.42 (3????)

39
????? ???? 1996 RAMP ?????????

• ?? ??
• g(n ,???) SDP? RANDOM SDP-R LOCAL
  TABU .
• g124.02 636.5 0.6761 0.9648 0.9507
  0.9648
• g124.04 610.3 0.7040 0.9374 0.9411
  0.9485
• g124.08 637.1 0.7781 0.9470 0.9513
  0.9534
• g124.16 607.0 0.8052 0.9625 0.9648
  0.9648 .
• g250.01 7948.5 0.6303 0.9518 0.9140
  0.9612
• g250.02 7407.6 0.6612 0.9516 0.9118
  0.9438
• g250.04 7290.7 0.7318 0.9244 0.9376
  0.9448
• g250.08 7505.7 0.7712 0.9454 0.9513
  0.9567
• (2????)
• RANDOM,LOCAL,TABU?100?????????.
• SDP-R?,SDP??????,100?????????????.
• 1996?SDPA Ver.1.0 Sun SPARC Station 20 125MHz

40
SDP????? ???? (????)1996,1999

• ?? 1996? 1999? ??
  .
• g(n ,???) ( ?,Mbyte) (?,Mbyte)
• g124.02 ( 636.5, 5.1) ( 9.1, 5.0)
  0.9648
• g124.04 ( 610.3, 5.1) ( 9.4, 5.0)
  0.9374
• g124.08 ( 637.1, 5.1) ( 9.4, 5.0)
  0.9470
• g124.16 ( 607.0, 5.1) ( 9.4, 5.0)
  0.9625
• g250.01 ( 7948.5, 23.5) ( 82.7, 20.0)
  0.9518
• g250.02 ( 7407.6, 23.5) ( 79.8, 20.0)
  0.9516
• g250.04 ( 7290.7, 23.5) ( 80.3, 20.0)
  0.9244
• g250.08 ( 7505.7, 23.5) ( 80.2, 20.0)
  0.9454
• 1996?SDPA Ver.1.0 Sun SPARC Station 20 125MHz
• 1999?SDPA Ver.4.30DEC ALPHA 21164 600MHz

41
MAX 2SAT?0.878 ????

• Goemans and Williamson 95
• ?MAX 2SAT?
• ???MAX CUT???????.
• (????10?) (????)

42
SAT??(???)

• SAT??(Satisfiability problem???????)
• ?????Ua1,a2,a3
• ????GC1 ,C2,C3, C4, C5, C6
• C1 a2 ,
• C2 ?a1, a2,?a3 ,
• C3 ?a1,?a2,?a3 ,
• C4 ?a1,?a2, a3 ,
• C5 a1,?a2 ,
• C6 a1, a3
• (?a ? a ????????.)

G??????? ??????. U ??????? ???? ??????
???????????? ?????1??
43
SAT??(????????)

• U a1, a2, a3
• T T F
• C1 a2 ? T
• C2 ?a1, a2,?a3 ? T
• C3 ?a1,?a2,?a3 ? T
• C4 ?a1,?a2, a3 ? F
• C5 a1,?a2 ? T
• C6 a1, a3 ? T

G?????????????, U ????????????.
44
SAT??(??)

• SAT??(Satisfiability problem???????)
• ???????U,???????G.
• ???? U ??????,
• G?????????????.
• ??????????????,???????
• ???????????
• ??????????????????1?????
• k SAT(????????????)?k
• SATNP-?????????????Cook71.
• 3SATNP-??. 2SAT??????????.

45
MAX SAT(???)

• U a1, a2, a3 ?????????
  
• T T F ??
• C1 a2 4? T 4
• C2 ?a1, a2,?a3 1? T 1
• C3 ?a1,?a2,?a3 6? T 6
• C4 ?a1,?a2, a3 4? F
• C5 a1,?a2 3? T 3
• C6 a1, a3 9? T 9
• ?????????????????.

?????? ? ?????? ????? ?????1??
??27 ??????? 23
46
MAX SAT??(??)

• MAX SAT??
• ???????U,???????G.
• ???????????wG?Z.
• ??G???????????????
• ?????,U??????????.
• ????????????k ???? MAX k SAT
• MAX 2SAT???NP-??
• Garey,Johnson and Stockmeyer 71

47
???MAX CUT??(??)

• ???MAX CUT?? ? MAX 2SAT
• ???????G(V,E ), ???E ?E ,
• ?????wE?Z.
• ??G ??????,???E ???,
• ?????????????.
• ????????
• v(i )?S (?i?V) ,
• max ?w(i,j) d(v(i )v( j)) d(v(i )v( j))1
  (?i,j?E)
• ??????
• max ?w(i,j) (1-y i j ) Y y i j ?????????,
• y ii1
  (?i?V), y ij 1 (?i,j?E)

i,j
48
???MAX CUT??(???)

• ???MAX CUT?????E???
• ???????????
• E??
• E???????
• ??????????.

e
d
a
c
b
49
MAX 2SAT??????MAX CUT?? (LAST)

• MAX 2SAT???,
• ???MAX CUT????????.
• C1 a2 4
• C2 ?a1, a3 1
• C3 a1,?a2, 6

4
1/2
6/2
1/2
6/2
a0
1/2
6/2
?a1
?a2
?a3
50
???
51
Goemans and Williamson ???

• ?? ???(??)?(GW)
• MAX CUT (?????) 0.5 ? 0.878
• MAX 2SAT 0.75? 0.878
• MAX SAT 0.75? 0.7584
• MAX DICUT 0.25? 0.79607
• ?????????????

52
MAX k SAT ? ????????????

• MAX SAT 0.75 Goemans and Williamson 94
• ????????????.
• MAX SAT 0.7584 Goemans and Williamson 95
• ????????????.
• MAX SAT 0.770 Asano 97
• MAX CUT??????? 83/84 ????
• ??????????????????PNP.
• MAX 2SAT 0.878 Goemans and Williamson 95
• ????MAX CUT?????????
• MAX 2SAT 0.931 Feige and Goemans 95
  (95/96?PNP)
• MAX 3SAT 0.875 ? Karloff and Zwick 97
  (0.875?PNP)
• 0.751- (1/2)2, 0.8751- (1/2)3.

53
????