Notion d

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Notion d état interne
Notion d état interne
Observons le processus du premier ordre
ou
Forme de Commande
A partir de l instant t 0, on applique
l entrée e(t) connue, et on calcule la sortie
s(t) qui en résulte soit
Solution générale de l équation d état
Discrétisation de la forme de commande
Pour t gt 0, on voit que s(t) dépend non seulement
de e(t) mais encore de la valeur de la sortie à
l instant t 0, ou condition initiale s(0)
Passage RE donne FT
On dira que s(0) est l état du processus à
l instant t 0. On voit que pour un premier
ordre, sortie et état sont confondus.
Stabilité
Gouvernabilité (définition, critère direct)
Démontrer le résultat trouvé pour s(t)
Observabilité (définition et critère direct) 
Découplage des variables d état
Choix des valeurs propres
Asservissement
Retour d état
Etendre le résultat si l instant initial est t
t0 non nul
Simulation avec Matlab
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Illustration de la notion d état interne
Simulation gauche ordre1tf(1,1
1) ordre1ss(ordre1) hold on initial(1,ordre1) in
itial(2,ordre1) initial(0.5,ordre1)
Simulation droite o2ss(tf(1,1 .2 1)) hold
on initial(0,1,o2,30) initial(1,1,o2,30) ini
tial(-1,1,o2,30)
Les deux simulations ci-dessus illustrent
l existence d un état interne dans le cas du
retour à l équilibre 0 à entrée de commande
nulle. Commenter
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Forme de commande de la représentation d état
Cette notion est généralisable à tout processus
donné par n équations différentielles du premier
degré, en regroupant les n sorties dans un
vecteur d état interne.
L équation d état est une équation
différentielle matricielle de degré un
Plus généralement, pour un processus d ordre n,
on se ramène à ce cas en constituant le vecteur
d état avec la sortie s(t) et les n-1 premières
dérivées
On obtient alors la FORME DE COMMANDE de la
représentation d état
Mais il faut noter que tout changement de base
dans l espace d état (ici Rn) conduit à une
représentation d état différente du même
processus
Trouver la forme de commande de Cobaye, avec un
vecteur d état à préciser, Vérifier que la
représentation d état n est pas unique
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Solution générale de l équation d état
Pour résoudre l équation d état, on peut
utiliser la transformée de Laplace comme dans le
cas d une équation différentielle scalaire sans
oublier qu elle est matricielle
On retrouve les deux termes
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1
est une exponentielle de matrice
Adapter le résultat si on débute en t t0
Calculer l exponentielle matricielle associée au
processus Cobaye
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Discrétisation de la forme de commande
C est un cas particulier de la solution générale
de l équation d état, où l entrée e(t) est
constante par morceaux. Si par exemple entre 0
et T, e(t) e0 constante, on pose
On résout alors l équation d état entre 0 et T
avec l entrée e0 et la condition initiale X0,
on prélève le résultat à l instant T soit
X1X(T) qui donne s1s(T)
Pour résoudre entre T et 2T, X1 devient la
condition initiale, et l entrée devient e1,
d où X2, etc ... On fera donc en général
Discrétiser Cobaye sous la forme de commande si
T 0.01 seconde
On aboutit à une représentation d état en temps
discret avec le vecteur d état
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Représentation d état et fonction de transfert
en z
Représentation d état et fonction de transfert
sont deux représentations équivalentes
On calcule la fonction de transfert en
transformant l équation d état à conditions
initiales nulles
Cas monovariable (une entrée, une sortie), on
aboutit à une fonction de transfert
Cas multivariable, on aboutit à une  matrice de
transfert 
Calculer la fonction de transfert de COBAYE
discrétisé à partir de la représentation d état
obtenue précédemment
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Pôles et valeurs propres d un processus
Stabilité EBSB
Les pôles de la fonction de transfert sont les
valeurs propres de la matrice d état. Ce sont
les racines du polynôme caractéristique
Polynôme caractéristique
L ordre n du processus, degré du dénominateur de
la fonction de transfert et du polynôme
caractéristique, donne les dimensions de la
matrice d état (n,n)
En effet,
Conséquence un système en temps discret est
stable au sens EBSB si et seulement si ses
valeurs propres sont de module strictement
inférieur à un, c est à dire se trouvent toutes
à l intérieur du cercle unité strictement.
Quel est le polynôme caractéristique de COBAYE
discrétisé ?
Comparer les valeurs propres et les pôles de
COBAYE discrétisé.
Cobaye est-il stable au sens EBSB ?
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Définition de la gouvernabilité (et critère
direct)
A quelle condition puis-je amener un processus
discret de létat X0 jusquà l état XN en N
périodes d échantillonnage en utilisant son
entrée ?
PROBLEME
Mise en équation
matrice de gouvernabilité
vecteur de commande
Si le rang de G est égal à l ordre du processus,
il existe une solution E à ce problème, le
processus est alors  entièrement gouvernable .
RESULTAT
Dans le cas particulier où N est l ordre du
processus, et si G est carrée, inversible égale
de rang N, la solution est
Cobaye est il entièrement gouvernable ? Calculer
la succession des commandes permettant de
rejoindre un état final Xf1,0  depuis létat
X00,0  ?
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Observabilité (définition et critère direct)
Si on peut en observant seulement la sortie d un
processus en reconstituer l état en un temps
fini, le processus sera dit  entièrement
observable .
PROBLEME
Observabilité et gouvernabilité sont deux
propriétés duales un calcul simplifié où
lentrée de commande est nulle mène au critère
direct dobservabilité suivant
Mise en équation
Pour qu un processus soit entièrement
observable, le rang de la matrice
d observabilité O ci-contre doit être égal à
lordre du processus.
RESULTAT
Que devient le critère direct d observabilité si
O est carrée ?
Il faut que O soit inversible dans ce cas
Cobaye discrétisé est-il entièrement observable ?
Comment calculer l état de Cobaye à partir des
sorties si l entrée est nulle ?
Par exemple, s01, s10 donne ?
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Découplage de l équation d état
Les informations sur la stabilité, la
gouvernabilité et l observabilité se déduisent
de l analyse détaillée des couplages des
variables d état. Si on opère un changement de
base dans l espace d état qui diagonalise la
matrice d état, la matrice de changement de base
P est constituée de vecteurs propres de F X 
étant le nouveau vecteur d état, c est X P
X et X  inv(P) X. La représentation détat
dans cette base est
Stabilité composantes de la diagonale L de
module inférieur à un. gouvernabilité matrice
de commande sans ligne nulle observabilité
matrice d observation sans colonne nulle
Pour l exemple suivant, discuter stabilité,
gouvernabilité et observabilité sur les équations
scalaires correspondantes
avec
La forme est découplée d origine les deux
valeurs propres sont La matrice de commande
n a pas de ligne nulle gouvernabilité La
matrice d observation pas de colonne nulle
observabilité
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Calcul des vecteurs propres
Il y a donc autant de représentations d état
d un processus que de changements de base dans
l espace d état. Cependant, il y a une seule
fonction de transfert. Dans une base de vecteurs
propres, les informations de stabilité, de
gouvernabilité et d observabilité apparaissent
en clair dans la représentation d état
Dans le cas où les valeurs propres sont simples
(uniques), le calcul des vecteurs propres
s opère avec la matrice adjointe de F
se lit dans
pour
Puis, on constitue la matrice de changement de
base en juxtaposant les vecteurs propres
Découpler Cobaye discrétisé et discuter
stabilité, observabilité et gouvernabilité
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Asservissement et représentation d état
Prenons le cas de la loi de commande
suivante pour l asservissement de COBAYE
Sous forme matricielle, on pose
On en déduit alors que la loi de commande
modifie léquation d état
Appliquer à l asservissement de Cobaye
discrétisé
Calculer le polynôme caractéristique du système
bouclé
Etude du lieu des pôles ou valeurs propres de
l asservissement
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Retour d état
Note 1 la réalisation du retour d état
implique en pratique la connaissance du vecteur
d état (on devra construire un filtre
observateur si l état est partiellement inconnu)

Supposons le vecteur d état de COBAYE
entièrement connu et mesuré pour ses deux
composantes
La loi de commande suivante dite  retour
d état  permet de fixer à volonté les valeurs
propres de la matrice d état du système bouclé
L équation d état est modifiée comme
précédemment, mais les paramètres du retour
d état permettent de fixer sans restriction les
valeurs propres du système bouclé.
Appliquer ce retour d état au cas de Cobaye et
placer les valeurs propres en 0. Quel est alors
le gain statique du système bouclé ?
Note 2 en régime permanent de l équation
d état, XnXn1. Sous la forme de
commande,toutes les dérivées de s sont nulles en
plus, d où les équations à écrire
Pour deux valeur propres nulles, il suffit que le
polynôme caractéristique soit
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Choix des valeurs propres ou pôles
Pour déterminer les pôles / valeurs propres d un
système en temps discret, on utilise les
propriétés démontrées pour les pôles et valeurs
propres continus sachant que
Discret lt gt Continu
(Excepté pour le cas particulier de la réponse
pile ou valeur propre z 0)

• Un pôle réel
• 2 pôles complexes conjugués

Calculer les valeurs propres d un processus
continu assurant l amortissement et le temps de
réponse à 5
Avec T 0.01s, quels sont les valeurs propres qui
assurent le même comportement ?
Quel est donc le retour d état K imposant ces
pôles à l asservissement de Cobaye ?
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Exemple de simulation avec Matlab
Observabilité Obsobsv(marectd) commande
conventionnelle rlocus(marectd) zgrid(sqrt(2)/2,10
) zoom on krlocfind(marectd) fonction de
transfert ftztf(marectd) calcul d'un retour
d'état Adget(marectd,'a') Bdget(marectd,'b') c
hoix des pôles polc5sqrt(2)-1-i,-1i polzexp
(Tpolc) calcul du retour Kacker(Ad,Bd,polz) co
nstruction du système bouclé retourss(Ad-BdK,Bd
K(1),C,0,T) step(retour) comparer avec le
bouclage pour k10 retour10ss(Ad-Bd10,0,10Bd,
C,0,T) step(retour10,'r',retour,'b')
clc echo on cobayetf(50,1 10 0) T0.01 en
temps continu rectss(cobaye) Matlab choisit
une base dans l'EE A0 1 0 -10 B050 C1
0 marectss(A,B,C,0) discrétisation
marectdc2d(marect,T) stabilité damp(marectd) ei
g(marectd) Gouvernabilité Gouvctrb(marectd) Gou
get(marectd,'b') ... get(marectd,'a')get(marectd
,'b')
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Comparaison de la commande proportion-nelle pour
k10 et du retour d état