Dise

1
Diseño de Autómatas Finitos
2
Diseño de AFDs

• Definir un AFD que acepte palabras que cumplan
  ciertas especificaciones.
• Correcto que las palabras aceptadas por el AFD
  cumplan las especificaciones, es decir, que no
  sobren palabras.
• Completo que toda palabra que cumpla las
  especificaciones sea aceptada por el AFD, es
  decir, que no falten palabras.
• Ejemplo AFD que acepte palabras sobre a, b que
  no tengan varias as seguidas.El AFD de la
  figura no escorrecto porque acepta baa,pero
  no acepta ba.

a
a
q1
gt
q0
b
b
a
b
q2
3
Cómo diseñar un autómata finito

• Por ensayo y error no es adecuado.
• Póngase en los zapatos del autómata que quiere
  diseñar.
• Para cada símbolo leído, saber si la cadena es
  aceptada o no, por si la cadena termina ahí.
• Decida que información es crucial recordar, es
  decir, cuales serían los estados del autómata.
• Asignar transiciones, estado inicial y estado(s)
  final(es).

4
Ejemplo

• Diseñar un AFD que acepte todas las palabras
  sobre 0, 1 que tengan un número impar de 1s.
• No se requiere saber cuantos 1s se han leído
  sino sólo si llevamos un número par o impar de
  1s. Esta respuesta permanece igual si enseguida
  leemos un 0 y cambia si leemos un 1.
• Representar esto como una lista de posibilidades
  y asignar un estado a cada posibilidad a) par
  hasta ahorita. B) impar hasta ahorita.
• Asignar las transiciones.
• Definir el estado inicial, el que corresponde a
  la palabra nula l.
• Definir el estado final, el que corresponde a
  palabras de longitud impar.

1
qpar
qimpar
0
0
1
5
Otro ejemplo

• Diseñar un AFD que reconozca palabras que
  contienen la cadena 001 como 0010, 1001,
  11111110011111, pero no como 11, 0000, 1100,
  10101.Posibilidades
• No hemos leído ningún símbolo. Estado q.
• Hemos leído un 0. Estado q0.
• Hemos leído 00. Estado q00.
• Hemos leído 001. Estado q001.

1
0,1
0
0
0
1
q
q0
q00
q001
1
6
Ejemplos

• Diseñar un AFD que acepte exactamente el lenguaje
  sobre 0, 1 en que las palabras no comienzan con
  00.

7
EjemploPalabras sobre a, b, c en las cuales
toda b es inmediatamente seguida de al menos una
c.
8
Otro ejemplo

• Construir un autómata finito determinista que
  reconozca el lenguaje sobre 0, 1 que consiste
  de las palabras que terminan con 10, es decir,
  reconoce el lenguaje (0 1)10.

9
Simplificación del Otro ejemplo
10
Un ejemplo más

• Construir un autómata finito determinista que
  reconozca el lenguaje sobre 0, 1 que consiste
  de las palabras que terminan con 1, es decir, (0
  1)1.

11
Y un ejemplo más

• Construir un autómata finito determinsta que
  reconozca el lenguaje sobre 0, 1 que consiste
  de las palabras cuyo penúltimo símbolo es 1, es
  decir, su expresión regular es (0 1)1(0 1).

12
Y aún otro más

• Construir un autómata finito determinista que
  reconozca el lenguaje sobre 0, 1 que consiste
  de las palabras cuyo antepenúltimo símbolo es 1,
  es decir, su expresión regular es (0 1)1(0
  1)(0 1).

13
Y varios más

• Cuántos estados tendría el autómata finito
  determinista que reconozca el lenguaje sobre 0,
  1 que consiste de las palabras cuyo
  ante-antepenúltimo símbolo es 1, es decir, su
  expresión regular es (0 1)1(0 1)3?
• Resp 24 16.
• Cuántos estados tendría el autómata finito
  determinista que reconozca el lenguaje sobre 0,
  1 que consiste de las palabras cuyo décimo
  símbolo, contado de derecha a izquierda es 1, es
  decir, su expresión regular es(0 1)1(0 1)9?
• Resp 210 1024.
• Cuántos estados tendría el autómata finito
  determinista que reconozca el lenguaje sobre 0,
  1 que consiste de las palabras cuyo vigésimo
  símbolo, contado de derecha a izquierda es 1, es
  decir, su expresión regular es(0 1)1(0
  1)19?
• Resp 220 1M.
• Cuántos estados tendría el autómata finito
  determinista que reconozca el lenguaje sobre 0,
  1 que consiste de las palabras cuyo vigésimo
  quinto símbolo, contado de derecha a izquierda es
  1, es decir, su expresión regular es(0 1)1(0
  1)24?
• Resp 225 32M.

14
Tarea 3, Parte A (en equipo)

• Construir un AFD que reconozca números binarios
  múltiplos de 5.
• Por ejemplo, debe reconocer0, 101, 1010, 1111,
  10100.
• Fecha de asignación 19/Febrero/2004
• Fecha de entrega 01/Marzo/2004

15
Equivalencia de autómatas finitos

• Decimos que dos autómatas, M1 y M2, son
  equivalentes cuando aceptan el mismo lenguaje, es
  decir, L(M1) L(M2).En este caso escribimos M1
  M2.
• Cómo saber que dos autómatas son equivalentes?
• Cómo saber que dos autómatas no son equivalentes?

16
Cuándo dos autómatas no son equivalentes?
17
Ejemplo
No!
Son M1 y M2 equivalentes?
Porque M1 acepta ? y M2 no.
Por qué?
18
Ejemplo
No!
Son M1 y M2 equivalentes?
Por qué?
Porque M1 acepta 0 y M2 no.
Porque M2 acepta 01 y M1 no.
19
Ejemplo
Sí!
Son M1 y M2 equivalentes?
Por qué?
Porque todas las palabras que son aceptadas por
M1 también lo son por M2 y viceversa.
20
TODAS las palabras?

• Para poder decir que dos autómatas son
  equivalentes, debemos verificar que TODAS las
  palabras aceptas por uno de los autómatas son
  aceptadas por el otro y viceversa.

21
Cómo saber que dos autómatas son equivalentes

• Teorema de Moore. Existe un algoritmo basado en
  la comparación de estados para saber si dos
  autómatas son equivalentes.
• Definición. Dos estados son compatibles si ambos
  son finales o ninguno de los dos lo es. Si uno es
  final y el otro no lo es, entonces se dice que
  son incompatibles.

22
Algoritmo de Moore

• Comparación de los autómatas M(K, S, d, s0, F)
  y M (K, S, d, s0, F).Se construye la
  tabla de comparación con 1S columnas. La
  primera columna ponemos (q, q) como encabezado.
  El encabezado de las columnas restantes son los
  símbolos del alfabeto.
• 1) Inicialmente escribimos (s0, s0) en el primer
  renglón de la primera columna.
• 2) Completamos el renglón poniendo en cada
  columna a la pareja de estados donde el primer
  elemento de la pareja es el estado a donde se
  transfiere el autómata M del estado en la primera
  columna después de leer el símbolo que encabeza
  la columna correspondiente. El segundo elemento
  de la pareja es la transición correspondiente a
  M.
• 3) Cada pareja de estados generado en el punto 2)
  que no esté en la primera columna se escribe en
  esa primera columna.
• 4) Se completa el renglón para la siguiente
  pareja de estados en la primera columna.
• 5) Si en la primera columna aparece una pareja de
  estados incompatible, entonces se termina el
  proceso y se concluye que los autómatas no son
  equivalentes.
• 6) Si en la primera columna no aparecieron
  parejas de estados incompatibles y si ya no
  aparecen nuevas parejas que no estén en la
  primera columna, entonces se concluye el proceso
  y decimos que los autómatas son equivalentes.

23
Arbol de comparación
24
Determinar si los siguientes AFDs son/no son
equivalentes
A
B
C
25
Respuesta al ejercicio de la lámina anterior

• A y B sí son equivalentes.
• B y C no son equivalentes.
• A y C no son equivalentes.

26
Simplificación de autómatas

• Decimos que un autómata es una simplificación de
  otro si tiene menos estados pero ambos aceptan el
  mismo lenguaje.
• Decimos que en un AFD dos estados son
  equivalentes si al tomar uno o el otro como
  estado inicial, los lenguajes aceptados por los
  AFDs resultantes son iguales. En otras palabras,
  dado un AFD M (K, S, d, s0, F) y dos estados q0
  y q1 Î K, decimos que q0 y q1 son equivalentes o
  redundantes (q0 q1) si (K, S, d, q0, F) (K,
  S, d, q1, F).
• Una vez que sabemos que dos estados son
  equivalentes, entonces podemos eliminar uno de
  ellos. Pero, y las flechas que entran y salen
  del estado eliminado?
• Las flechas que salen del estado eliminado son
  eliminadas.
• Las flechas que entraban al estado eliminado se
  redirigen al estado equivalente.

27
Estados equivalentes
28
Borrar transiciones
a
b
5
3
a
b
a
4
a
b
b
5
3
b
a
4
29
Redirigir transiciones
a
b
5
3
b
a
a
4
b
5
3
b
a
30
Obtención de AFD mínimo eliminando estados
equivalentes

• Teorema. Al eliminar estados redundantes de un
  AFD se obtiene el único AFD mínimo que acepta el
  mismo lenguaje que el original.AlgoritmoPara
  cada par de estados (p, q) del autómata
• Ver si son equivalentes.
• En caso de que sí, entonces eliminar uno de ellos
  y volver a empezar con otros dos estados.
• Hasta que no haya estados que eliminar.

31
Ejercicio.- simplificar
32
Obtención de AFD mínimo utilizando clases de
equivalencia

• Dado un AFD M (K, S, d, s0, F), el
  procedimiento para simplificarlo es
• Definimos dos clases de equivalencia, F y K -
  F.
• Para cada clase
• Sea q un estado en la clase. Poner en una misma
  clase a todos los estados q que tienen
  transiciones iguales a las de q, es decir, q
  y q pertenecen a la misma clase si para cada
  símbolo s Î S, d(q, s) cae en la misma clase
  que d(q, s). Ponemos en otra clase a los que
  tienen transiciones distintas a las de q.
• Si todos los estados de la clase tienen
  transiciones iguales, entonces la clase no se
  divide y analizamos otra clase.
• Continuar analizando clases hasta que ninguna se
  divida.

33
Operaciones entre autómatas

• Sean
• M1 (K1, ?, ?1, s1, F1) y M2 (K2, ?, ?2, s2,
  F2) dos AFDs que aceptan los lenguajes L1 y L2,
  respectivamente.
• Cómo obtener autómatas que reconozcan
• L1?L2
• L1?L2
• L1?L2
• L1L2
• L1
• L1C

34
Respuesta

• Definamos el autómata M (K, ?, ?, s0, F) donde
• K K1 K2
• s0 (s1, s2)
• ?((p, q), a) (?1(p, a), ?2(q, a)) para p?K1,
  q?K2 y a??
• Si F (p, q) p?F1 o q?F2, entonces M
  acepta al lenguaje L1?L2.
• Si F (p, q) p?F1 y q?F2, entonces M
  acepta al lenguaje L1?L2.
• Si F (p, q) p?F1 y q?F2, entonces M
  acepta al lenguaje L1?L2.
• Y L1L2, L1, L1C?

35
Ejemplo

• Consideremos los lenguajes sobre el alfabeto
  ?0, 1
• L1 x 00 no es una subcadena de x
• L2 x x termina con 01

36
K1 K2
37
L1 ? L2
38
L1 ? L2
39
L1 ? L2
40
Ejercicio

• Ya que L1C ??L1, el AFD que acepta L1C se
  obtiene
• Cambiando los estados finales a no-finales y los
  no-finales a finales.

41
Obtenga un AF que acepte (11110)0
42
Autómatas Finitos No Deterministas (AFN)

• En los Autómatas Finitos Deterministas, para cada
  estado y símbolo existe uno y sólo un estado al
  cual se hace la transición.
• Y si se quita esta restricción? Es decir, si
  estando en un estado, hay símbolos para los que
  puede no existir transición o símbolos para los
  que puede haber más de una.
• Este tipo de autómatas son llamados Autómatas
  Finitos No Deterministas (AFN).
• Cómo analizar los AFNs?

43
Tarea 3, Parte B (en equipo)

• Ejercicios 3.10(a, b), 3.12, 3.19(b, e, h),
  3.20(b, d, f), 5.16(a, e, g) del texto.
• Fecha de asignación 19/Febrero/2004
• Fecha de entrega 01/Marzo/2004