CHAPITRE 6

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CHAPITRE 6
Stabilité des SA
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Stabilité des SA

• La stabilité est la première propriété exigée
  pour les systèmes asservis !
• Un système instable est inutilisable
• Définition 1 un système est stable si lorsquon
  lui applique une entrée limitée, sa sortie est
  limitée.
• Définition 2 un système est stable sil revient
  à son état permanent après une perturbation.
• Définition 3 un système est stable si sa
  réponse impulsionnelle tend vers 0 pour t infini

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Stabilité des SA
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Stabilité des SA

• Condition générale de stabilité
• LA STABILITE DUN SYSTEME DEPEND DE LA NATURE DES
  POLES DE LA FONCTION DE TRANSFERT.
• Un système linéaire G(p) est de la forme

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Stabilité des SA

• Un système est stable si tous les pôles de D(p)
  sont à partie réelle strictement négative.

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Stabilité des SA

• Exercice

• Etudier la stabilité en BO
• Etudier la stabilité en BF

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Stabilité des SA

• Critère de ROUTH-HURWITZ
• Il nest pas toujours facile de déterminer
  explicitement ces racines, surtout lorsque
  lordre est élevé. Le critère de Routh permet de
  connaître les conditions de la stabilité (ou non)
  dun système sans connaître les valeurs des
  pôles.
• Énoncé du critère
• D(p) est le dénominateur de la fonction de
  transfert. On a D(p) anpn an-1pn-1
  a1p a0
• Les conditions nécessaires pour Routh sont
• Tous les ai existent
• Tous les ai sont de même signe

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Stabilité des SA

• Si les conditions nécessaires sont réunies, nous
  pouvons alors écrire le tableau de Routh pour
  déterminer les conditions nécessaires et
  suffisantes à la stabilité du système.
• Cette méthode comprend 3 étapes
• A partir de lécriture de D(p) anpn an-1pn-1
  a1p a0 , nous écrivons le tableau à deux
  lignes suivants

an an-2 an-4 an-6
an-1 an-3 an-5 an-7
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Stabilité des SA

• A partir du tableau, nous déduisons le nouveau
  tableau de Routh de la manière suivante

A3
A2
A1
B2
B1
C1
Jusquà lobtention dun 0 sur la première
colonne !
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Stabilité des SA

• Nous examinons dans un dernier temps la première
  colonne qui va nous permettre de conclure sur la
  stabilité du système.
• Les racines (ou pôles) sont à partie réelle
  strictement négative si les termes de la première
  colonne du tableau sont tous de même signe ! Le
  nombre de changement de signe dans cette première
  colonne donne le nombre de pôles à partie réelle
  positive.
• Exercice étudiez la stabilité de
• D(p) p5 4 p4 3 p3 2 p2 p 1

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Stabilité des SA

• Exercice

Étudiez la stabilité de ce système
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Stabilité des SA

• Exercice
• Soit un système asservi dont léquation est
  donnée par
• - Donnez la fonction de transfert en BO et
  étudiez sa stabilité.
• - Nous effectuons un retour unitaire. Donnez
  HBF(p) et étudiez les conditions de stabilité.
• - Donnez lerreur statique en fonction de K.
• - Peut-on régler K afin davoir une erreur de 5
  ?

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Stabilité des SA

• Critère de Nyquist ou critère du revers
• Ce critère est une méthode graphique pour
  lanalyse de la stabilité dun système asservi.
  Il ne sapplique que pour les SA à retour
  unitaire.
• Le critère conclut à la stabilité du système en
  boucle fermée par examen du lieu de Nyquist en
  boucle ouverte.
• Un système asservi linéaire est stable si, en
  décrivant le lieu de transfert de Nyquist en BO
  dans le sens des fréquences croissantes, nous
  laissons le point dit  critique  (-1,0) à
  gauche.

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Stabilité des SA
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Stabilité des SA

• Ce critère ne sapplique quà des systèmes à
  retour unitaire. Nous pouvons toujours ramener un
  SA à un système asservi à retour unitaire

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Stabilité des SA

• Application au diagramme de Bode un système
  sera stable si, pour la pulsation w0 qui
  correspond à un gain 0 dB, la courbe de phase
  passe au dessus de 180.

INSTABLE
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Stabilité des SA

• Application au diagramme de Black un système
  sera stable si, en décrivant le lieu de transfert
  de Black en BO dans le sens des fréquences
  croissantes, nous laissons le point critique (0
  dB, 180) à DROITE.

INSTABLE
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Stabilité des SA

• Extension du critère
• Si un gain K est inséré dans la boucle ouverte,
  il faudrait tracer le lieu de Nyquist (ou Black
  ou Bode) pour chaque valeur de K afin de
  déterminer la stabilité du système.
• Or

doù 1 K G(p) 0 donc
Un système asservi est stable si le lieu de
Nyquist de G(p) parcouru dans le sens des
fréquences croissantes, laisse à GAUCHE le point
critique (-1/K 0).
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Stabilité des SA

• Exercice Étudiez la stabilité du système

Confirmez vos résultats avec Routh
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Stabilité des SA

• Marges de stabilité
• La stabilité mathématique présentée précédemment
  nest pas synonyme de bon comportement. Il faut
  que la stabilité soit  suffisante . Un système
  sera dautant plus stable que son lieu en boucle
  ouverte sera éloigné du point critique.
• Si des perturbations ou une déviance du
  comportement apparaissent, une augmentation de la
  phase ou du gain peut entraîner le système en
  instabilité.

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Stabilité des SA

• Nous définissons alors
• LA MARGE DE GAIN cest le gain minimum quil
  faut ajouter pour rendre le système instable.
• LA MARGE DE PHASE cest la phase minimale que
  nous pouvons ajouter pour passer au point
  critique.

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Stabilité des SA

• Mesures graphiques de ces marges
• LIEU DE BLACK

Gm 10.5 dB
jm 46.5
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Stabilité des SA

• LIEU DE BODE

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Stabilité des SA

• LIEU DE NYQUIST

GENERALEMENT, les valeurs de stabilité sont
Gm 10 - 15 dB
jm 45
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Stabilité des SA

• Exercice
• Donner la marge de gain et de phase pour le
  système suivant, sil est stable

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Stabilité des SA

• Exercice
• Soit le système suivant (K gt 0)

• Étudiez la stabilité par Routh
• Étudiez la stabilité par Nyquist
• Calculez les marges de phase et de gain
• pour K 18