Tema IV Torsi

1
Tema IV Torsión en barras
prismáticas
2
Torsión
Mecánica de materiales Torsión
La torsión pura se presenta en toda barra recta
cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en
las bases extremas, y equivalen mecánicamente a
dos pares de sentido opuesto, cuyo eje coincide
con el eje de la pieza. Siendo la barra de
sección constante, todas las secciones
transversales están solicitadas en idéntica
forma. En cuanto a la deformación presenta como
característica mas acentuada, un giro elemental
de cada sección, con respecto a la inmediata,
alrededor del eje de la pieza.
3
Ilustración de la deformación por torsión
Mecánica de materiales Torsión
4
Secciones Macizas
Mecánica de materiales Torsión

• Sección circular.
• Sección elíptica.
• Sección triangular equilátera e isósceles.
• Sección rectangular y rectangular estrecha.
• Sección segmento circular y sector circular.
• Sección diamante y diamante truncado
• Sección trapezoidal.
• Sección paralelogramo.
• Otras.

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Barra recta de sección circular
Mecánica de materiales Torsión

• Consideremos un barra recta de sección circular
  empotrada en uno de sus dos lados, sobre la cual
  actúa un momento torsor se toma el plano XY
  como el plano de la base, y el eje OZ coincide
  con la directriz de la barra como se indica en la
  siguiente figura.

6
Mecánica de materiales Torsión
Barra recta de sección circular
7
Distribución de esfuerzos en la sección
Mecánica de materiales Torsión
8
Mecánica de materiales Torsión
Desplazamientos

• De la figura, notamos que los desplazamientos
  son

Con las identidades trigonométricas y tomando en
cuenta que para ángulos muy pequeños de giro
Cos(?) 1 y Sen(?) ? tendríamos
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Mecánica de materiales Torsión
desplazamientos
Hay que tomar en cuenta que cada sección
transversal sufre un giro diferente proporcional
a la distancia Z que hay hasta la base fija
Donde ? es el ángulo de torsión por unidad de
longitud a lo largo de la dirección Z
10
Mecánica de materiales Torsión

• Tensor de esfuerzo para torsión pura

Donde
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Esfuerzo de corte y ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
Donde
El esfuerzo máximo se produce en el contorno
(xR, y0) y (x0 , yR) entonces el esfuerzo
de corte máximo sería
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Desplazamientos en función del momento torsor
Mecánica de materiales Torsión
13
Rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión

• Es la relación que existe entre el momento torsor
  y el ángulo de giro.

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Torsión en barras de sección elíptica
Mecánica de materiales Torsión
15
Rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
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Ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
El ángulo de giro experimentado por la sección
por unidad de longitud esta dado por
Sustituyendo el valor de D se tiene
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Alabeo de una sección elíptica
Mecánica de materiales Torsión
b
agtb
a
18
Función de alabeo F(x,y) y función conjugada
?(x,y)
Mecánica de materiales Torsión
19
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
El esfuerzo de corte máximo ocurre en los
extremos del eje menor de la elipse de contorno,
es decir, en x0 e yb sustituyendo estos
valores en la ecuación anterior se tiene
20
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
21
Alabeo de la sección
Mecánica de materiales Torsión
22
Torsión en piezas de sección triangular equilátera
Mecánica de materiales Torsión
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Rigidez de torsión y ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
24
Alabeo de una sección triangular
Mecánica de materiales Torsión
25
Función de alabeo y función conjugada
Mecánica de materiales Torsión
26
Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el
centro de cada lado del triángulo, por ejemplo
para el lado AC el esfuerzo máximo está en xa/2
e y0
27
Alabeo de la sección
Mecánica de materiales Torsión
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Torsión en piezas de sección rectangular
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección rectangular no sea
estrecha se debe cumplir que b/a 5
29
Alabeo de una sección rectangular
Mecánica de materiales Torsión
30
Función de alabeo y función conjugada
Mecánica de materiales Torsión
31
Esfuerzos cortantes
Mecánica de materiales Torsión
32
Rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
33
Ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
34
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
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Constantes de torsión para una barra de sección
rectangular
Mecánica de materiales Torsión
b/a K K1 K2
1,00 0,675 0,1406 0,208
1,20 0,759 0,166 0,219
1,50 0,848 0,196 0,231
2,00 0,930 0,229 0,246
2,50 0,968 0,249 0,258
3,00 0,985 0,263 0,267
4,00 0,997 0,281 0,282
5,00 0,999 0,291 0,291
10,00 1,000 0,312 0,312
8 1,000 1/3 1/3
36
Sección triangular isósceles
Mecánica de materiales Torsión
37
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
38
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
Rigidez de torsión D KG
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Sección segmento circular
Mecánica de materiales Torsión
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Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
? 0º 30º 60º 80º 90º
C p/2 1,25 0,8 0,49 0,35
41
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
? 0º 30º 60º 80º 90º
C p/2 1,47 0,91 0,48 0,296
Rigidez de torsión D KGCR G
3
42
Sección diamante y diamante truncado
Mecánica de materiales Torsión
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Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
C depende de ? y de h/h
Valores de c
punto ? h/h 90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º
B 1,000 0,675 0,656 0,637 0,585 0,536 0,448 0,356
A 0,750 0,589 0,527 0,452 0,378 0,288 0,138 ---
B 0,750 0,651 0,646 0,635 0,596 0,555 0,485 0,382
A 0,500 0,699 0,608 0,541 0,467 0,417 0,368 0,292
B 0,500 0,511 0,547 0,551 0,548 0,616 0,475 0,437
44
Angulo de giro unitario y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
D KG
Cuando ? 70º y h gt 0,75h el valor de K sería
Cuando ? gt 70º y h gt 0,75h ó h lt 0,75h el
valor de K sería
45
Sección Trapezoidal
Mecánica de materiales Torsión
46
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
Valores de c
h/b ? 0,577 1 2 3 4
90º --- 0,208 0,493 0,801 1,150
60º 0,077 0,184 0,474 0,781 1,102
45º --- 0,160 0,446 0,746 1,066
30º ---- --- 0,402 0,697 1,014
47
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
Valores de c
h/b ? 0,577 1 2 3 4 h/bgt4
90º --- 0,141 0,457 0,790 1,123 ---
60º 0,038 0,125 0,436 0,768 1,101 h/3b-0,232
45º --- 0,104 0,398 0,729 1,061 h/3b-0,271
30º --- --- 0,345 0,674 1,007 h/b-0,326
48
Sección Paralelogramo
Mecánica de materiales Torsión
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Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
Valores de c
? b/a 15º 30º 45º 60º 75º
1,00 1,618 1,207 0,7442 0,3468 0,08859
1,20 1,350 1,008 0,6231 0,2909 0,07434
1,50 1,084 0,8151 0,5071 0,2384 0,06121
2,00 0,8200 0,6237 0,3930 0,1871 0,04847
2,50 0,6605 0,5076 0,3232 0,1554 0,04055
3,00 0,5533 0,4256 0,275 0,1332 0,03493
50
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
Valores de c
? b/a 15º 30º 45º 60º 75º
1,00 2,038 1,502 0,8448 0,3092 0,04405
1,20 1,670 1,230 0,6909 0,2525 0,03594
1,50 1,253 0,9203 0,5148 0,1873 0,02656
2,00 0,8129 0,5943 0,3300 0,1192 0,01679
2,50 0,5599 0,4078 0,2253 0,0808 0,01134
3,00 0,4055 0,2946 0,1621 0,0579 0,00811
51
Sección de un Sector Circular
Mecánica de materiales Torsión
52
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
Valores de C para calcular Q
? 60º 120º 180º
C 0,0712 0,227 0,35
53
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
Valores de C para calcular K
? 45º 60º 90º 120º 180º 270º 300º 360º
C 0,018 0,035 0,082 0,148 0,296 0,528 0,686 0,878
Rigidez de torsión DKGCR G
4
54
Sección circular con lados opuestos achatados
Mecánica de materiales Torsión
55
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
Valores de C para calcular Q
W/R 7/8 3/4 5/8 ½
C 1,155 0,912 0,638 0,471
56
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
Valores de C para calcular K
W/R 7/8 3/4 5/8 ½
C 1,357 1,076 0,733 0,438
Rigidez de torsión DKGCR G
4
57
Sección circular hueca excéntrica
Mecánica de materiales Torsión
58
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
59
Angulo de giro unitario
Mecánica de materiales Torsión
60
Torsión en piezas de sección cuadrada
Mecánica de materiales Torsión
61
Ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
Como a b y para b/a 1 K10,1406
entonces
4
Rigidez de torsión D 0,1406Ga
62
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
Como a b y para b/a1 K20,208
entonces
63
Torsión en piezas de sección rectangular estrecha
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección rectangular sea
estrecha se debe cumplir que c/d gt 10
64
Ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
a c b d y para b/a gt10 K11/3
3
Rigidez de torsión D 1/3(a bG)
65
Esfuerzo de corte máximo
Mecánica de materiales Torsión
a c b d y para b/a gt10 K21/3
66
Analogía de la membrana (resolución experimental
del problema de torsión)
Mecánica de materiales Torsión

• Consideremos una membrana homogénea, flexible y
  elástica, inicialmente plana tensada
  uniformemente en su contorno por un esfuerzo
  unitario (S) y solicitada por una presión
  vertical constante (P). Supóngase que el contorno
  es precisamente el de la sección transversal de
  la pieza solicitada por torsión. Esta membrana
  se deforma y sus puntos experimentan
  desplazamientos verticales Z en función de X e Y.
  Las ecuaciones de los diferentes parámetros de
  las secciones transversales que se muestran a
  continuación fueron calculados usando la analogía
  de la membrana.

67
Equilibrio de una membrana elástica
Mecánica de materiales Torsión
68
Componentes verticales y fuerzas resultantes de
una membrana elástica
Mecánica de materiales Torsión
69
Mecánica de materiales Torsión

• Sumando las fuerzas de la última columna e
  igualando a cero se obtiene la ecuación de
  equilibrio del elemento de la membrana.

70
Mecánica de materiales Torsión

• La membrana, en su deformación, adopta la forma
  de una superficie ZZ(x,y)

71
Mecánica de materiales Torsión
Los esfuerzos quedarían expresados de la
siguiente manera
72
Mecánica de materiales Torsión
Observando las ecuaciones anteriores se puede
concluir lo siguiente

• La componente del esfuerzo ?zy según el eje Oy,
  es proprcional a la pendiente ?z/?x que la
  membrana presenta, según Ox.
• Correlativamente, la componente ?zy, según Ox, es
  proporcional a la pendiente ?z/?y

73
Analogía de la membrana
Mecánica de materiales Torsión
74
Mecánica de materiales Torsión

• Para conocer en todo punto el esfuerzo ?, será
  preciso medir la máxima pendiente dz/dn, por ser
  ésta normal a la referida curva de nivel

75
Mecánica de materiales Torsión

• El momento torsor se expresa como

76
Mecánica de materiales Torsión

• Observando la integral se comprueba que la
  ecuación de enlace entre T y ? puede expresarse
  en función del volumen (V), limitado por la
  membrana y el plano de contorno.

Rigidez de torsión
77
Mecánica de materiales Torsión

• Los esfuerzos en función del volumen serían

78
Mecánica de materiales Torsión

• En resumen tendríamos

79
Secciones tubulares de pared gruesa cerrados
Mecánica de materiales Torsión

• Sección circular.
• Sección elíptica.

80
Barra recta cilíndrica de sección anular
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
gruesa, se debe cumplir que ro/ t lt 10
81
Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro
Mecánica de materiales Torsión
82
Secciones tubulares de pared gruesa cerrados
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared gruesa
se debe cumplir que am / t lt 10
83
Diámetro anular
Mecánica de materiales Torsión
Como K ao/a y K bo/b entonces
84
Componentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales Torsión
85
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
86
Secciones tubulares cerradas de pared delgada
Mecánica de materiales Torsión

• Sección rectangular.
• Sección elíptica.
• Sección circular.

87
Ecuaciones de Bredt
Mecánica de materiales Torsión
Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante la
analogía de la membrana, y es a partir de estas
que se calcula el esfuerzo de corte máximo para
las siguientes secciones tubulares de pared
delgada.
88
Sección rectangular
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada se debe cumplir que d2 / t 0
89
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
90
Sección Elíptica
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada se debe cumplir que a / t 10
91
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
92
Sección Circular
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada, se debe cumplir ro / t 10
93
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y
rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
94
Productos tubulares de pared delgada abiertos
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada se debe cumplir que ro / t 10
95
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
96
Sección Elíptica
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada se debe cumplir que a / t 10
97
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
98
Sección rectangular
Mecánica de materiales Torsión
Para verificar que la sección sea de pared
delgada se debe cumplir que d2 / t 0
99
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
100
Secciones de perfiles laminados
Mecánica de materiales Torsión

• Sección en L.
• Sección en T.
• Sección en U.
• Sección en I.

101
Perfil laminado en L
Mecánica de materiales Torsión
102
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
103
Perfil laminado en T
Mecánica de materiales Torsión
104
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
105
Perfil laminado en U
Mecánica de materiales Torsión
106
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
107
Perfil laminado en I
Mecánica de materiales Torsión
108
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario
y rigidez de torsión
Mecánica de materiales Torsión
109
Secciones con dependencia triple o múltiple
Mecánica de materiales Torsión

• Las secciones transversales que tengan
  dependencia triple o múltiple pueden
  descomponerse en forma doblemente conexas, que se
  denominan células es posible asignar a cada
  célula un flujo tangencial constante fi,
  manteniendo para todas la células el mismo
  sentido de circulación (correspondiente al giro
  positivo alrededor del eje z). Llamando Ai el
  área encerrada por la línea media de la pared de
  la célula i. La participación de la célula i en
  el momento torsor T será igual a 2Aifi

110
Mecánica de materiales Torsión
Secciones con dependencia triple o múltiple
111
Células descompuestas
Mecánica de materiales Torsión
112
Mecánica de materiales Torsión

• El momento torsor total transmitido por la barra
  sería

El flujo tangencial que actúa en cada pared
intermedia está formada por dos partes, que
corresponden a las células situadas a ambos
lados. Como consecuencia de la igualdad de
sentido de circulación en todas las células, cada
pared intermedia absorbe la diferencia de los
flujos tangenciales de las células adyacentes
113
Mecánica de materiales Torsión

• En las paredes que rodean a la célula i actúan
  los flujos fij en el sentido de circulación de la
  célula i, entonces se va a introducir la
  siguiente notación para cada una de las
  integrales de la ecuación del ángulo de giro

114
Mecánica de materiales Torsión

• Entonces tendríamos las siguientes ecuaciones

115
Mecánica de materiales Torsión

• El ángulo de giro quedaría expresado como