Realizacija digitalnih filtara

1
Realizacija digitalnih filtara

• FIR i IIR filtri

2
FIR

• Direktna realizacija
• Realizacije sa smanjenim brojem množaca
• Kaskadna realizacija

3
FIR direktna realizacija
4
FIR direktna realizacijatransponovana
5
FIR direktna realizacijatransponovana
6
FIR - realizacije sa smanjenim brojem množaca
TIP 1
Tip 1. Red filtra je paran broj, odnosno dužina
impulsnog odziva je neparna. Impulsni odziv je
simetrican oko srednjeg clana.
7
FIR - realizacije sa smanjenim brojem množaca
TIP 2
Tip 2. Red filtra je neparan broj, odnosno dužina
impulsnog odziva je parna. Impulsni odziv je
simetrican, pri cemu ne postoji srednji clan.
8
FIR - realizacije sa smanjenim brojem množaca
TIP 3
Tip 3. Red filtra je paran broj, odnosno dužina
impulsnog odziva je neparna. Impulsni odziv je
antisimetrican oko srednjeg clana.
9
FIR - realizacije sa smanjenim brojem množaca
TIP 4
Tip 4. Red filtra je neparan broj, odnosno dužina
impulsnog odziva je parna. Impulsni odziv je
antisimetrican, pri cemu ne postoji srednji clan.
10
FIR kaskadna realizacija
Tipicno, kaskadna realizacija FIR filtra se
dobija kada se funkcija prenosa napiše kao
proizvod sekcija drugog reda. gde su b1i i
b2i koeficijenti i-te sekcije FIR filtra, - broj
sekcija drugog reda. Ako je red filtra N neparan
jedna od sekcija je prvog reda i odgovarajuci
koeficijent b2 je 0.
11
FIR kaskadna realizacija
U opštem slucaju, kaskadna realizacija može da se
sastoji od potrebnog broja sekcija IV reda,
potrebnog broja sekcija II reda (za nule koje su
na jedinicnom krugu) i potrebnog broja sekcija I
reda (za realne nule).
12
FIR filtri realizacije - primer
13
FIR filtri primer

• red filtra, N24,
• granica propusnog opsega (normalizovana s fr.
  odabiranja) fg0.15,
• Hamming-ova prozorska funkcija.

14
FIR filtri primer

• red filtra, N24,
• granica propusnog opsega (normalizovana s fr.
  odabiranja) fg0.15,
• Hamming-ova prozorska funkcija.

15
FIR filtri primerimpulsni odziv
bez kvantizacije dir. implementacija, 12 bita
sekcije II reda, 12 bita sekcije IV reda, 12 bita
16
IIR

• Direktna realizacija
• Kaskadna realizacija
• Paralelna realizacija

17
IIR direktna realizacija
Direktna strukturna forma I
18
IIR direktna realizacija
Transponovanje - medukorak
Direktna transponovana strukturna forma It
19
IIR direktna realizacija
Direktna strukturna forma I
Zamenjen red filtarskih sekcija
20
IIR direktna kanonicna struktura
Može se redukovati broj celija za kašnjenje
Direktna kanonicna struktura (direktna forma II)
21
IIR direktna kanonicna struktura
Transponovanje - medukorak
Direktna strukturna forma IIt
22
IIR - kaskadna veza
Kaskadna realizacija se dobija tako što se
funkcija prenosa predstavi kao proizvod funkcija
prenosa nižeg reda, tipicno prvog i drugog. Prvi
bitan korak pri realizaciji kaskadne strukture
IIR filtra preko sekcija nižeg reda je grupisanje
nula i polova. Funkcija prenosa tipicno ima
konjugovano-kompleksne i realne nule i polove.
Konjugovano kompleksne nule i polovi se grupišu u
sekcije drugog reda a realne nule i polovi mogu
da se grupišu u sekcije drugog reda ili da se
realizuju kao sekcije prvog reda.
23
IIR - kaskadna veza
Po pravilu, polovi koji su bliži jedinicnom krugu
imaju veci uticaj na izgled funkcije prenosa.
Kada se formiraju sekcije drugog reda treba
voditi racuna da se ovi polovi "upare" sa njima
najbližim nulama. U protivnom, dobila bi se
funkcija prenosa drugog reda sa velikim
premašenjem na frekvencijama odredenim parom
polova. Takva sekcija drugog reda je nepoželjna
jer na njenom izlazu može doci do prekoracenja
opsega. Dakle, formiranje sekcija drugog reda
pocinje od para konjugovano kompleksnih polova
koji su najbliži jedinicnim krugu. Oni se
"grupišu" sa parom nula koji im je najbliži. Onda
se sledeci par polova grupiše sa njima najbližim
nulama i tako redom
24
IIR - kaskadna veza
25
IIR - paralelna veza
Paralelna realizacija podrazumeva paralelnu vezu
sekcija drugog reda. Za razliku od kaskadne
realizacije, na ulaz svih sekcija se dovodi isti,
ulazni signal, pa raspored sekcija nema uticaja.
26
Efekti konacne dužine reci

• kvantizacija ulaznog signala
• kvantizacija koeficijenata
• kvantizacija rezultata množenja
• prekoracenje kod sabiranja
• granicni ciklusi

27
Efekti konacne dužine reci

• Kvantizacija koeficijenata
• Ovaj problem može manje ili više da utice na
  krajnji rezultat.
• Izbor nacina implementacije može da ublaži
  negativne efekte kvantizacije.
• Tipican primer je implementacija IIR filtriranja
  koja, u slucaju ne adekvatne implementacije, može
  rezultovati nestabilnim filtrom, odnosno potpuno
  pogrešnim izlaznim rezultatima.

28
Efekti konacne dužine reci

• Kvantizacija rezultata množenja
• Kada su oba operanda na ulazu u množac
  predstavljena s nekom konacnom dužinom reci,
  rezultat množenja bice dvostruko duži.
• Da bi se dobijeni rezultat upisao u memoriju vrši
  se njegova kvantizacija na podržanu dužinu.
• Da bi se uticaj kvantizacije proizvoda
  minimizovao poželjno je birati one varijante za
  implementaciju nekog algoritma koje do maksimuma
  koriste naredbe tipa "množenje i akumuliranje"
  smanjuje broj tacaka u kojima se vrši
  kvantizacija proizvoda.
• Tipican primer je implementacija FIR filtra gde
  je sa stanovišta minimizovanja greške usled
  kvantizacije proizvoda najpovoljnija direktna
  implementacija jer se tako vrši samo kvantizacija
  krajnjeg rezultata, dok su strukture koje koriste
  simetriju koeficijenata nepovoljnije jer se
  kvantizuju i pojedini medurezultati.

29
Efekti konacne dužine reci

• Prekoracenje kod sabiranja
• S obzirom na osobine procesora sa aritmetikom
  fiksne tacke, moguce prekoracenje prilikom
  aritmetickih operacija je jedan od dominantnih
  problema o kome treba voditi racuna prilikom
  izbora nacina implementacije neke digitalne
  obrade. Procesor ADSP-2181 za svaku od
  aritmetickih jedinica ima odreden broj flag-ova
  koji postavlja, izmedu ostalog, i u slucaju
  prekoracenja. Na taj nacin je programeru
  omoguceno da u slucaju detekcije prekoracenja
  reaguje na odgovarajuci nacin. Najjednostavnije
  je, po detekciji prekoracenja, zaokružiti
  rezultat, u zavisnosti od znaka, na minimalnu ili
  maksimalnu vrednost. Kod procesora sa aritmetikom
  pokretne tacke, problem prekoracenja je daleko
  manje izražen.

30
Efekti konacne dužine reci

• Granicni ciklusi
• Granicni ciklusi predstavljaju pojavu da na
  izlazu IIR filtra postoji signal iako je ulazni
  signal ukinut (zapravo, izlazni signal NE
  konvergira ka nuli iako je sistem stabilan).
• Granicni ciklusi mogu poticati od kvantizacije
  rezultata množenja ili od prekoracenja kod
  sabiranja.
• Suština je u tome što se, po ukidanju ulaznog
  signala, izlazni signal smanjuje.
• Teorijski izlazni signal asimptotski teži nuli,
  ali zbog konacne rezolucije sistema s aritmetikom
  fiksne tacke nije moguce predstaviti proizvoljno
  mali broj.

31
Efekti konacne dužine reci

• Granicni ciklusi
• Rezultat se zaokružuje i ta vrednost se, zbog
  povratne petlje IIR filtra ponovo pojavljuje na
  ulazu.
• Analiza ovog fenomena nije jednostavna, jer se
  IIR filtri najcešce implementiraju kako kaskadna
  veza sekcija drugog reda, pa se greška prostire
  kroz sistem i konacan rezultat zavisi, izmedu
  ostalog, i od rasporeda sekcija.
• U slucaju granicnog ciklusa koji potice od
  prekoracenja kod sabiranja, može doci do
  drasticnog slucaja kada izlaz osciluje izmedu
  minimalne i maksimalne vrednosti koja može da se
  predstavi u datom formatu. Negativni efekti
  granicnih ciklusa nastalih na ovaj nacin mogu se
  ograniciti tako što se minimizuju efekti
  prekoracenja kod sabiranja.

32
Efekti konacne dužine reci

• Granicni ciklusi

33
Efekti konacne dužine reci

• Granicni ciklusi

x(0)xq(0)0.875, y(0)0.875, yq(0)0.875 x(1)xq
(1)0, y(1)0.4375, yq(1)0.500 x(2)
xq(2)0, y(2)0.21875, yq(2)0.250 x(3)
xq(3)0, y(3)0.109375, yq(3)0.125 x(4)
xq(4)0, y(4)0.0546875, yq(4)0.125 x(5)
xq(5)0, y(5)0.02734375, yq(5)0.125
34
Osetljivost
Promena karakteristike filtra usled kvantizacije
koeficijenata, gde je K(?) posmatrana
karakteristika, a pl, l1,...,L parametri koji
uticu na karakteristiku. Parcijalni izvodi u
izrazu, predstavljaju osetljivosti karakteristike
K(?) u odnosu na parametre pl.
35
Osetljivost
36
Osetljivost
37
Osetljivost
38
IIR filtri - primer
Posmatrani su Batervortov (Butterworth) filtar,
Cebiševljev filtar I i II vrste i elipticki
filtar 4. reda

• granica prop. opsega fP0.055,
• granica neprop. opsega fS0.2,
• max talasanje u prop. opsegu RP0.5 dB,
• min. slabljenje u neprop. opsegu RS40 dB.

39
IIR filtri primerdirektna realizacija(1)

• Teorijski najnepovoljnija,
• Velika osetljivost, narocito za elipticki i
  Cebiševljev filtar I vrste

40
IIR filtri primerdirektna realizacija(2)
41
IIR filtri primerdirektna realizacija(3)
42
IIR filtri primerkaskadna veza sekcija II
reda(1)

• Znatno manja osetljivost

43
IIR filtri primer kaskadna veza sekcija II
reda(2)
44
IIR filtri primer kaskadna veza sekcija II
reda(3)
45
IIR filtri primerkaskadna veza sekcija II
reda(1)
46
IIR filtri primer paralelna veza sekcija II
reda(1)
47
IIR filtri primer paralelna veza sekcija II
reda(2)
48
Zadatak br. 1

• (a) Projektovati FIR filtar propusnik opsega
  dužine N21 sa granicnim frekvencijama ?p10.32?
  i ?p20.55?. Filtar projektovati primenom
  Hamingovog prozora. Nacrtati amplitudsku i faznu
  karakteristiku ovog filtra koristeci funkciju
  freqz.
• (b) Napisati MATLAB program za implementaciju
  ovog filtra na osnovu kaskadne realizacione
  strukture.
• (c) Proveriti realizacionu strukturu iz tacke (b)
  koristeci odziv sistema na jedinicni impuls. Za
  ulazni signal ?x(n)? uzeti,

49
Zadatak br. 2

• (a) Projektovati Cebiševljev IIR filtar propusnik
  opsega 6. reda sa granicnim frekvencijama
  ?p10.32? i ?p20.55?, i varijacijom slabljenja u
  propusnom opsegu ap0.5 dB. Nacrtati amplitudsku
  i faznu karakteristiku ovog filtra.
• (b) Napisati MATLAB program za implementaciju
  ovog filtra u kaskadnoj strukturi koristeci
  prog11_5 za implementaciju sekcije drugog reda.
• (c) Proveriti realizacionu strukturu iz tacke (b)
  na osnovu odziva sistema na jedinicni impuls.
  Koristiti postupak iz zadatka br.1, tacka (c).

50
Zadatak br. 3

• (a) Za IIR filtar projektovan u zadatku br.2
  napisati MATLAB program za implementaciju u
  paralelnoj strukturi koristeci prog11_5 za
  implementaciju sekcije drugog reda.
• (b) Proveriti realizacionu strukturu iz tacke
  2.(b) na osnovu odziva sistema na jedinicni
  impuls. Koristiti postupak iz zadatka br.1, tacka
  (c).

51
Zadatak br. 5

• Analizirati efekte konacne dužine reci na
  karakteristiku slabljenja IIR filtra
  projektovanog u zadatku br.2, tacka (a).
• (a) Analiza kaskadne realizacione strukture.
  Konstante filtra izracunate u zadatku br.2, tacka
  (b), predstaviti sa dužinom reci od 10 bita.
  Primeniti zaokružavanje. Izracunati
  karakteristiku slabljenja filtra i uporediti sa
  karakteristikom koja se dobija sa tacnim
  vrednostima konstanti.
• (b) Analiza paralelne realizacione strukture.
  Postupak iz prethodne tacke ponoviti i za
  paralelnu realizacionu strukturu.
• (c) Postupak iz tacaka (a) i (b) ponoviti za
  dužine reci od 8 i 12 bita.