Georg Cantor i jego zbi

1
Georg Cantor i jego zbiór

• Made by Arkadiusz Gnat ?

2
Georg Cantor WIELKIM Matematykiem byl!!!

• Zyl na przelomie XIX-XX w. Syn Dunczyka i
  katolickiej Zydówki. Niemiecki uczony urodzony w
  ZSRR który wprowadzil Hebrajski znak ? .
• Twórca teorii mnogosci. Prekursor Topologii.
  Otworzyl droge rozwojowi logiki matematycznej i
  filozoficznych podstaw matematyki.
• Badania nad nieskonczonoscia w matematyce
  doprowadzily go do utozsamienia Boga z absolutna
  nieskonczonoscia (i smierci w szpitalu dla
  psychicznie chorych -) )

3
Zbiór Cantora

• W roku 1883 Georg Cantor zaproponowal prosta
  konstrukcje, w wyniku której otrzymuje sie zbiór
  nazwany jego imieniem.

4
Konstrukcja Zbioru Cantora

• Zbiór Cantora tworzymy poslugujac sie odcinkiem
  AB dlugosci 1,
• czyli zbiorem liczb rzeczywistych z przedzialu
  0,1.

A
B
1
0
5
Odcinek dlugosci jeden dzielimy na 3 równe czesci.
Srodkowa czesc podzielonego odcinka usuwamy, co
daje nam dwa odcinki dlugosci 1/3AB.
6
Podobnie postepujemy z pozostalymi dwoma
odcinkami, dzielac je na 3 równe czesci i
usuwajac srodkowa czesc.
7
Powtarzajac kroki od 1 do 3 k-razy, otrzymamy
2k-1 odcinków o dlugosci 1/3k
8
W mierze Lesbeguea ?(C)0
()
9
Jezeli
to
Tak utworzony zbiór Cantora ma miare zero.
c. k. d.
10
C zwarty w p. Euklidesowej
A - zwarty ? A domkniety i A - ograniczony

• C - domkniety, bo C0,1\A gdzie
• 0,1 - domkniety
• A otwarty jako suma nieskonczona zbiorów
  otwartych
• b)  C - ograniczony, bo

11
System trójkowy
Sposób zapisu liczb w systemie trójkowych
przedstawia ponizszy diagram
12
C - nieprzeliczalny
Pokazemy, ze C 0,1
1) Zbiór Cantora to zbiór takich x
2) Przedzial 0,1 to zbiór takich x
13
Zapisujac liczby z 0,1 w systemie trójkowym i
wyrzucajac z tych liczb te które maja jedynke
na kolejnych miejscach po kropce otrzymujemy
zbiór Cantora, który ma tyle samo elementów co
caly odcinek 0,1. Zeby to zobaczyc, dla
kazdego elementu ze zbioru Cantora bierzemy jego
rozwiniecie trójkowe, zastepujac kazda dwójke
przez jedynke i tak powstale rozwiniecie
interpretujemy jako rozwiniecie dwójkowe. W ten
sposób otrzymujemy kazdy element 01.
14
Wymiar samopodobienstwa
Jesli przedmiot w calej wielkosci zawiera N
samopodobnych kopii siebie wielkosci s, to jego
wymiar samopodobienstwa wyrazony jest przez
równanie Co mozna przeksztalcic do
postaci   i dla Zbioru Cantora wynosi 0,630929
15
FRAKTALE
Fraktal jest figura geometryczna o zlozonej
strukturze, nie bedaca krzywa, powierzchnia ani
bryla w rozumieniu klasycznej matematyki
charakteryzuje ja ulamkowy wymiar (stad nazwa
fraktal - ang. 'fraction' ulamek). Zbiory
samopodobne z ulamkowym wymiarem samopodobienstwa
sa fraktalami (choc nie kazdy fraktal musi miec
ulamkowy wymiar samopodobienstwa, a i
samopodobienstwo nie musi byc tak dokladne).
Tak wiec zbiór Cantora jest fraktalem - o czym
oczywiscie Georg Cantor nie wiedzial. To jeden z
najprostszych fraktali.
16
Benoit Mandelbrot

• Fraktale zostaly wprowadzone do matematyki w
  latach siedemdziesiatych XX wieku przez
  amerykanskiego matematyka i informatyka,
  polsko-zydowskiego pochodzenia Benoita
  Mandelbrota.

17
Dywan Sierpinskiego
W 1916 Waclaw Sierpinski rozszerzyl zbiór
Cantora na dwa. Ten fraktal nazywany jest
czesto Dywanem Sierpinskiego ?
18
Trójkat Sierpinskiego
Analogicznie mozna postapic z trójkatem, dzielac
go na 4 mniejsze.
19
Gabka Mengera
Trójwymiarowe uogólnienie dywanu Sierpinskiego
20
Na temat zbioru Cantora to juz niestety wszystko
? Na zakonczenie zapraszam jeszcze do
obejrzenia kilku zdjec fraktali, które wg mnie w
niesamowity sposób obrazuja piekno i MAGIE
wspanialego swiata Matematyki ?
Fraktalem jest wszystko...
Benoit Madelbrot
21
(No Transcript)
22
(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29
(No Transcript)