Modelos Estoc

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Modelos Estocásticos Ambientais
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• Por que estocástico ?
• Porque você não controla os fatores que provocam
  as variações nas taxas vitais
• Não é possível saber com certeza como esses
  fatores irão se comportar
• Por que Ambiental ?
• Porque esses fatores são extrínsecos à dinâmica
  populacional, isto é, originam-se no meio
  ambiente em que a população está inserida.

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• São duas as formas de modelar a variabilidade
  ambiental
• Via sorteio de valores aleatórios para as taxas
  vitais a partir de distribuições beta,
  respeitando a estrutura de correlação entre as
  taxas vitais (Morris Doak, 2001).
• É necessário atrelar essa estrutura de correlação
  a pelo menos uma variável ambiental relevante
  para que o modelo consiga representar a
  variabilidade ambiental adequadamente.

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• Aparentemente é possível também gerar
  variabilidade ambiental, via distribuições beta,
  sem considerar a estrutura de correlação entre as
  taxas dispensa a estimativa da estrutura de
  correlações
• permitiria a simulação de estocasticidade
  ambiental com dados de 1 único período.
  Entretanto,não se garante a correlação entre as
  taxas vitais e a variabilidade ambiental.

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• Via a manipulação dos estados ambientais x(t).
  Assume basicamente 3 modos
• Seqüências independente e identicamente
  distribuídas (IID)
• x(t), o estado do ambiente no tempo t, é
  sorteado aleatoriamente de uma distribuição
  uniforme.

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• Cadeia de Markov
• x(t1) depende de x(t) ? Assume-se que há
  correlação entre os estados ambientais
• Permite atribuir freqüências de ocorrência
  distintas aos diferentes estádios ambientais
• Também pode trabalhar como IID (sem correlação
  entre os estádios ambientais, com freqüências de
  ocorrências dos estádios ambientais distintas os
  idênticas)
• Também pode trabalhar como modelo determinístico
  periódico.

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• x(t1) Pt x(t)
• Onde Pt é uma matriz de transição
  coluna-estocástica, ou seja pij 0, ? i pij 1
  para todo j).
• Pt controla a estrutura de correlações e as
  freqüências de ocorrência dos diferentes estádios
  ambientais.

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• ? 0
• f(B) 0,1
• f(B) 0,5
• IID
• f(B) 0,9

9

• f(B) 0,5
• ? 0,9
• ? 0
• IID
• ? - 0,9

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• Seqüências auto-regressivas de médias móveis
  (ARMA em inglês)
• Usados em caso de estruturas mais complexas de
  correlação entre os estádios ambientais
• Trabalha bem com correlações de ordens
  superiores.

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• Incluindo a variabilidade ambiental no modelo
  matricial via a manipulação dos estádios
  ambientais
• Assume-se que a variabilidade ambiental está
  expressa na variação que as taxas de transição
  aij mostram a cada período. Em outras palavras,
  cada matriz At representa um estádio ambiental,
  ou seja, At x(t).
• Inclui estocasticidade demográfica

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• Como fazer
• Gerar a seqüência de estádios ambientais
• Projetar a população, selecionando as matrizes At
  de acordo com a seqüência ambiental obtida.

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• n(t1) At At-1 ... A0 n(0)
• n(t1) At n(t)
• onde At (t 1,...,n) é o estádo ambiental no
  tempo t.
• No modo IID
• At é sorteada do conjunto de estados ambientais
  A1 ... An através de uma distribuição uniforme.
• No modo Markoviano
• At Pt-1 At-1

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• Autovetores para ambientes markovianos
• Para t ? 8, tanto a estrutura populacional (ep)
  como o valor reprodutivo (vr) tendem a convergir
  para proporções fixas entre as classes, sem
  depender da estrutura inicial da população.
• ep(t1) At ep(t) / At ep(t)
• ep vetor estrutura populacional
• At ep(t) ?i epi(t)
• ep(0) 1

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• vr(t) vr(t1) At / vr(t1) At
• vr vetor valor reprodutivo transposto
• vr(t1) At ?i vri(t)

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• Crescimento populacional
• Destacam-se dois tipos de taxa de crescimento
  populacional sob modelos estocásticos ambientais
• Crescimento da média é utilizada eventualmente,
  mas é mais comum em trabalhos antigos.
• Média temporal da taxa de crescimento É tida
  como a medida mais adequada do crescimento
  populacional em modelos estocásticos ambientais.

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• Crescimento populacional
• Em modelos matriciais estocásticos ambientais a
  taxa média temporal é conhecida como log?s
  (stochastic growth rate), comumente abreviada
  simplesmente para ?s
• Para convertê-la em unidades equivalentes ao ?
  determinístico use e log?s

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Modelos Estocásticos Demográficos
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• A estocasticidade demográfica diz respeito a
  fatores intrínsecos à população (genética,
  fisiologia)
• É responsável pelas respostas diferenciadas que
  plantas de uma mesma classe possam dar em função
  da variabilidade ambiental
• São os fatores ditos demográficos estocásticos
  que geram a variabilidade nas taxas vitais quando
  os fatores ambientais mantêm-se constantes
• Para n ? 8, estocasticidade demográfica ? 0

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• Modelagem matricial
• Estudado via simulações
• Histórias de vida são sorteadas
• Transições ? distribuição multinomial
• Fecundidade ? distribuição de Poisson (comum
  para plantas), entre outras possibilidades

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• Entradas aij de A P(mortalidade)j são assumidas
  como as probabilidades da distribuição
  multinomial
• Oferece um risco de extinção (er) específico para
  a população projetada nas simulações, ou seja, er
  depende de n(0)

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Tabela de vida Matriz de probabilidades
50 0 0 0 0
30 80 3 0 0
0 5 11 1 0
0 0 6 6 2
0 0 0 2 8
20 6 3 1 2
100 91 23 10 11
0.50 0 0 0 4
0.30 0.88 0.13 0 0
0 0.05 0.48 0.10 0
0 0 0.26 0.60 0.18
0 0 0 0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
Matriz de probabilidades matriz de transição
A linha i k1 com as taxas de mortalidade
pata cada j
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Vetor estrutura populacional matriz de
probabilidades
n1
n2
n3
n4
n5
0.50 0 0 0 4
0.30 0.88 0.13 0 0
0 0.05 0.48 0.10 0
0 0 0.26 0.60 0.18
0 0 0 0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
A coluna j da matriz de probabilidades
corresponde às probabilidades de transição e
morte dos indivíduos da classe i do vetor
estrutura populacional, sendo i j
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• Processo de ramificação (Branching process)

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• Reprodução
• N 0,
• N 1 ou
• N 2
• P(N 0) p0
• P(N 1) p1
• P(N 2) p2
• N 0 é definitivo
• (Caswell 2001)

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• Modelagem por ramificação (Branching Process)
• Apoiado nas propriedades assintóticas da matriz
  A, oferece estimativas assintóticas de risco de
  extinção associado à matriz (q8) e independente
  de n(0)
• q converge para valores constantes q8 quando t ?
  8
• Risco de extinção associado à população
• Q ?i qi(ni)
• Q P(extinção) da população
• qi P(extinção) da classe i
• ni número de indivíduos na classe i

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• Classificado em 3 tipos
• ? lt 1 processo subcrítico
• P(extinção) 1
• Dispensa análise
• ? 1 processo crítico
• P(extinção) 1
• Dispensa análise
• ? gt 1 processo supercrítico
• P(extinção) lt 1
• Análise determina P(extinção)