Apresenta

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Introdução a Teoria da Percolação          José
Garcia Vivas Miranda
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• Era uma vez...
• Definição
• Aplicações

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Percolação
Como tudo começou

• Surgiu da discussão entre Broadbent e Hammersley
  em 1957 sobre o problema do volume excludente da
  máscara de mineiros de carvão.
• Eles propuseram um modelo probabilístico de fluxo
  de um fluido com a aleatoriedade associada ao
  meio e não ao fluido.
• A teoria da percolação surge como um modelo
  alternativo aos modelos de fluxo de fluidos em
  que a aleatoriedade estava normalmente associada
  ao fluido.

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Percolação
Formas de representação de modelos de percolação

• Autômatos (originada na física)
• Teoria dos grafos (Originada na matemática).

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Percolação
Representação como autômatos
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Percolação
Representação como autômatos

• Imaginemos uma rede grande o suficiente para que
  os efeitos de fronteira sejam negligenciáveis.
  (rede quadrada-square lattice)
• Uma certa fração da rede é preenchida com
  bolinhas.
• Sitios vizinhos são agrupados em clusters.
• A teoria da percolação é o estudo da formação
  destes clusters.

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Percolação
Representação como autômatos

• As regras podem ser qualquer
• As bolinhas tendem a unir-se
• Ou tendem a separar-se
• Ou são aleatoriamente colocadas.
• Considerando o modelo mais simples (aleatório)
  podemos definir a probabilidade de ocupação P.

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Percolação
Representação como autômatos

• Para diferentes Ps teremos diferentes tamanhos de
  clusters

• Dizemos que o sistema percolou quando existe um
  cluster que toca as fronteiras da rede.
  Analogamente a quando o café ultrapassa o filtro.

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Percolação

• Probabilidade crítica de percolação lateral.
• Como calcular, numericamente esta probabilidade?
• Exemplo para n2 e p1/4 em uma rede regular
  quad.
• ps0
• Exemplo para n2 e p1/2
• ps4/62/3

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2 possib. Percola
2 possib. Não percola
2 possib. Percola
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Percolação
Transição de percolação

• No modelo anterior podemos fazer o gráfico de ps
  vs.p

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Percolação
Limiar de percolação

• Contudo Ps depende, não apenas de p mais também
  do tamanho do sistema.

p0.6
p0.55

• Eixo x quando 4/L 0 o tamanho do sistema é L
  8 e quando 4/L 1 o tamanho do sistema é L 4

• Por extrapolação obtemos a

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Percolação
Limiar de percolação

• Para sistemas infinitos existe uma probabilidade
  ninja pc de forma que acima dela o sistema sempre
  percola e abaixo nunca.

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Percolação

• Probabilidade crítica de percolação lateral.
• Onde Sp(n) representa a probabilidade de conexão
  entre lados opostos de uma rede de tamanho n.

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Percolação
Percolação e fractais

• Vimos que no limite de um sistema infinito, pc é
  um número mágico. Precisamente para este valor,
  ocorre uma transição de fase e o sistema exibe um
  agregado gigante, isto é, o agregado principal
  estende-se pela primeira vez a toda a escala do
  sistema.
• Para pc o sistema exibe invariância de escala.

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Percolação
Uma aplicação Fogo em floresta
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Percolação
Representação como grafos

• Nesta representação o meio e definido como um
  grafo G, usualmente infinito e regular.
• O fluxo do fluido e determinado como uma rede
  aleatória de nós e arestas no grafo.
• Existem dois modelos padrões
• bond percolation model cada aresta é
  ocupada com uma probabilidade P independente das
  demais arestas.
• site percolation model cada vértice é ocupado
  com uma probabilidade P independente. Uma aresta
  é ocupada apenas quando os seus vértices
  adjacentes são.

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Percolação
Representação como grafos

• Da mesma forma que na representação anterior o
  objetivo é encontrar a dependência das
  propriedades topológicas do grafo em relação ao
  parâmetro P.
• Para Ps pequeno o fluxo será local, para Ps
  grandes (1) o fluxo cruzará toda a rede.