DONNEES CENTREES et NORMALITE

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DONNEES CENTREESet NORMALITE
UE 45.2 CHIII

• Pierre MORETTO,
• Université Paul Sabatier, Toulouse III.

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Données centrées et normalité

• Indices centraux
• Dispersion
• Loi Normale (Equiprobabilité)
• Variables centrées réduites
• Normalité dune distribution
• Détermination graphique
• Détermination / indices
• Test du ?²

• Les étapes

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Indices centraux et de dispersion

• Mode, Médiane, Moyenne
• Quartile, variance et écart-type

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Indices centraux et de dispersion

• Centraux

• Mode valeur la plus représentée
• Médiane valeur correspondant à un effectif
  cumulé de 50
• Moyenne

Effectif ( verre ? plein )
Centre de classe ( Position du verre sur le
plateau )
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Indices centraux et de dispersion
Equilibre du plateau
Mode
Médiane
Moyenne
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Indices centraux et de dispersion
Mode
Médiane
Moyenne
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Indices centraux et de dispersion

• Dispersion

• Intervalle interquartile
• Ecart-type

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Indices centraux et de dispersion
50 de la population sur IQ 68.25 de la
population sur ? 1 ?
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Loi Normale

• Equiprobabilité

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Equiprobabilité

• Modèle mathématique
• Equiprobabilité Pr(A)Pr(B)
• Un exemple Somme sur jets de 2 dés
• Considérer la probabilité que la somme des 2 dés
  fasse 0, 1, 2, jusquà 14
• Cad un de chance .. Une fréquence probable
• Tracer le diagramme en fréquence de ces lancers
  de dés.
• Rappel Pr(A et B) Pr(A) x Pr(A/B)

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Equiprobabilité

• Sur somme de 2 dés Pr(A et B) Pr(A) x Pr(A/B)
• Pr(0)0
• Pr(1)0
• Pr(2)Pr(1et1)Pr(1) x Pr(1/1)2/6 x 1/62/36
• Pr(3)Pr(1et2)2/36
• Pr(4)Pr(1et3)Pr(2et2)2/362/364/36
• Pr(5)Pr(1et4)Pr(2et3) 2/362/364/36
• Pr(6)Pr(1et5)Pr(2et4)Pr(3et3)1/6
• Pr(7)Pr(1et6)Pr(2et5)Pr(3et4)1/6

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Equiprobabilité

• Sur somme de 2 dés Pr(A et B) Pr(A) x Pr(A/B)
• Pr(8) Pr(2et6)Pr(3et5)Pr(4et4)1/6
• Pr(9) Pr(3et6)Pr(4et5)4/36
• Pr(10)Pr(4et6 )Pr(5et5)4/36
• Pr(11)Pr(5et6)2/36
• Pr(12)Pr(6et6)2/36
• Pr(13)0
• Pr(14)0

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Graphiquement
Probabilités
Sommes possibles
 Courbe en cloche  Loi de Gauss
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Loi Normale (Laplace-Gauss)

• - Mode, Médiane et Moyenne sont confondus
• - Symétrie / indices centraux
• 1 ? 68.25 de la population
• 2 ? 95.50 de la population

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Loi de Gauss

• Cette courbe en cloche illustre très fréquemment
  les comportements humains (neurosciences,
  physiologie, biomécanique, sociologie etc.)

Parlebas Cyffers, (1992)
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Variables centrées réduites
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Variables Centrées Réduites

• VCR
• Intérêts

• Lécart centré réduit est défini pour pouvoir
  utiliser la Loi Normale
• Situer un individu / groupe et selon différentes
  variables
• Pouvoir donner le nombre dindividus dans un
  intervalle de performance

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Table de la loi normale

• Loi Normale
• VCR

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Table de la loi normale

• Variables normales centrées réduites

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Table de la Loi normale centrée réduite

• Lecture
• Valeur d? en additionnant colonne de gauche
  (dixième) et ligne du haut (centième)

Ex Soit z 0.5 une valeur de ? A lintersection
de 0.5 (première colonne) et 0 (1ère ligne) La
valeur est 0.1915 . Soit 19.15 de la
population entre 0 et z.
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Utilisation de lécart centré réduit

• Situation dun sujet / groupe selon différentes
  variables
• Dénombrement dans un intervalle donné

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Situation dun sujet / groupe selon différentes
variables
?
Performance centrée réduites du sujet
S1 Détente verticale Squat Saut en longueur
Profile des performances de lathlète
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Dénombrement dans un intervalle donné
Table des valeurs normales centrées réduites

• La taille dun groupe denfants suit une
  distribution normale.
• Indiquez la probabilité pour que

24
Correction
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Dénombrement dans un intervalle donné
Table des valeurs normales centrées réduites

• La taille dun groupe denfants suit une
  distribution normale.
• Indiquez la probabilité pour que

26
Correction
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Normalité dune distribution
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Normalité dune distribution

• Il sagit de comparer la distribution
  expérimentale à la loi normale.
• Si la distribution expérimentale est normale, les
  tests statistiques dits paramétriques peuvent
  être appliqués
• sinon transformation des données (log, racine
  etc)
• Sinon tests non paramétriques.

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Normalité dune distribution
Cette distribution peut-elle être assimilée à
celle de Gauss ?
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Normalité dune distribution

• Normalité dune distribution
• Détermination graphique
• Détermination / indices
• Test du ?²

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Normalité de la distribution

• Détermination graphique
• Test de la droite de Henry
• Principe
• Vérifier que le graphique des fréquences cumulées
  est linéaire après changement déchelle.
• La transformation est appelée  Anamorphose 

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Détermination graphique Anamorphose

• Diagramme fréquences cumulées

• Droite de Henry

Echelle danamorphose
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Détermination graphique Anamorphose

• Droite de Henry

• Calcul de la pente

• Si la distribution est normale à 2? correspond
  95.5 de la population.
• Intervalle entre 2.28 et 95.5 correspond à 4?.
• Pente(Q95-Q2.28)/ 4?
• PThéo(95.5-2.28)/40.23

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Normalité dune distribution

• Normalité dune distribution
• Détermination graphique
• Détermination / indices
• Test du ?²

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Normalité dune distribution /Indices

• Une distribution est normale si
• Les indices centraux sont confondus
• ModeMédianeMoyenne
• 68.25 de la population à 1 ?
• 95.5 de la population à 2 ?
• Si ces faits sont retrouvés à partir des données
  expérimentales alors, la distribution peut être
  considérée comme  Normale 

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Normalité dune distribution

• Normalité dune distribution
• Détermination graphique
• Détermination / indices
• Test du ?²

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Test du ?²

• Le test du ?² permet de comparer 2 distributions.
• Si il est appliqué à la comparaison de la
  distribution de la donnée expérimentale et dune
  distribution normale (au sens Gaussien), il
  permet de vérifier très précisément la normalité
  de la distribution expérimentale.

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Test du ?²

• Principe

• Comparer 2 fréquences
• Expérimentale (rouge)
• Normale (Bleu)
• Quantifier la somme des différences/classes
• Règle de décision / valeur théorique

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Test du ?²

• Quantifier la différence

• Calculer lécart centré réduit pour chaque centre
  de classe Xi
• Trouver la probabilité associée dans la table de
  la Loi Normale Centrée Réduite

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Test du ?²

• Quantifier la différence

• Calculer lécart centré réduit pour chaque centre
  de classe Xi
• Trouver la probabilité associée dans la table de
  la Loi Normale Centrée Réduite

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Test du ?²

• Quantifier la différence

• Pour chaque classe, ? une fth et une fobs(ni/N)
• Calculer la différence de ces fréquences pour
  chaque classe

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Test du ?²

• Calcul de lindice

Carré des différences Rapportée à
Fth Somme  Surface entre les 2 courbes 
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Test du ?²

• Règle de décision

• Une table des valeurs de ?²
• La valeur est lue pour un Degrès De Liberté
  (ddlN-1)
• A un risque choisi (10, 5, 1)

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Test du ?²

• Règle de décision

Si ?²Calculégt ?²Théorique au risque choisi les
distributions diffèrent significativement. Sinon
elles sont statistiquement semblables.
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Test du ?²

• Exemple

• Table du ?²

• Le ?² calculé sur un échantillon de 19 sujets est
  de 32.5.
• La distribution est-elle normale au risque 5 ?
• La distribution est-elle normale au risque 1 ?

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Test du ?²

• Correction

• Table du ?²

• Le ?²théorique à P0.05 pour un ddl18 est de
  28.87

• 32.5 gt 28.87 donc ?²calculé gt?²théorique
• Les distributions observée (expérimentale) et
  théorique (Loi Normale) sont semblables à Plt0.05
• La distribution est normale au risque Plt5

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Test du ?²

• Correction

• Table du ?²

• Le ?²théorique à P0.01 pour un ddl18 est de
  34.80

• 32.5 lt 34.8 donc ?²calculé lt?²théorique
• Les distributions observée (expérimentale) et
  théorique (Loi Normale) sont différentes à Plt0.01
• La distribution nest pas normale au risque Plt1
• Risque inférieur entraîne une décision plus sévère

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Comparaison déchantillons paramétriques
UE 45.2 CHIV

• Pierre MORETTO,
• Université Paul Sabatier, Toulouse III.

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Comparaison déchantillons

• Règles de décisions et orientations
• Les distributions des échantillons A et B
  sont-elles normales (Gaussiennes) ?
• Si OUI, tests paramétriques
• Si NON,
• Transformation (racine, log ..) et retour à
• Tests Non paramétriques (Ch V)

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Comparaison déchantillons paramétriques

• Méthodologie générale Distributions
  normales

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Comparaison déchantillons paramétriques

• Comparaison des variances des échantillons de
  distributions normales A (?²A) et B (?²B)

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Comparaison des variances

• Echantillon A

• Echantillon B

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Comparaison des variances

• Le test est appelé  Test F de Fisher-Snedecor 
• Il est basé sur le rapport (F) des variances des
  échantillons A et B
• Donc
• si les variances sont semblables le rapport F est
  proche de 1
• si les variances diffèrent le rapport F séloigne
  de 1
• Dans les 2 cas lobjectivité impose de savoir
  de combien et à quel risque ?

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Histogramme
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Le diagramme cumulatif
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Détermination Graphiques

• Ces graphiques permettent de déterminer
• Des indices centraux
• Mode et médiane
• Des indices de dispersion
• Quartiles
• Intervalle interquartile

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Détermination du mode Histogramme

• - Repérer le plus grand effectif
• - Le mode est la performance (61.5 cm) la plus
  représentée (33)
• (cad pour laquelle la fréquence est la plus
  importante)

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Détermination de la médiane Fréq cumulées

• - Repérer 50 sur leffectif cumulé (ordonnées)
• - Projeter sur laxe des performances
• - La médiane est la performance (57.5 cm) qui
  coupe leffectif en deux parties égales (cad 50
  font plus mais 50 font moins de 57.5 cm de
  détente verticale)

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Lintervalle et lhétérogénéité
Dans les 2 cas 50 de la population sont
distribués sur IQ
IQ1
IQ2
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Les indices de dispersion

• Lécart-type
• À partir de lensemble des valeurs (Nlt30)
• A partir de données regroupées (Ngt30)

A certaines conditions (de normalité), 68.5 de
la population sont distribués sur une étendue de
?1?
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Distribution et hétérogénéité
68.5 de la population distribués sur ? 1
lécart-type autour de la moyenne
? 1 ?
- 1 ?