CHAPITRE 5

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CHAPITRE 5
Analyse des systèmes linéaires types
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Analyse des systèmes linéaires types

• Ordre dun système
• Un système est dit du nième ordre si léquation
  différentielle qui régit ses paramètres est de
  degré n.
• Nous allons étudier en détail les systèmes du
  premier et du second ordre.
• Tout système complexe peut être décomposé en
  plusieurs  petits  systèmes.

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Analyse des systèmes linéaires types

• Système du premier ordre
• Un four est modélisé de la manière suivante

• p puissance fournie pour le four
• température
• C capacité calorifique du four
• k coefficient de perte de chaleur par
  rayonnement

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Analyse des systèmes linéaires types

• Système du premier ordre
• Bilan énergétique
• C dq P dt k q dt
• Doù

SYSTEME DU PREMIER ORDRE
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Analyse des systèmes linéaires types

• Système du premier ordre
• Un système du premier ordre sécrit de la façon
  suivante

Avec K gain statique T constante de
temps (en s)
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponses temporelles des systèmes du 1er ordre
• Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle)
  
• En entrée, nous appliquons un dirac E(p) 1

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à une impulsion (réponse impulsionnelle)
  

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle)
• En entrée, nous appliquons un échelon E(p) 1
  / p

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle)

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle)
• Aucun point dinflexion pour la réponse
• Pas doscillations ( s(t) gt 0 )
• Lerreur statique est finie et nulle si K 1
  avec e(t) 1 en entrée.
• Temps de montée
• Le temps de montée est entre 10 et 90 de la
  valeur maximale.

tm t2 t1 2.2 T
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à une rampe
• En entrée, nous appliquons une rampe E(p) 1 /
  p²

• Tangente horizontale en t0

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à une rampe
• Calcul de lerreur de traînage (différence entre
  la sortie et lentrée)

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à une rampe

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre
  

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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Nyquist

Le lieu de Nyquist dun premier ordre est un
demi-cercle
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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Bode
• Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons
  utiliser le diagramme asymptotique avec wo 1/t,
  la pulsation naturelle ou pulsation propre.

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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Bode

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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Black

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Analyse des systèmes linéaires types

• Système du deuxième ordre
• Un système est dit du second ordre sil est régi
  par une équation différentielle

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Analyse des systèmes linéaires types

• Système du deuxième ordre

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponses temporelles des systèmes du second ordre
  
• On appelle POLES les racines du dénominateur
• On appelle ZEROS les racines du numérateur
• On recherche la valeur des pôles de H(p) afin
  décrire s(t)

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Analyse des systèmes linéaires types

• On obtient alors
• Le signe des racines dépend donc de z² - 1
• z gt 1
• nous avons deux pôles réels p1 et p2
• à partir de cette écriture, nous pouvons
  facilement écrire la fonction sous la forme
• doù

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Analyse des systèmes linéaires types
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle ) E(p)
  1/p
• Si z gt 1
• On a

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle )
• Si z gt 1
• En étudiant s(t), nous obtenons

En calculant la dérivée, nous avons s(t) 0
uniquement pour t0.
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Analyse des systèmes linéaires types
Nous obtenons bien une réponse apériodique
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle )
• Si z 1

Nous avons
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Analyse des systèmes linéaires types
Nous obtenons une réponse apériodique critique
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle )
• Si z lt 1

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Analyse des systèmes linéaires types

• Si z lt 1
• La réponse indicielle est la superposition dun
  régime forcé (K) et dun régime transitoire
  oscillatoire amortie. La pulsation des
  oscillations se déduit des calculs précédent

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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponse à un échelon (réponse indicielle )
• Si z lt 1
• En recherchant des expressions approximatives de
  lenveloppe de la réponse, nous obtenons pour le
  temps de réponse

Les dépassements sont obtenus en calculant les
instants où la dérivée est nulle. Ces instants
sont appelés temps de pics tpic. Le
dépassement principal (première dérivée) se
produit à linstant t1
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Analyse des systèmes linéaires types
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Analyse des systèmes linéaires types

• Réponses fréquentielles des systèmes du second
  ordre

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Analyse des systèmes linéaires types

• Étude du Gain
• En développant, nous obtenons

Nous avons donc 2 cas à envisager
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Analyse des systèmes linéaires types
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Analyse des systèmes linéaires types

• Étude de la Phase

w
0
0
- p
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Analyse des systèmes linéaires types

• Représentation fréquentielle dun système du
  second ordre
• Lieu de Nyquist

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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Bode

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Analyse des systèmes linéaires types

• Lieu de Black

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Analyse des systèmes linéaires types

• Système à retard
• Définition un système linéaire est dit avec
  retard si le signal de sortie est décalé dun
  temps t par rapport à celui dentrée.

Ce retard est provoqué par linertie thermique du
processus, le jeu mécanique, le temps de
propagation de linformation, etc.
La fonction de transfert est