Kapitel 4

1
Kapitel 4

• Cutting Packing

2
Inhalt

• 4.1 Einleitung/Beispiele
• 4.2 Typologie Begriffe
• 4.3 Eindimensionale Probleme
• 4.4 Zweidimensionale Probleme
• 4.5 Dreidimensionale Probleme

3
Beispiel 1 Zuschneiden von Heizungsrohren

• Rohre der Länge 9 vorrätig
• Es sollen kürzere Rohrstücke der Längen 2, 3 und
  4 (mehrere je Typ) herausgeschnitten werden
• Dabei ist es sinnvoll, gute Schnittmusterzu
  finden
• Eindimensionales CP Problem

4
Beispiel 2 Zuschneiden von Platten

• Es sollen eine Reihe von kleinen Platten
  hergestellt werden (mehrere je Typ)
• Es stehen einige Typen von großen Platten zur
  Verfügung, aus denen die kleinen Platten
  geschnitten werden können.
• Zweidimensionales CP Problem

5
Beispiel 3 Container Beladung

• Es sollen eine Reihe von kleinen Boxen in
  möglichst wenige Container verladen werden
• Dreidimensionales CP Problem

6
Beispiel 4 Backup auf CDs oder USB Sticks

• Eine gegebene Anzahl von Dateien (verschiedene
  Größen) soll auf möglichst wenig CDs oder USB
  Sticks gesichert werden
• Ähnlich wie Beispiel 1

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Beispiel 5 Rucksackproblem

• ein Wanderer will seinen Rucksack packen und kann
  verschiedene Dinge mitnehmen (Getränk, Brot,
  Fernglas, Regenschutz, Kamera, Handy, Navi ...)
• jedes Teil hat Gewicht und bringt Nutzen
• bei gegebener Gewichtsbeschrän-kung (oder
  Volumens-beschränkung) für den Rucksack (z.B. 10
  kg oder 25 Liter) soll der Nutzen maximiert
  werden
• ? Rucksackproblem, knapsack-Problem
• ähnlich BSP 1, aber Nutzen i.a. nicht
  proportional zu Gewicht

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Beispiel 6 Kapitalbudget

• ein gegebenes Budget soll auf Investitionsprojekte
  mit unterschiedlichem internen Zins (bei
  gleicher Laufzeit) aufgeteilt werden
• Projekte können gleichzeitig realisiert, aber
  nicht geteilt werden
• Gesamtverzinsung soll maximiert werden

z.B. Anfangsinvestition interner Zinssatz
Projekt 1 14 Mio 12
Projekt 2 10 Mio 11
Projekt 3 9 Mio 10
Alternativerendite   5
Gesamtbudget 20 Mio  
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Beispiel 6 Kapitalbudget Fortsetzung1
z.B. Anfangsinvestition interner Zinssatz
Projekt 1 14 Mio 12
Projekt 2 10 Mio 11
Projekt 3 9 Mio 10
Alternativerendite   5
Gesamtbudget 20 Mio  

• Zwei mögliche Lösungen
• Lösung 1 Zinsertrag pro Jahr 1412 65 198
• Lösung 2 Zinsertrag pro Jahr 1011 910
  15 205

10
Beispiel 6 Kapitalbudget Fortsetzung2

• Entspricht Produktionsprogammplanung bei einem
  Engpass (Produktion Logistik 1)
• Bei Teilbarkeit ?Reihung nach relativem DB
  (einfach)
• Unteilbarkeit (nur 0 oder Absatzobergrenze) ?
  np-schweres CP Problem

Produkt j DB pro Stück dj Bearbeitungs- zeit pro Stück aj Absatzhöchst- Menge Aj
1 4 1 200
2 12 4 75
3 10 2 50
4 6 3 40
5 7 1 100
11
Beispiel 7 Fliessbandabstimmung

• CP Problem mit Reihenfolgebeschränkungen

Tätigkeit Beschreibung Ausführungszeit Unmittelbar vorhergehende
A Grundplatte 3 -
B Achsen 3 A
C Motor 4 A
D Getriebe 6 A
E Räder 8 B
F Lenkstange 3 C, D
G Keilriemen 2 D
H Karosserie 5 E, F
I Lichtanlage 6 G
J Scheiben 1 F, H, I
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Inhalt

• 4.1 Einleitung/Beispiele
• 4.2 Typologie Begriffe
• 4.3 Eindimensionale Probleme
• 4.4 Zweidimensionale Probleme
• 4.5 Dreidimensionale Probleme

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4.2 Typologie

• Wie gezeigt, lassen sich viele inhaltlich
  verschiedene Problemstellungen der BWL als
  CP-Probleme formulieren. Es ist daher sinnvoll,
  eine allgemeine Einteilung (Typologie) dieser
  Probleme vorzunehmen
• siehe Dyckhoff, 1990, A Typology of CP
  problems, European J. on OR, 44, pp145-159.
• Inhaltlich Dimension Verlade- oder
  BeladeproblemeAnzahl große und kleine Objekte

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Inhaltliche Charakterisierung

• CP im engeren Sinne (räumliche Dimension)
• Verschnittprobleme
• Verpackungs-, Beladungsprobleme
• abstrakte CP-Probleme (nicht räumliche
  Dimension)
• Gewicht Rucksack, vehicle loading
• Zeit Fließbandabgleich, multiprocesser
  scheduling
• Geld Kapitalbudgetierung
• andere Dateienbackup
• ? für formale Behandlung und Lösungsmethode nicht
  wesentlich.

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Dimension

• eindimensional ?1?
• zweidimensional ?2?
• dreidimensional ?3?
• Objekte sind zwar fast immer dreidimensional,
  aber oft sind nur 1 oder 2 Dimensionen relevant
• Z.B. wenn nicht gestapelt werden kann.
• z.B. Palettenbeladung ist z.B. zumeist
  zweidimensional

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Verlade- oder Beladeprobleme

• BeladeproblemeAlle großen Objekte und eine
  Auswahl der kleinen Objekte ?B?
• VerladeproblemeAlle kleinen Objekte in eine
  Auswahl der großen Objekte verpacken ?V?
• LadeproblemeAuswahl der kleinen Objekte und
  Auswahl der großen Objekte L
• (Auswahl z.B. nach Wert oder Termin)

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Große und kleine Objekte

• Große Objekte
• ein Objekt ?O? one (z.B. Rucksackproblem)
• identische Objekte ?I? identical
• verschiedene Objekte ?D? different (20 oder 40
  Fuß Container)
• Kleine Objekte
• wenige Objekte von verschiedenen Formen ?F?
  few
• viele Objekte von vielen Formen ?M? many
• viele Objekte von relativ wenig verschiedenen
  Formen ?R? relatively few
• kongruente (identische) Objekte ?C? congruent
  (z.B. Paletten beladen)
• ? wichtig für die Auswahl der Algorithmen (exakt,
  Heuristiken)

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Mögliche Typologie

• Dimension / Be-Verlade / große Objekte / kleine
  Objekte
• z.B.
• Deckt nicht alles ab ? zusätzliche
  Gliederungsmerkmale
• Oder andere Klassfikation

Rucksackproblem 1/B/O/
Palettenbeladung 2/B/O/C
klassisches n-dimensionales Verschnitt- oder Verpackungsproblem n/V/I/R
Fließbandabgleich 1/V/I/M
n-periodiges Kapitalbudgetierungsproblem 1/B/O/
"bin-packing" 1/V/I/M
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Andere Typologien

• z.B. Gerhard Wäscher, Heike Hausner, Holger
  Schumann An improved typology of cutting and
  packing problems, European Journal of
  Operational Research 183 (2007) 11091130.
• Verladeproblme ? Input MinimierungBeladeprobleme
  ? Output Maximierung

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Guillotine-Schnitte

• Als Schnittmuster kommen in Frage
• Guillotine-Schnitte ?z.B. Glas?immer von einem
  Ende des großen Objekts bis zum anderen
• verschachtelte Muster erlaubt
• Beschränkung auf Guillotine-Schnitte kann
  technisch notwendig sein, auf Grund der
  einfacheren Handhabung sinnvoll sein, oder auch
  nur eine Zweckannahme für die Optimierung sein.

21
Guillotine-Schnitte
1-stufiges Guillotine-Schnittmuster 2-stufiges Guillotine-Schnittmuster
3-stufiges Guillotine-Schnittmuster verschachteltes Schnittmuster
22
Formen

• Rechteckig
• Allgemeine Formen

23
Orientierung

• Drehung (z.B. um 900) möglich
• Drehung nicht möglich ?z.B. Holzmaserung,
  Stoffmuster?
• Allgemeine Drehung möglich

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Zuordnungsweise

• on-line Stücke müssen sofort verpackt werden
• off-line simultane Optimierung aller Stücke und
  dann Verpackung Sortierung möglich
• Zusammenhang mit statisch/dynamisch
• statisch alle kleinen Objekte zu Beginn bekannt
  (off-line)
• dynamisch kleine Objekte werden nach und nach
  bekannt und verfügbar
• on-line ist Extremfall von dynamisch, d.h. immer
  nur 1 kleines Objekt bekannt, und muss sofort
  verpackt werden

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Inhalt

• 4.1 Einleitung/Beispiele
• 4.2 Typologie Begriffe
• 4.3 Eindimensionale Probleme
• 4.4 Zweidimensionale Probleme
• 4.5 Dreidimensionale Probleme

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4.3.1 Eindimensionale Probleme ONLINE

• Wir betrachten den Fall 1/V/I/M (in der Literatur
  oft als "Bin-packing" bezeichnet), wo also viele
  kleine Objekte in möglichst wenige identische
  große Objekte eingepackt werden sollen.
• Es sei keine Zeit, aufwendige Berechnungen
  anzustellen die Teile müssen sofort On-Line
  verpackt werden.
• Die einfachsten bekannten Heuristiken sind
• NF (next-fit)
• FF (first-fit)
• BF (best-fit)

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4.3.1.1 NF (next-fit)

• Man ordne das kleine Objekt in das nächste große
  Objekt, das frei ist. Wenn also im aktuellen
  großen Objekt kein Platz mehr ist, wird ein neues
  großes Objekt begonnen und die zuvor bepackten
  großen Objekte werden nicht weiter betrachtet.
• BSP1 große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge
  5, 2, 3, 2, 1, 3,

28
4.3.1.2 FF (first-fit)

• Man ordne das kleine Objekt in das erste große
  Objekt ein, in das es noch hineinpasst. Alle
  bisherigen großen Objekte kommen also in
  Betracht. Nur wenn das kleine Objekt nirgends
  mehr hineinpasst, wird ein neues großes Objekt
  begonnen.
• BSP1 große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge
  5, 2, 3, 2, 1, 3,

5
29
4.3.1.3 BF (best-fit)

• man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt
  ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im
  Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste
  solche große Objekt.
• BSP2 große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge
  5, 6, 4, 2, 3, 3
• Lösung NF

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4.3.1.3 BF (best-fit)

• man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt
  ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im
  Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste
  solche große Objekt.
• BSP2 große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge
  5, 6, 4, 2, 3, 3
• Lösung FF

31
4.3.1.3 BF (best-fit)

• man ordne das kleine Objekt in jenes große Objekt
  ein, wo dann der kleinste Restraum bleibt. Im
  Falle von Nichteindeutigkeit wähle man das erste
  solche große Objekt.
• BSP2 große Objekte Länge 8, kleine Objekte Länge
  5, 6, 4, 2, 3, 3
• Lösung BF

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4.3.1.4 Online Algorithmen Komplexität

• NF ? wächst linear mit Anzahl der kleinen Objekte
• FF ? wächst quadratisch(es sei denn, man hält
  nur ein fixe Maximalzahl an großen Objekten offen
  ? dann linear
• BF ? wächst ebenfalls quadratisch(es sei denn,
  man hält nur ein fixe Maximalzahl an großen
  Objekten offen ? dann linear
• Meist ist BF die beste und NF die schlechteste
  Heuristik
• Die Effizienz kann gesteigert werden, indem man
  die kleinen Objekte zuvor sortiert ? Offline
  Algorithmen

33
4.3.2 Eindimensionale Probleme OFFLINE

• Wir betrachten wieder den Fall 1/V/I/M, also das
  klassische "Bin-packing" problem, wo also viele
  kleine Objekte in möglichst wenige identische
  große Objekte eingepackt werden sollen.
• Nun sei es möglich, aufwendigere Berechnungen
  anzustellen die Teile müssen nicht sofort
  On-Line verpackt werden ? sortieren möglich
• Die einfachsten bekannten Heuristiken sind
• NFD (next-fit decreasing)
• FFD (first-fit decreasing)
• BFD (best-fit decreasing)

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Eindimensionale Probleme OFFLINE

• Im Falle von NFD bringt das sortieren nicht viel,
  da die Lücken später nicht mehr mit kleinen
  Objekten gefüllt werden. Es ist ja immer nur ein
  großes Objekt offen.
• Wir lösen daher mit FFD (first-fit decreasing)
  und BFD (best-fit decreasing) die obigen
  Beispiele
• BSP1 große Objekte Länge 8, kleine Objekte
  Länge 5, 2, 3, 2, 1, 3 ? 5, 3, 3, 2, 2, 1
• BSP2 große Objekte Länge 8, kleine Objekte
  Länge 5, 6, 4, 2, 3, 3 ? 6, 5, 4, 3, 3, 2

35
BSP1 OFFLINE

• BSP1 große Objekte Länge 8, kleine Objekte
  sortiert 5, 3, 3, 2, 2, 1
• Wir lösen mit FFD und BFD
• In beiden Fällen (zufällig) die optimale Lösung

36
BSP2 OFFLINE

• BSP2 große Objekte Länge 8, kleine Objekte
  sortiert 6, 5, 4, 3, 3, 2
• Wir lösen mit FFD und BFD
• In beiden Fällen (zufällig) die optimale Lösung

37
Theoretische Resultate

• 1. Im Gegensatz zu Heuristiken gibt es für
  Approximationsalgorithmen worst case"
  Abschätzungen
• So kann z.B. für FFD die folgende "worst case"
  Abschätzung gezeigt werden
• Anzahl bins mit FFD ? optimale Anzahl bins
  4
• 2. Wenn die Länge der großen Objekte steigt, so
  kann die Anzahl der benötigten Bins nicht steigen
• Dies gilt für die optimale Lösung, nicht aber für
  Heuristiken oder Approximationsalgorithmen siehe
  folgendes Beispiel.

38
Gegenbeispiel Anzahl Bins - 60

• bei größerer Länge L benötigt FFD mehr große
  Objekte kleine Objekte der Längen 44, 24, 24,
  22, 21, 17, 8, 8, 6, 6.
• Großes Objekt der Länge 60
• Bei "Länge" 60 kommt man mit 3 großen Objekten
  aus.
• Diese Lösung ergibt sich bei FFD

39
Gegenbeispiel Anzahl Bins 61

• Kleine Objekte der Längen 44, 24, 24, 22, 21,
  17, 8, 8, 6, 6.
• Großes Objekt der Länge 61
• Bei "Länge" 61 benötigen FFD BFD 4 große
  Objekte
• Optimale Lösung wäre jene die bei L 60
  herauskam.

40
Weitere Lösungsverfahren

• Weitere Lösungsverfahren für das Bin-Packing
  Problem
• Greedy-Heuristik Löse eine Reihe von
  Knapsackproblemen, also jedes große Objekt wird
  so gut wie möglich befüllt, dann geht man über
  zum nächsten Bin (obiges Gegenbeispiel 60-61)
• Knapsackprobleme exakt lösbar über dynamisch
  Optimierung, Branch Bound, MIP, oder
  heuristisch durch Sortierung nach
  Nutzen/Gewichtseinkeit (gleiche Idee wie
  relativer Deckungsbeitrag)
• Exakt Generiere alle möglichen Schnittmuster
  aus den kleinen Objekten und wähle dann die beste
  Kombination mittels MIP aus (Set covering)
• Dabei ist es nicht nötig, alle Schnittmuster zu
  generieren, sonderen es werden schrittweise neue
  Muster generiert (Spaltengenerierung, column
  generation)

41
Inhalt

• 4.1 Einleitung/Beispiele
• 4.2 Typologie Begriffe
• 4.3 Eindimensionale Probleme
• 4.4 Zweidimensionale Probleme
• 4.5 Dreidimensionale Probleme

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4.4 Zweidimensionale Probleme

• Bei zweidimensionalen Problemen haben die kleinen
  Objekte nicht nur Länge ?i sondern auch eine Höhe
  hi
• Ebenso haben die großen Objekte eine Länge L und
  eine Höhe H.
• Ein einfacherer Fall ist das s.g. Strip packing
  Problem, wo nur die Länge L gegeben ist, und ALLE
  kleinen Objekte zu verpacken sind, wobei die
  Gesamthöhe des großen Streifens zu minimieren
  ist
• Auch 1,5-dimensionales Problem genannt

43
4.4.1 ONLINE Strip packing Problem

• Ein Niveau-Algorithmus (level algorithm) packt
  die kleinen Objekte so, daß mehrere nebeneinander
  gepackt werden und die größte Höhe eines dieser
  Objekte das Niveau ergibt, wo die nächsten
  Objekte eingepackt werden.
• Der einfachste Algorithmus ist der der NFL (next
  fit level) Algorithmus, in dem die kleinen
  Objekte in der Reihenfolge eingepackt werden, in
  der sie ankommen. Passt ein kleines Objekt nicht
  mehr in ein Level, so wird dieses Level
  geschlossen und ein neues eröffnet.

44
Beispiel NFL für Strip Packing

• Einfachster ONLINE Algorithmus NFL
• Zunächst wird Level 1 befüllt mit kl. Objekten 1,
  2 und 3.
• Objekt 4 hat horizontal keinen Platz mehr ? Level
  1 geschlossen (Höhe durch das höchste Objekt,
  nämlich Obj. 2 bestimmt), und Level 2 eröffnet
• Objekte 4 und 5 in Level 2 (Höhe durch Objekt 4
  bestimmt)
• Etc.

45
FFL und BFL für Strip Packing

• Deutlich besser sind die Level Algorithmen FFL
  und BFL, die immer alle Level offen halten und
  die Lücken später füllen können
• FFL (first fit level) jedes kleine Objekt wird
  in das unterste Level eingepackt, wo es mit
  Breite ?i und Höhe hi noch hineinpaßt. Dabei ist
  die Höhe des obersten Levels nicht beschränkt
  (als ONLINE Algorithmen können die Höhen der
  unteren Levels aber nicht mehr verändert
  werden). Wenn kl. Obj. nirgends mehr hineinpasst
  ? neues Level beginnen.
• BFL (best fit level) wie FFL, nur wird jedes
  kleine Objekt in jenes Level eingepackt, wo es am
  besten passt, wo also der verbleibende
  horizontale Restplatz minimal ist.

46
Beispiel FFL und BFL für Strip Packing

• L 8
• kleine Obj. ?i ? hi
• 1 ? 8,
• 5 ? 4,
• 3 ? 3,
• 4 ? 7,
• 2 ? 3,
• 1 ? 2,
• 2 ? 3
• und 4 ? 2.

NFL
FFL und BFL
47
4.4.2 OFFLINE Strip packing Problem

• In vorigen Beispiel sah man, dass BFL (bzw. auch
  FFL) zwar den Platz horizontal recht gut
  ausnutzen kann, aber vertikal viel Platz
  verschwendet wird, weil sehr unterschiedlich hohe
  Teile in einem Level angeordnet sind.
• Wie in 4.3.2 kann auch hier aus dem
  on-line-Algorithmus ein off-line-Algorithmus
  gemacht werden, indem man die kleinen Objekte
  zunächst nach abnehmender Höhe sortiert. So
  erhält man den BFDH (best fit decreasing height)
  Algorithmus.

48
Beispiel BFDH für Strip Packing

• L 8
• kleine Obj.
• 1 ? 8,
• 5 ? 4,
• 3 ? 3,
• 4 ? 7,
• 2 ? 3,
• 1 ? 2,
• 2 ? 3
• und 4 ? 2.

kleine Obj. nach Höhe sortiert (sekundär nach
Länge) 1 ? 8, 4 ? 7, 5 ? 4, 3 ? 3, 2 ? 3,
2 ? 3, 4 ? 2 und 1 ? 2.
BFDH
FFL und BFL
49
ONLINE Strip packing - Shelf

• Auch im Rahmen von Online Algorithmen kann der
  Platz vertikal besser ausgenutzt werden, z.B.
  durch Shelf (Regal)-Algorithmen.
• Wenn über die Dimensionen der kleinen Objekte
  zumindest eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
  bekannt ist, dann kann man auch optimale
  Regalhöhen angeben
• Im einfachsten Fall sind die Höhen der kleinen
  Objekte gleichverteilt zwischen 0 und M. Dann ist
  es sinnvoll (optimal), äquidistante Regalhöhen
  zu definieren, also gleich große Intervalle, die
  insgesamt 0,M ergeben, also z.B.

50
Beispiel ONLINE Strip packing - Shelf
Maximale Höhe M8 und K4 Intervalle 0, 2, (2,
4, (4, 6, (6, 8
L 8 kleine Obj. 1 ? 8, 5 ? 4, 3 ? 3, 4 ?
7, 2 ? 3, 1 ? 2, 2 ? 3 und 4 ? 2.
FFL und BFL
FFS
51
4.4.3 Strip packing ? 2d Bin packing

• Wenn man eine gute Heuristik (z.B. BFDH oder BFS)
  zur Lösung des 1,5 dimensionales Problems hat
  (Strip packing), kann man leicht daraus eine
  Heuristik für das 2d Bin packing Problem machen
• Ordne alle kleinen Objekte in Streifen
• Löse ein eindimensionales Bin Packing für die
  Höhe wobei die gebildeten Streifen die kleinen
  Objekte sind
• Wenn in Schritt 1 die BFDH Heuristik gewählt wird
  und in Schritt 2 die FFD Heuristik, nennt man
  diese 2d Bin packing Heuristik auch Hybrid
  First-Fit (HFF)

52
Beispiel für Hybrid First-Fit (HFF)

• Siehe http//cgi.csc.liv.ac.uk/epa/surveyhtml.htm
  l

Schritt 2
Schritt 1
53
4.4.4 Bottom-Left (BL) Algorithmus

• Meist wird zunächst nach fallender Breite
  sortiert, es ist also dann ein OFFLINE
  Algorithmus.
• Ferner wird nun von der Annahme abgegangen, dass
  es ein Guillotine Muster sein muss. Man versucht
  also die Lücken noch besser zu füllen und keine
  Ebenen/Regale zu bauen ? Lösungen sehen
  unordentlicher aus
• Das nächste kl. Objekt wird so tief unten wie
  möglich platziert, und dann so weit links wie
  möglich.
• Kann als Strip packing oder auch als 2d Bin
  packing Algorithmus verwendet werden

54
Beispiel für Bottom-Left (BL)
55
Vergleich BL - BFDH
56
Mögliche Einfügepositionen

• Bei BL
• Bei BLFbottom left fill
• Weitere Punkte

57
Weitere Bespiele

• Aus E. K. Burke, G. Kendall, G. WhitwellA New
  Placement Heuristic for the Orthogonal
  Stock-Cutting Problem,Operations Research 52 (4,
  July) , pp. 65567, 2004

58
Weitere Bespiele

• Aus E. K. Burke, G. Kendall, G. WhitwellA New
  Placement Heuristic for the Orthogonal
  Stock-Cutting Problem,Operations Research 52 (4,
  July) , pp. 65567, 2004

59
4.4.5 Touching Perimeter Heuristic

• Zunächst wie BL
• Meist wird zunächst nach fallender Breite
  sortiert, es ist also dann ein OFFLINE
  Algorithmus.
• Ferner wird nun von der Annahme abgegangen, dass
  es ein Guillotine Muster sein muss. Man versucht
  also die Lücken noch besser zu füllen und keine
  Ebenen/Regale zu bauen ? Lösungen sehen
  unordentlicher aus
• Das nächste kl. Objekt wird dort platziert, wo
  Berührung mit anderen Objekten oder dem Rand so
  groß wie möglich ist. Wenn nicht eindeutig, BL
• Kann als Strip packing oder auch als 2d Bin
  packing Algorithmus verwendet werden

60
Beispiel für Touching Perimeter
61
Beispiel für Touching Perimeter
62
4.4.6 Best Fit Heuristik

• Die kleinen Objekte werden nicht in vorsortierter
  Reihenfolge eingefügt, sondern es wird in jeden
  Schritt das am besten passendste Objekt gesucht
  und so tief wie möglich eingefügt
• Suche tiefste Lücke, füge folgendes kleines
  Objekt ein
• Das höchste, das die Breite der Lücke völlig
  ausfüllt
• Wenn nicht möglich, wähle das breiteste, das
  Platz hat(links, höchster Nachbar, niedrigster
  Nachbar)
• Wenn kein Objekt hineinpasst ? schliesse/lösche
  die Lücke

63
4.4.6 Best Fit Heuristik

• links, höchster Nachbar, niedrigster Nachbar
• Aus E. K. Burke, G. Kendall, G. WhitwellA New
  Placement Heuristic for the Orthogonal
  Stock-Cutting Problem,Operations Research 52 (4,
  July) , pp. 65567, 2004