Referat

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Differentialrechnung




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23. Der Differentialquotient




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Geschwindigkeit
v s/t
v Ds/Dt v ds/dt
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f
f
Differentialoperator
Isaac Newton (1643 1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716)
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23.1 Ableitungen einfacher Funktionen
lineare Funktion f(x) m?x c mit ? ?
insbesondere gilt für f(x) c, d.h. m 0
f(x) 0
(f g) f g
(f?m) f?m
quadratische Funktion f(x) x2 mit ? ?
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f(x) xr mit r ? ?, r ? 0
Produktregel (f.g) fg fg
quadratische Funktion f(x) x2 mit ? ?
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Man zeige mit der Produktregel (mf) mf für
m const.
Man zeige mit der Produktregel dx3/dx 3x2
(x3) (x2.x) 2x.x x2.1 3x2
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Satz (Kettenregel) Seien g(y) und f(x) auf ?
diffbare Funktionen mit y f(x), dann
gilt g(y) y2 y f(x) 3x 2
g(f(x)) (3x 2)2
(wie in der Bruchrechnung)
Man berechne mit Hilfe der Kettenregel
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Wie muß der Grundriss eines rechteckigen Hauses
aussehen, wenn bei 100 m2 Grundfläche die
Außenwände so kurz wie möglich sein sollen?
(Hinweis Die Funktion f Wandlänge ist
aufzustellen und das Minimum zu suchen.) Aus
einem Baumstamm vom Durchmesser D ist ein
rechtwinkliger Balken von größtmöglicher
Tragfähigkeit b?h2 zu schneiden. Aus einem
Baumstamm vom Durchmesser D ist ein
rechtwinkliger Balken von größtmöglicher
Biegesteifigkeit b?h3 zu schneiden.
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24. Die Exponentialfunktion




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e 2,71828
1040
1040,60
1040,808
1040,811
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exp(x) ? ex exp(1) ? e D ?
Die Funktionalgleichung lautet
ex1.ex2 ex1x2
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Richterskala (Erdbebenstärke) Magnitude
(Sternhelligkeit) Schallpegel
Dezibel Dämmmaß Fenste
r 30 dB Wand 60 dB
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Potenzgesetze
Physikalische Funktionen Frequenz und
Wellenlänge f c/l c?l-1 Strahlungsgesetz
Analyse von Wachstums- und Zerfallsprozessen Radi
oaktiver Zerfall N(t) N(0)?e-t/t Verstärkung
im Laser N(x) N(0)?eg?x
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Stefan-Boltzmann-Gesetz Strahlungsdichte
Stefan-Boltzmann-Konstante
Josef Stefan (1835 1893)
Ludwig Boltzmann (1844 -1906)
s (400 K)4 - s (300 K)4 1 kW/m2
5785 K, a 1, 63,5 MW/m2
(16 m2 ein KKW)
Mensch T (273 36) K ? 530 W/m2
Tatsächlich ca. 40 W pro Person (1 m2)
(Rückstrahlung, Bekleidung) Das entspräche T
163 K (Umkehrfunktion)
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Tragen Sie die Logarithmen folgender Messreihe
auf und bestimmen Sie die Parameter a und b des
vermuteten Potenzgesetzes y a?xb x 13
15 19 22 29 34 51 55 y 0,15
0,19 0,26 0,31 0,44 0,54 0,89 0,98 Welchen Wert
y würde man demnach für x 200 erwarten?
lgy(x) lga b?lgx
y(200) 6,2
lgx
lgx
lgy
lgy
lgy(x) -2,2 1,3?lgx
lgy(200) -2,2 1,3?2,3
0,79
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Leonardo da Vinci wollte unbedingt fliegen. Um
die für einen Menschen nötige Flügelspannweite zu
bestimmen, schlachtete er Vögel, wog sie und maß
ihre Spannweite Masse
Spannweite M/kg S/m Amsel 0,17
0,32 Eichelhäher 0,42 0,48 Blesshuhn 0,92
0,95 Stockente 1,95 1,10 Graugans
4,80 1,85 Storch 6,60 1,95 Tragen
Sie lgS über lgM auf und bestimmen Sie die Größen
a und b des vermuteten Potenzgesetzes Spannweite
S(M) aMb. Welche Spannweite bräuchte demnach
ein fliegender Mensch der Masse (mit Ausrüstung)
M 150 kg?
lgS
lgM
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lgS
lgM
lgS lga b?lgM lgS -0.0908
0.5056?lgM 10lgS 10-0.0908 0.5056?lgM S ?
0,8?100.5?lgM 0,8??M lg150 ? 2,2 S(150) ? 10,1
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Die Temperatur an der Sonnenoberfläche beträgt
5785 K. Die Sonne besitzt den Radius 696000 km, a
? 1. Wieviel Energie strahlt die Sonne in einer
Sekunde ab? Welcher Masse entspricht das? (W
mc2, c 300000 km/s) Wie groß ist die
Gesamtstrahlungsdichte am Ort der Erde?
(Erdbahnradius 150?106 km) Wieviel Leistung
nimmt die Erde auf? (Erdradius 6370 km)
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25. Die Winkelfunktionen




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27. Approximation von Funktionen




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Taylor-Polynom
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28. Funktionen mehrerer Variablen




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f(x, y) 2x2y
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