Referat

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2
17. Die Kegelschnitte




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6
b
a
a
b
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17.1 x 0 ist die Gleichung der y-Achse in der
x,y-Ebene. Welche Geraden beschreiben die
folgenden Gleichungen in der x,y-Ebene? x - 3
0 y 5 0 y - 2 3(x - 5) 3 y 3x -10
y
x
3
0
-5
-10
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17.2 x2 y2 0 ist die Ursprungsgleichung eines
entarteten Kreises, also eines Punktes.
Welche Punkte beschreiben (x - 3)2 y2 0 x2
(y 5)2 0 (x 1)2 (y - 2)2 0
y
2
x
-1
3
-5
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Polargleichung
24
Polargleichung
25
Polargleichung
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17.11 Eine Ellipse besitzt den Parameter p 30/7
und die numerische Exzentrizität e 4/7.
Skizzieren Sie einige Punkte beider Äste der
Ellipse mit Hilfe der Polargleichung. Berechnen
Sie a, b und die lineare Exzentrizität e.
j r
0 10
30 8,48
60 6
90 30/7
180 30/11
2a 140/11 ? a 6,36 b ?ap 5,22 e 3,63
p 1 - ecosj
30 7 - 4cosj
r(j)
27
(No Transcript)
28
und d f rcosj
29
Abb. 17.9 Übersicht Von kartesischen Koordinaten
unabhängige Größen der Ellipse.
30
17.3 Wo schneiden sich die Ellipsen 1 (x/10)2
(y/5)2 und 1 ((x - 5)/10)2 (y/5)2 ?
1 1 (x/10)2 (y/5)2 ((x - 5)/10)2 (y/5)2
(x/10)2 ((x - 5)/10)2 x2 (x - 5)2 x2 x2
-10x 25 0 -10x 25 x 2,5 y2 25 -
(x/2)2 y ?4,84
y -10 -5 10
15 x
31
17.4 Wo schneiden sich die quadratische y2 25 -
(x/2)2 und die lineare Form y 2x 1?
Skizzieren Sie die Formen!
y2 25 - (x/2)2 (2x 1)2 100 - x2 16x2
16x 4 17x2 16x - 96 0 x2 x(16/17) - 96/17
0 x -8/17 ? ?(8/17)2 96/17 x1 1,95
y1 4,90 x2 -2,89 y2 -4,78
y -10 10
x
32

• 17.6 Eine Ellipse besitzt Parameter p 3,2 und
  Fläche A 20 p.
• a) Bestimmen Sie die Halbachsen und geben Sie die
  explizite Mitttelpunktsgleichung an, so dass die
  Hauptachse in der x-Achse liegt .
• p b2/a
• A abp
• pA b3p 64p
• ? b 4
• a b2/p 16/3,2 5
• oder a A/bp 20p/4p 5
• Die explizite Mittelpunktsgleichung lautet

4
5
33
b) Wie lautet diese Gleichung, wenn die Ellipse
soweit verschoben wird, dass ihr linker Scheitel
die Koordinaten x 2 und y 2 besitzt?
Der linke Scheitel besitzt in der
Mittelpunktsform die Koordinaten (-50). Wegen
(22) - (-50) (72) muß die Ellipse um 7
Einheiten in x-Richtung und um 2 Einheiten in
y-Richtung verschoben werden, damit ihr linker
Scheitel die Koordinaten (22) besitzt. Um die
quadratische Form nicht zu verändern, müssen
diese Strecken von den Koordinaten wieder
abgezogen werden y - 2 Man
überzeugt sich leicht, dass z.B. für x 2 die
Bedingung y 2 erfüllt ist.
4
5
34
17.6 Eine Ellipse besitzt Parameter p 3,2 und
Fläche 20 p. c) Bestimmen Sie lineare und
numerische Exzentrizität der Ellipse. d)
Bestimmen Sie den Abstand ihrer Brennpunkte.
Die lineare Exzentrizität der Ellipse ist e
?a2 b2 ?25 - 16 3 Die numerische
Exzentrizität ist e e/a 3/5 Der Abstand
der Brennpunkte ist 2e 6.
35
17.7 Die Fläche einer Ellipse beträgt A 50 p,
ihre numerische Exzentrizität ist e (?3)/2. Im
Mittelpunkt der Ellipse ist eine Höhe h 10
errichtet. Von ihrem oberen Punkt führen Geraden
zu den Scheiteln der Ellipse. Wie groß ist der
Winkel zwischen zwei benachbarten Geraden?
s
A pab ? ab 50 e2 1- b2/a2 3/4 ? b2/a2
1/4 ? b/a 1/2 ? b 5, a 10
r
t
h
u
u
h
r
s
t
r?s r?s
100 ?200 ?125
cos(r,s)
?0,4 ? j(r,s) 50,8
Alle gefragten Winkel sind gleich. (Andere Winkel
wie j(r,h) oder j(r,t) können nach demselben
Schema berechnet werden.)
36
17.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen
Größen (a, b, e, e) für eine Ellipse, deren
Fläche A 25 beträgt und deren Schmiegekreis im
Hauptscheitel den Radius r 2 besitzt. b) Der
Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten
(1-3). Wie lautet die implizite
Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?

• r p b2/a
• A pab
• r pb3/A
• b 2,515
• a 3,164
• e 1,919
• e 0,605

2
2
(x - 1)
(y 3)
1
2
2
3,16 2,52
37
17.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen
Größen (a, b, e, e) für eine Ellipse, deren
Fläche A 17 beträgt und deren Schmiegekreis im
Hauptscheitel den Radius r 2 besitzt. b) Der
Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten
(1-3). Wie lautet die implizite
Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?

• r p b2/a
• A pab
• r pb3/A
• b 2,21
• a 2,45
• e 1,05
• e 0,427

2
2
(x - 1)
(y 3)
1
2
2
2,45 2,21
38
17.12 Die Polargleichung einer Ellipse liefert
r(0) 10, r(p/3) 6. Was wissen Sie über diese
Ellipse?
p 1 - ecosj
r(j)
p 1 - e
r(0) 10 e a
? e 1 p/10
4/7
p 1 - e/2
r(60) 6
? e 2 p/3
? 1 - p/10 2 - p/3
e a 10 e/a 4/7
? p/3 - p/10 1
4a/7 a 10 a 70/11 e a4/7 40/11

• 10p/30 - 3p/30 1
• p 30/7

? b ?pa ?300/11
39
17.2 Die Parabel Wir vergrößern eine gegebene
Ellipse, indem wir b mit dem Faktor ?k und a mit
dem Faktor k multiplizieren. Wenn k immer weiter
wächst, so folgt im Grenzfall k ? ? für die
numerische Exzentrizität Für e 0 liegt
wegen b a r ein Kreis vor. Wächst e an, so
ergibt sich eine immer stärker gestreckte
Ellipse. Für e 1 muss in (17.16) ka ? ? gehen.
Dieser Grenzfall heißt Parabel.
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(No Transcript)
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(No Transcript)
42
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43
Zur Schnellkonstruktion einer Parabel schlägt man
einen Kreis mit dem Radius p um den Mittelpunkt
M. Der Kreis schneidet die x-Achse im Scheitel
der Parabel. Dies ist der Ursprung O des
Koordinatensystems. Der Brennpunkt F liegt bei x
p/2, genau in der Mitte zwischen O und M. Die
Ordinate im Brennpunkt F an der Stelle x p/2
ist y ?p. Die Ordinate bei 2p ist ?2p.
44
17.15 Eine Straße soll in 50 m Höhe verlaufen.
Ihre Stützpfeiler besitzen einen Abstand von 10 m
voneinander und ruhen auf einer Parabel. Die
markierten Punkte besitzen die Koordinaten in der
Einheit Meter P1 (30, 20), P2 (60, 40), P3
(120, 30). Wie lang müssen die Pfeiler bei 30,
40, 50, ..., 120 m sein?
y y0 k(x x0)2
y y0 k(x x0)2
20 y0 k(30 x0)2
20 k(2700 60x0)
40 y0 k(60 x0)2
10 k(-10800 120x0)
30 y0 k(120 x0)2
20 k(-21600 240x0)
300x0 24300
? x0 81
? k -1/108
? y0 44,083
y 44,083 - (x 81)2/108
h 50 - y
45
x 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
h 30 21,5 14,8 10 7 5,9 6,7 9,3 13,7 20
y y0 k(x x0)2
y y0 k(x x0)2
20 y0 k(30 x0)2
20 k(2700 60x0)
40 y0 k(60 x0)2
10 k(-10800 120x0)
30 y0 k(120 x0)2
20 k(-21600 240x0)
300x0 24300
? x0 81
?y0 44,083
? k -1/108
y 44,083 - (x 81)2/108
h 50 - y
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Der Radiusvektor r vom Brennpunkt F1 unter dem
Winkel j kann auch durch seine Komponenten
ausgedrückt werden. Damit gelangen wir zur
Parameterform der Polargleichung
53
Fadenkonstruktion nach Guido Ubaldi del Monte,
1545 - 1607
54
Abb. 17.17 Übersicht Von kartesischen
Koordinaten unabhängige Größen der Hyperbel.
55
(No Transcript)
56
17.10 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p 8
und die numerische Exzentrizität e 3. Ihre
Brennpunkte liegen auf der x-Achse. Stellen Sie
die Polargleichung auf, tabellieren Sie die
Radiuslängen r(j) für j 0, 30, 120,150,
180 und skizzieren Sie die Hyperbel mit ihren
Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die Endpunkte der
berechneten Radien.
(Halbachse ist immer positiv)
p 1 - ecosj
8 1 - 3cosj
r(j)
e 3
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17.10 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p 8
und die numerische Exzentrizität e 3. Ihre
Brennpunkte liegen auf der x-Achse. Stellen Sie
die Polargleichung auf, tabellieren Sie die
Radiuslängen r(j) für j 0, 30, 120,150,
180 und skizzieren Sie die Hyperbel mit ihren
Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die Endpunkte der
berechneten Radien.
Skizze (nicht maßstäblich). Die Ergebnisse für
negative Radien befinden sich auf dem linken Ast
der Hyper-bel. Der Punkt für j 30 ergibt sich
bei Spiegelung des (aus Platzgründen)
eingetragenen Punktes für j -30o an der
Abszisse.
j r
0 -4
30 -5,01
120 3,2
150 2,22
180 2
p 1 - ecosj
8 1 - 3cosj
r(j)
58
17.14 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p 3
und die numerische Exzentrizität e 1/3. Was
stimmt nicht an diesem Aufgabentext?
59
17.5 Vergleich der Kegelschnitte F
(näherer) Brennpunkt L Leitgerade M
Mittelpunkt S Scheitel
60
Abb. 17.22 Ellipse.
Abb. 17.21 Kreis.
Abb. 17.23 (a) Parabel und (b) Hyperbel.
61
17.5 Welche Kegelschnitte beschreiben die
quadratischen Formen 2x2 - y2 2 (x - 2)2
0 x2 - 3y2 - 2 0 2 - 4x2 - y2 0
Hyperbel Gerade x 2 Hyperbel Ellipse
62